（定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）
3：
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：
勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：
互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：
勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：
，，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为所以
方法三：
，，化简得证
6：
勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等
③用含字母的代数式表示组勾股数：
（为正整数）；
（为正整数）（，为正整数）
二、规律方法指导
1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4.勾股定理的逆定理：
如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：
a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：
勾股定理与勾股定理逆定理）
勾股定理典型例题及专项训练
专题一：
直接考查勾股定理及逆定理
例１.在中，．
⑴已知，．求的长⑵已知，，求的长分析：
练习：
1、如图所示，在四边形ABCD中，BAD=，DBC=，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。
2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
3、已知：
如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
例2：
已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
练习：
在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为多少？
例3：
（1）.已知ABC的三边、、满足，则ABC为三角形
（2）.在ABC中，若=（+）（-），则ABC是三角形，且
练习：
1、已知与互为相反数，试判断以、、为三边的三角形的形状。
2、.若ABC的三边、、满足条件，试判断ABC的形状。
3.已知则以、、为边的三角形是
例4：
已知如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。
求证：
（1）
（2）
（3）以为三边的三角形是直角三角形
练习1.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45º，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，若CD=1，则BD等于（ ）A．1 B． C． D．
2.已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积．
3.△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．求证：
△ABC是直角三角形．
4.如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，猜想AF与EF的位置关系，并说明理由．
5.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
6.如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．
7.如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，
求∠BPC的度数．
8.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,
（1）AD平分∠BAC,交BC于D点。
求CD长
（2）BE平分∠ABC,交AC于E，求CE长
9.如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，求AB的长
10.如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。
11、已知△ABC中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝，求AB、AC的长。
12、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G。
（1）求证：
G是CE的中点；
（2）∠B＝2∠BCE。
（3）若AC=6,AB=8，求DG的长。
专题二勾股定理的证明
1、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：
大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而
c2＝＋．化简后即为c2＝．
a
b
c
2、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为．
a
b
c
l
3、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是．
4、如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（ ）
（Ａ）4 （Ｂ）6 （Ｃ）16 （Ｄ）55
a
A
A
D
A
A
B
C
b
c
第4题图
5、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连结，设，请利用四边形的面积证明勾股定理：
.
6、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EF都是正方形.证：
△ABF≌△DAE
7、（2010年辽宁省丹东市）图①是一个边长为的正方形，小颖将
图①
图②
第7题图
图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②
能验证的式子是（）
A．
B．
C．
D．
专题三网格中的勾股定理
1、如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
A
B
C
（A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH（C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF
2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）
A．0B．1C．2D．3
3、（2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
4、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC上的高为（）
A.B.C.D.
5、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶点画一个边长为3、、的三角形．所画的三角形是直角三角形吗?
说明理由．
6、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出面积为2的三个形状不同的三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）
专题四实际应用建模测长
1、如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？
请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
专题五梯子问题
1、如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？
A
A′
BA
B′
OA
第20题图
2、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
3、如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）
A.B.C.D.不能确定
专题六最短路线
1、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A、6 B、5C、4 D、3
2、如图，一圆柱体的底面周长为20㎝，高AB为10㎝，BC是上底面的直径。
一蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程。
3、如图，有一个圆柱体，底面周长为20㎝，高AB为10㎝，在圆柱的下底面A点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端C点处，那么它所行走的路程是多少？
A
C
4、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯，AD是杯底直径，C是杯口一点，其他已知条件不变，蚂蚁从外部点A处爬到杯子的内壁到达高CD的中点E处，最短该走多远呢？
（杯子的厚度不计）
5、为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸？
B
A
6、如图，一只蚂蚁从一个棱长为1米，且封闭的正方体盒子外部的顶点A向顶点B爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？
7、（2004•淄博）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A、（3+2）cm B、cm C、cm D、cm
B
C
A
20
15
10
8、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
9、如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？
10、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？
A
B
03
0.2
2
.
11、（2010福建泉州市惠安县）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．
B
A
6cm
3cm
1cm
第17题图
①如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，
那么所用细线最短需要__________cm；
②如果从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B，
那么所用细线最短需要__________cm．
专题七折叠三角形
1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
3、三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，求三角形ACE的面积
4、如图,△ABC的三边BC=3，AC=4、AB=5,把△ABC沿最长边AB翻折后得到
△ABC′，则CC′的长等于（）
A.B.C.D.
专题八折叠四边形
1、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求
（1）CF的长
（2）EC的长.
2、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为
EF，求
（1）DE的长；
（2）EF的长。
3.（2010福建泉州市惠安县）矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_____________.
A
B
C
D
E
G
第16题图
F
4、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．
5、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。
如果M为CD边的中点，且DE=6，求正方形ABCD的面积
6、矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的长。
7、如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处。
（1）求证：
；
（2）设，试猜想之间的一种关系，并给予证明．
8、如图，∠B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6
（1）△ACD是什么三角形？
为什么？
（2）把△ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E，若重叠部分面积为4，求D'E的长。
9、边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D，求
（1）三角形ADC的面积，
（2）点B1的坐标，（3）AB1所在的直线解析式.
10、（2010年广东省广州市）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
C
D
B
A
E
O
专题九旋转问题：
1、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，求PP′的长。
2、如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的边长.
3、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，
试探究间的关系，并说明理由.
4、如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转到CBE的位置，若BP=，求：
以PE为边长的正方形的面积
5、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
6、如图所示，已知在ABC中，AB=AC，BAC=，D是BC上任一点，求证：
BD。
7、如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为8cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：
能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？
若能，
（1）求BP+CP的值
（2）请你求出这时AP的长。
8、已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E。
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图①，易证：
；当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，如图②、③这两种情况下，上述结论还是否成立？
若成立，请给与证明；若不成立，线段OE、OC、OD之间有怎样的等量关系？
请写出你的猜想，不需证明。
9、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
E
AD
BC
N
M
⑴求证：
△AMB≌△ENB；
⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
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