高考数学全国卷文科.doc

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2004年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.

第I卷

球的表面积公式

S=4

其中R表示球的半径，

球的体积公式

V=，

其中R表示球的半径

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

Pn（k）=CPk（1－P）n－k

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．已知集合，则集合= （）

A．{} B．{}

C．{} D．{}

2．函数的反函数是 （）

A． B．

C． D．

3．曲线在点（1，－1）处的切线方程为 （）

A． B． C． D．

4．已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为 （）

A． B．

C． D．

5．已知函数的图象过点，则可以是 （）

A． B． C． D．

6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （）

A．75° B．60° C．45° D．30°

7．函数的图象 （）

A．与的图象 关于轴对称 B．与的图象关于坐标原点对称

C．与的图象关于轴对称 D．与的图象关于坐标原点对称

8．已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是 （）

A． B． C． D．

9．已知向量a、b满足：

|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|= （）

A．1 B． C． D．

10．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则

球心O到平面ABC的距离为 （）

A． B． C． D．

11．函数的最小正周期为 （）

A． B． C． D．2

12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521

的数共有 （）

A．56个 B．57个 C．58个 D．60个

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．已知a为实数，展开式中的系数是－15，则.

14．设满足约束条件：

则的最大值是.

15．设中心的原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是.

16．下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱

其中，真命题的编号是（写出所有正确结论的编号）.

三、解答题：

本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知等差数列{}，

（Ⅰ）求{}的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前n项和Sn.

18．（本小题满分12分）

已知锐角三角形ABC中，

（Ⅰ）求证；

（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.

19．（本小题满分12分）

已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.

求：

（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；

（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.

20．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，

CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，

B1C1的中点为M.

（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.

21．（本小题满分12分）

若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间

（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.

22．（本小题满分14分）

给定抛物线C：

F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点.

（Ⅰ）设的斜率为1，求夹角的大小；

（Ⅱ）设，求在轴上截距的变化范围.

2004年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、选择题

CABCACDBDBBC

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．14．515．16．②④

三、解答题

17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分.

解：

（Ⅰ）设数列的公差为d，依题意得方程组

解得

所以的通项公式为

（Ⅱ）由所以是首项，公式的等比数列.

于是得的前n项和

18．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，

满分12分.

（Ⅰ）证明：

所以

（Ⅱ）解：

，

即，将代入上式并整理得

解得，舍去负值得，

设AB边上的高为CD.

则AB=AD+DB=

由AB=3，得CD=2+.所以AB边上的高等于2+.

19．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用

数学知识解决问题的能力，满分12分.

（Ⅰ）解法一：

三支弱队在同一组的概率为

故有一组恰有两支弱队的概率为

解法二：

有一组恰有两支弱队的概率

（Ⅱ）解法一：

A组中至少有两支弱队的概率

解法二：

A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为

20．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

满分12分.

解法一：

（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=

∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形，

又知D为其底边A1B的中点，

∴CD⊥A1B.∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=

又BB1=1，A1B=2.∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，

∴CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=，DM=C1M.

∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM.

因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG//CD，FG=CD.

∴FG=，FG⊥BD.

由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D=A1B=1，

所以△BB1D是边长为1的正三角形.

于是B1G⊥BD，B1G=∴∠B1GF是所求二面角的平面角，

又B1F2=B1B2+BF2=1+（=，

∴

即所求二面角的大小为

解法二：

如图，以C为原点建立坐标系.

（Ⅰ）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），

D（，M（，1，0），

则∴CD⊥A1B，CD⊥DM.

因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则

G（），、、），

所以所求的二面角等于

21．本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运

用数学知识解决问题的能力.满分12分.

解：

函数的导数令，解得

为增函数.

依题意应有当

所以解得

所以a的取值范围是[5，7].

22．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。

满分14分。

解：

（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为

将代入方程，并整理得

设则有

所以夹角的大小为

（Ⅱ）由题设得

①

②

即

由②得，∵∴③

联立①、③解得，依题意有

∴又F（1，0），得直线l方程为

当时，l在方程y轴上的截距为

由可知在[4，9]上是递减的，

∴

直线l在y轴上截距的变化范围为

全国卷数学（文）第14页（共8页）