锐角三角函数难题.doc

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锐角三角函数难题

一、选择题（共12小题）

1．（2011•怀柔区二模）如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（　　）

A．

0.5

B．

C．

D．

2．（2009•石景山区一模）已知：

如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，且BD=2AD，CD=10，，则BC边上的高AE的长为（　　）

A．

4.5

B．

C．

D．

3．（2013•金华模拟）如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（　　）

A．

cm2

B．

cm2

C．

cm2

D．

cm2

4．（2010•攀枝花）如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE：

CE=2：

3，则tan∠ADE的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．（2009•河池）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

6．（2010•凉山州）已知在△ABC中，∠C=90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB=n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．（2008•资阳）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E=30°，D为AB的中点，AC=1，若△DEC绕点D顺时针旋转，使ED，CD分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M，N．则当△DMN为等边三角形时，AM的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

8．（2010•武汉）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（　　）

A．

B．

C．

D．

9．（2008•枣庄）如图，两个高度相等且底面直径之比为1：

2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（　　）

A．

B．

6cm

C．

8cm

D．

10cm

10．（2007•宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（　　）

A．

24m

B．

22m

C．

20m

D．

18m

11．（2006•潍坊）计算：

tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（　　）

A．

B．

C．

D．

12．（2008•泰安）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值）

13．（2009•番禺区一模）如图，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为90m，则这栋楼高为　_________　（精确到0.1m）．

14．（2010•浦东新区二模）已知在△ABC中，AB=AC=10，，中线BM与CN相交于点G，那么点A与点G之间的距离等于　_________　．

15．（2011•潍城区模拟）如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2．则∠1+∠2=　_________　．

16．（2011•如东县模拟）在网格中，△ABC如图放置，则sinB的值为　_________　．

17．（2012•利辛县二模）根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3×105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的．但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：

直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10°，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的　_________　倍．（结果保留两个有效数字）．

18．（2010•罗湖区模拟）如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是　_________　．

19．（2011•南汇区模拟）平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠B=60°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AFE，那么△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是　_________　．

20．（2011•莆田）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为　_________　．

21．（2009•金华）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于　_________　．

22．（2010•绍兴）水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部．若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为　_________　．

23．（2009•乐山）如图，∠AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1，S2，S3，…．则：

（1）S1=　_________　；

（2）通过计算可得S2009=　_________　．

24．（2010•鞍山）如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4m，BC=10m，CD与地面成30°角，且此时测得1m杆的影子长为2m，则电线杆的高度约为　_________　m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）

三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）

25．（2014•佛山）我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．

如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．

（1）如图，若B1B=30米，∠B1=22°，∠ABC=30°，求AC（精确到1）；

（参考数据：

sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73）

（2）如图2，若∠ABC=30°，B1B=AB，计算tan15°的值（保留准确值）；

（3）直接写出tan7.5°的值．（注：

若出现双重根式，则无需化简）

26．（2014•连云港）在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图，表盘是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为（20﹣20）cm．

（1）求AB的长；

（2）从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？

若旋转2014秒，交点又在什么位置？

请说明理由．

27．（2013•济宁三模）计算：

．

28．（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：

背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：

．

（1）求加固后坝底增加的宽度AF；

（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？

（结果保留根号）

29．（2013•犍为县二模）由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD．

30．（2013•自贡）在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．

（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？

请说明理由．

【考点训练】锐角三角函数-2

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题）

1．（2011•怀柔区二模）如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（　　）

A．

0.5

B．

C．

D．

考点：

专题：

综合题．

分析：

过F作FG⊥AC于G，然后连接AF，根据△ACF和△ABC底和高的比例可得出△ACF的面积，然后根据SACF=AC×FG可求出FG的长，继而得出了答案．

解答：

解：

过F作FG⊥AC于G，连接AF，可得：

△ACF和△ABC底之比为1：

3；高之比为1：

1；

∴△ACF和△ABC的面积之比为1：

3，

又∵AB=2，BC=3，

∴S△ABC=3，S△ACF=1，

又∵S△ACF=AC×FG，

∴FG=．

故选D．

点评：

本题考查了解直角三角形的知识，难度较大，首先要判断出FG可表示最短距离，然后解答本题关键的一步是利用底与高的关系求出△AFC的面积．

2．（2009•石景山区一模）已知：

如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，且BD=2AD，CD=10，，则BC边上的高AE的长为（　　）

