上海市长宁区金山区中考数学一模试卷.doc

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2017年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）

A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）

2．（4分）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正弦值是（　　）

A． B． C． D．

3．（4分）如图，下列能判断BC∥ED的条件是（　　）

A．= B．= C．= D．=

4．（4分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和6，若⊙O1与⊙O2相交，那么圆心距O1O2的取值范围是（　　）

A．2＜O1O2＜4 B．2＜O1O2＜6 C．4＜O1O2＜8 D．4＜O1O2＜10

5．（4分）已知非零向量与，那么下列说法正确的是（　　）

A．如果||=||，那么= B．如果||=|﹣|，那么∥

C．如果∥，那么||=|| D．如果=﹣，那么||=||

6．（4分）已知等腰三角形的腰长为6cm，底边长为4cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（　　）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）如果3x=4y，那么=　　．

8．（4分）已知二次函数y=x2﹣2x+1，那么该二次函数的图象的对称轴是　　．

9．（4分）已知抛物线y=3x2+x+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3），那么c=　　．

10．（4分）已知抛物线y=﹣x2﹣3x经过点（﹣2，m），那么m=　　．

11．（4分）设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=　　．

12．（4分）在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是　　．

13．（4分）已知⊙A的半径是2，如果B是⊙A外一点，那么线段AB长度的取值范围是　　．

14．（4分）如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，GE∥AB交BC与E，若AB=6，那么GE=　　．

15．（4分）如图，在地面上离旗杆BC底部18米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为30°，已知测角仪AD的高度为1.5米，那么旗杆BC的高度为　　米．

16．（4分）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别是1和，O1O2=2，那么两圆公共弦AB的长为　　．

17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，DO：

BO=1：

2，点E在CB的延长线上，如果S△AOD：

S△ABE=1：

3，那么BC：

BE=　　．

18．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A'处，当A'E⊥AC时，A'B=　　．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算：

sin30°•tan30°﹣cos60°•cot30°+．

20．（10分）如图，在△ABC中，D是AB中点，联结CD．

（1）若AB=10且∠ACD=∠B，求AC的长．

（2）过D点作BC的平行线交AC于点E，设=，=，请用向量、表示和（直接写出结果）

21．（10分）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，⊙D经过点B，与BC交于点E，与AB交与点F．已知tanA=，cot∠ABC=，AD=8．

求

（1）⊙D的半径；

（2）CE的长．

22．（10分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AB∥CD，坝顶宽DC为6米，坝高DG为2米，迎水坡BC的坡角为30°，坝底宽AB为（8+2）米．

（1）求背水坡AD的坡度；

（2）为了加固拦水坝，需将水坝加高2米，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡和背水坡的坡度也不变，求加高后坝底HB的宽度．

23．（12分）如图，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，联结AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE且与AE交于点G．

（1）求证：

GF=BF．

（2）在BC边上取点M，使得BM=BE，联结AM交DE于点O．求证：

FO•ED=OD•EF．

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴正半轴交于点C，已知A（2，0）

（1）当B（﹣4，0）时，求抛物线的解析式；

（2）O为坐标原点，抛物线的顶点为P，当tan∠OAP=3时，求此抛物线的解析式；

（3）O为坐标原点，以A为圆心OA长为半径画⊙A，以C为圆心，OC长为半径画圆⊙C，当⊙A与⊙C外切时，求此抛物线的解析式．

25．（14分）已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的顶点D在BC边上，DP交AB边于点E，DQ交AB边于点O且交CA的延长线于点F（点F与点A不重合），设∠PDQ=∠B，BD=3．

（1）求证：

△BDE∽△CFD；

（2）设BE=x，OA=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）当△AOF是等腰三角形时，求BE的长．

2017年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．（4分）（2017•金山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）

A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）

【解答】解：

∵y=﹣（x﹣1）2+2，

∴抛物线顶点坐标为（1，2），

故选B．

2．（4分）（2017•金山区一模）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正弦值是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：

∵∠C=90°，AB=5，BC=4，

∴sinA==，

故选D．

3．（4分）（2017•金山区一模）如图，下列能判断BC∥ED的条件是（　　）

A．= B．= C．= D．=

【解答】解：

∵=，

∴BC∥ED；

故选C．

4．（4分）（2017•金山区一模）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和6，若⊙O1与⊙O2相交，那么圆心距O1O2的取值范围是（　　）

A．2＜O1O2＜4 B．2＜O1O2＜6 C．4＜O1O2＜8 D．4＜O1O2＜10

【解答】解：

两圆半径差为4，半径和为8，

两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，

所以，4＜O1O2＜8．

故选C．

5．（4分）（2017•金山区一模）已知非零向量与，那么下列说法正确的是（　　）

A．如果||=||，那么= B．如果||=|﹣|，那么∥

C．如果∥，那么||=|| D．如果=﹣，那么||=||

【解答】解：

A、如果||=||，与的大小相等，与的方向不一向相同，故A错误；

B、如果||=||，与的大小相等，与不一定平行，故B错误；

C、如果∥，与的大小不应定相等，故C错误；

D、如果=﹣，那么||=||，故D正确；

故选：

D．

6．（4分）（2017•阳谷县一模）已知等腰三角形的腰长为6cm，底边长为4cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（　　）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

