勾股定理中考题.doc

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勾股定理·中考题

看到这么一个标题，可能有些同学感到很纳闷：

会标与勾股定理和中考题之间有什么关系呢？

别着急，看完下文你就明白了.

2002年8月20~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会.这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议.它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐.这次大会的会标如右图所示。

它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.

赵爽在这本书中，画了一个弦图（如图）。

两个全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）.

赵爽注释道：

“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦.”开方除之是当时开方运算的术语.上面这句话实际上就是勾股定理即：

a2+b2=c2.

他又巧妙地证明出：

“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四.以勾股之差自相乘中黄实.加差实亦成弦实.”

即2ab+（b-a）2=c2

化简便得出：

a2+b2=c2

这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个.

借助第24届国际数学家大会的东风，宣传民族文化，激发自豪感，这些也正是中考命题专家们看重的地方.

例1（2003年安徽省中考题）如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形.

求证：

△ABF≌△DAE

分析：

在小学我们就知道，正方形的四条边相等，四个角都是直角.

∴∠BAF=900-∠DAE=∠ADE.

在Rt△ABF与△DAE中，

∠BAF=∠ADE，AB=AD

∴△ABF≌△DAE（AAS）.

例2（2003年山东省中考题）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图注》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如下图所示）.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）

A.13；B.19；C.25；D.169.

分析：

由勾股定理，结合题意得a2+b2=13①.

由题意，得（b-a）2=1②.

由②，得a2+b2-2ab=1③.

把①代入③，得13-2ab=1

∴2ab=12.

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25.

因此，选C.

例3（2003年山东省烟台市中考题）

（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开.大会会标如图甲.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5.求中间小正方形的面积.

（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.

图甲

图乙

（要求：

先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）

分析：

（1）设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，则小正方形的边长为a-b.由题意得a+b=5①

由勾股定理，得a2+b2=13②.

①2–②，得2ab=12.

∴（a-b）2=a2+b2-2ab=13–12=1③.

即所求的中间小正方形的面积为1.

（2）所拼成的正方形的面积为6.5×2=13（cm2），所以，可按照图甲制作.

由③，得a-b=1.

由①、③组成方程组解得a=3,b=2.

3cm

3cm

0.5cm

cm

1cm

1cm

0.5cm

3cm

2cm

cm

2cm

结合题意，每个直角三角形的较长的直角边只能在纸片6.5cm的长边上截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为13-×3×2×4=13-12=1（cm2），恰好等于中间的小正方形面积.于是，得到以下分割拼合方法：

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