A．

4.5

B．

C．

D．

考点：

专题：

计算题．

分析：

作DF⊥BC于点F．构造比例线段，然后结合三角函数的定义解答．

解答：

解：

作DF⊥BC于点F，则DF∥AE．

∴DF：

AE=BD：

BA=BD：

（AD+BD）=2：

3．

∵CD=10，

∴sin∠BCD=DF：

CD=3：

5，

∴DF=6，

∴AE=•DF==9．

故选D．

点评：

本题通过作出了辅助线，得到DF∥AE，利用等比例线段的性质和锐角三角函数的概念求解的．

3．（2013•金华模拟）如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（　　）

A．

cm2

B．

cm2

C．

cm2

D．

cm2

考点：

分析：

由题可知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，即∠A=45°，AC=AB，过C作CD⊥AB，垂足为D，根据三角函数定义求出AC，AB，然后就可以求出△ABC面积．

解答：

解：

如图，由题可知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，

即∠A=45°，AC=AB．

作CD⊥AB，垂足为D，

则CD=1．

∵sin∠A=，

∴==AB，

∴S△ABC=×AB×CD=，

∴折叠后重叠部分的面积为cm2．

故选D．

点评：

此题考查了正弦的概念和应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到直角三角形中．

4．（2010•攀枝花）如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE：

CE=2：

3，则tan∠ADE的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

过E点作CD的平行线交AD于F，设AE=2a，则CE=3a．tan∠C=，EF和DF分别可用a的代数式来表达，即可得出tan∠ADE的值．

解答：

解：

过E点作CD的平行线交AD于F．如图：

∵AD是等腰△ABC底边上的高，tan∠B=，

∴EF⊥AD，tan∠C=．

设AE=2a，

∵AE：

CE=2：

3，

∴CE=3a，AC=5a．

∵tan∠C=，

∴sin∠C=，cos∠C=．

在直角△ADC中，

AD=ACsin∠C=5a×=3a．

在直角△AFE中，

AF=AE×sin∠AEF=AE×sin∠C=2a×=．

EF=AE×cos∠AEF=AE×cos∠C=2a×=．

在直角△DFE中，

tan∠ADE=．

故选B．

点评：

考查等腰三角形的性质和三角函数的性质．

5．（2009•河池）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

计算题；压轴题．

分析：

过点E作底边BC上的高ED，由△BCE的面积，可求ED的长；在△BEF中，根据三角形面积求法，可求BF的长，进而求出CF的长．再根据S△CEF=FC×ED求解即可．

解答：

解：

过点E作ED⊥BC交BC于点D．

设EF的长为x，

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点E为AC的中点，

∴BC=16，BE==，

S△BCE=S△ABC=×AB×AC=96，

∵S△BCE=BC×ED，

∴ED=．

在△BEF中，S△BEF=BE×EF=BF×ED，即x=×，

解得：

x=，BF==，

∴CF=BC﹣BF=，

∴S△CEF=CF×ED=××=16．

故选A．

点评：

考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质进行逻辑推理能力和运算能力．

6．（2010•凉山州）已知在△ABC中，∠C=90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB=n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

