费马点.doc

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费马点

一.费马点的发现者

费马（Fermat，PierredeFermat）（1601～1665）法国数学家，被誉为“业余数学家之王。

”

二.费马点的定义

在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

（1）若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。

所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

（2）若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

三.费马点的判定

（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。

（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

四.费马点的证明

　我们要如何证明费马点呢：

费马点证明图形

（1）费马点对边的张角为120度。

　　△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,

　　△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B

　　同理可得∠CBP=∠CA1P

　　由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度

　　同理,∠APB=120度，∠APC=120度

（2）PA+PB+PC=AA1

　　将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度

　　又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，

　　又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。

　　（3）PA+PB+PC最短

　　在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G（同上），则AA1

　　平面四边形费马点

　　平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。

（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。

费马点

（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。

　　经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：

　　当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。

五.费马点性质

（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。

　　特殊三角形中：

（2）.三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.

（3）.若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.

　　（4）当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合