根据三角形的内角和定理，易知直角三角形的最小内角不大于45°．

再根据sin45°=和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析．

解答：

解：

根据题意，知

0°＜∠B＜45°．

又sin45°=，

∴0＜n＜．

故选A．

点评：

此题综合运用了三角形的内角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数值的变化规律．

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

要求AM的长，可以考虑在直角△ACM中利用勾股定理求解，这样就转化为求CM的长．

解答：

解：

在Rt△ABC中，∠E=30°，D为AB的中点，

则△BCD中，BC=，∠CDB=120°，CD=BD，

过点D作DP⊥BC于P点，则PC=，DP=PC•tan60°=．

在Rt△DMP中，MP=DP•tan30°=，

∴CM=PC﹣MP=．

∵在直角△ACM中，∠CAM=30°．

∴AM=2CM=．

故选B．

点评：

解决本题的关键是能够正确理解题意，正确作出旋转后的图形，把求线段长的问题转化为三角函数或勾股定理的内容．

8．（2010•武汉）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

综合题；压轴题．

分析：

作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=7．

解答：

解：

作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD

∴DF=DG，弧AD=弧BD，

∴DA=DB．

∵∠AFD=∠BGD=90°，

∴△AFD≌△BGD，

∴AF=BG．

易证△CDF≌△CDG，

∴CF=CG．

∵AC=6，BC=8，

∴AF=1，（也可以：

设AF=BG=X，BC=8，AC=6，得8﹣x=6+x，解x=1）

∴CF=7，

∵△CDF是等腰直角三角形，（这里由CFDG是正方形也可得）．

∴CD=7．

故选B．

点评：

本题综合考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用．

此题是一个大综合题，难度较大．

9．（2008•枣庄）如图，两个高度相等且底面直径之比为1：

2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（　　）

A．

B．

6cm

C．

8cm

D．

10cm

考点：

专题：

压轴题．

分析：

首先根据液体的体积相等可求得液体在乙中的高度．在直角三角形中，求得直角边为4cm，斜边是8cm，可以求出另一直角边就是12cm，然后根据三角形的面积可知直角三角形的斜边上的高是6cm，所以可求出乙杯中的液面与图中点P的距离．

解答：

解：

甲液体的体积等于液体在乙中的体积．设乙杯中水深为x，

则π×12×16=π×48×x，

解得x=4．

在直角△ABP中，已知AP=4cm，AB=8cm，

∴BP=12cm．

根据三角形的面积公式可知直角△ABP斜边上的高是6cm，

所以乙杯中的液面与图中点P的距离是16﹣6﹣4=6（cm）．

故选B．

点评：

本题是一道圆柱与解直角三角形的综合题，要求乙杯中的液面与图中点P的距离，就要求直角三角形中的高和乙杯中的液体的高度．

A．

24m

B．

22m

C．

20m

D．

18m

考点：

专题：

压轴题．

分析：

过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可．

解答：

解：

过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．

由题意得：

．（2分）

∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）．（1分）

∴GF=BD=CD=6m．（1分）

又∵．（2分）

∴AG=1.6×6=9.6（m）．（1分）

∴AB=14.4+9.6=24（m）．（1分）

答：

铁塔的高度为24m．

故选A．

点评：

运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．

11．（2006•潍坊）计算：

tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

根据特殊角的三角函数值计算即可．

解答：

解：

原式=+﹣=．

故选：

C．

点评：

本题考查了对特殊角的三角函数值的应用，主要考查学生的记忆能力和计算能力．

12．（2008•泰安）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．

解答：

解：

根据题意，BE=AE．设CE=x，则BE=AE=8﹣x．

在Rt△BCE中，根据勾股定理得：

BE2=BC2+CE2，即（8﹣x）2=62+x2

解得x=，

∴tan∠CBE===．

故选C．

点评：

本题考查锐角三角函数的概念：

在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．

二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值）

13．（2009•番禺区一模）如图，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为90m，则这栋楼高为　207.8m　（精确到0.1m）．

考点：

专题：

计算题．

分析：

过点A作AD⊥BC，构建两个直角三角形，利用30°、60°角的正切函数分别求出CD和BD，求和即可．

解答：

解：

过点A作AD⊥BC，垂足为D．

在Rt△ADC中，有CD=ADtan60°=AD=90，

在Rt△ABD中，有BD=ADtan30°=AD=30．

故这栋楼高BC为90+30=120≈207.8（m）．

故答案为：

207.8m．

点评：

本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并解直角三角形．

14．（2010•浦东新区二模）已知在△ABC中，AB=AC=10，，中线BM与CN相交于点G，那么点A与点G之间的距离等于　4　．

考点：

分析：

根据角的余弦值与三角形边的关系，可先求出AE、EC的长．

再根据等腰三角形的性质及中位线定理分别求出AF、FG的长，从而求出点A与点G之间的距离．

解答：

解：

连

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