【解答】解：

如图所示：

在等腰三角形ABC中，作AD⊥BC于D，

则BD=CD=BC=2，

∴AD===4＞5，

即d＞r，

∴该圆与底边的位置关系是相离；

故选：

A．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）（2017•金山区一模）如果3x=4y，那么=　　．

【解答】解：

由3x=4y，得x：

y=4：

3，

故答案为：

．

8．（4分）（2017•金山区一模）已知二次函数y=x2﹣2x+1，那么该二次函数的图象的对称轴是　x=1　．

【解答】解：

∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

对称轴是：

x=1．

故本题答案为：

x=1．

9．（4分）（2017•金山区一模）已知抛物线y=3x2+x+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3），那么c=　﹣3　．

【解答】解：

当x=0时，y=c，

∵抛物线y=3x2+x+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3），

∴c=﹣3，

故答案为﹣3．

10．（4分）（2017•金山区一模）已知抛物线y=﹣x2﹣3x经过点（﹣2，m），那么m=　4　．

【解答】解：

∵y=﹣x2﹣3x经过点（﹣2，m），

∴m=﹣×22﹣3×（﹣2）=4，

故答案为4．

11．（4分）（2017•金山区一模）设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=　　．

【解答】解：

由α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=，

故答案为：

．

12．（4分）（2017•金山区一模）在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是　y=2（x﹣1）2+1　．

【解答】解：

抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移1个单位，再向右平移1个单位所得对应点的坐标为（1，1），

所以平移后的抛物线解析式为y=2（x﹣1）2+1．

故答案为y=2（x﹣1）2+1．

13．（4分）（2017•金山区一模）已知⊙A的半径是2，如果B是⊙A外一点，那么线段AB长度的取值范围是　AB＞2　．

【解答】解：

∵⊙A的半径是2，B是⊙A外一点，

∴线段AB长度的取值范围是AB＞2．

故答案为：

AB＞2．

14．（4分）（2017•金山区一模）如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，GE∥AB交BC与E，若AB=6，那么GE=　2　．

【解答】解：

∵点G是△ABC的重心，

∴DG：

AG=1：

2，

∴DG：

DA=1：

3，

∵GE∥AB，

∴=，即=，

∴EG=2，

故答案为：

2．

15．（4分）（2017•金山区一模）如图，在地面上离旗杆BC底部18米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为30°，已知测角仪AD的高度为1.5米，那么旗杆BC的高度为　6+1.5　米．

【解答】解：

在Rt△CDE中，tan∠CDE=，

∴CE=DE•tan∠CDE=6，

∴BC=CE+BE=6+1.5（米），

故答案为：

6+1.5．

16．（4分）（2017•金山区一模）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别是1和，O1O2=2，那么两圆公共弦AB的长为　　．

【解答】解：

连接O1A，O2A，如图所示

设AC=x，O1C=y，则AB=2AC=2x，

∵O1O2=2，

∴O2C=2﹣y，

∵AB⊥O1O2，

∴AC2+O1C2=O1A2，O2C2+AC2=O2A2，

∴，

解得：

，

∴AC=，

∴AB=2AC=；

故答案为：

．

17．（4分）（2017•金山区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，DO：

BO=1：

2，点E在CB的延长线上，如果S△AOD：

S△ABE=1：

3，那么BC：

BE=　2：

1　．

【解答】解：

∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB，

∵DO：

BO=1：

2，

∴S△AOD：

S△COB=1：

4，S△AOD：

S△AOB=1：

2，

∵S△AOD：

S△ABE=1：

3，

∴S△ABC：

S△ABE=6：

3=2：

1，

∴BC：

BE=2：

1．

18．（4分）（2017•金山区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A'处，当A'E⊥AC时，A'B=　或7　．

【解答】解：

分两种情况：

①如图1，过D作DG⊥BC与G，交A′E与F，过B作BH⊥A′E与H，

∵D为AB的中点，

∴BD=AB=AD，

∵∠C=90，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∴BD=AD=5，

sin∠ABC=，

∴，

∴DG=4，

由翻折得：

∠DA′E=∠A，A′D=AD=5，

∴sin∠DA′E=sin∠A=，

∴，

∴DF=3，

∴FG=4﹣3=1，

∵A′E⊥AC，BC⊥AC，

∴A′E∥BC，

∴∠HFG+∠DGB=180°，

∵∠DGB=90°，

∴∠HFG=90°，

∵∠EHB=90°，

∴四边形HFGB是矩形，

∴BH=FG=1，

同理得：

A′E=AE=8﹣1=7，

∴A′H=A′E﹣EH=7﹣6=1，

在Rt△AHB中，由勾股定理得：

A′B==；

②如图2，过D作MN∥AC，交BC与于N，过A′作A′F∥AC，交BC的延长线于F，延长A′E交直线DN于M，

∵A′E⊥AC，

∴A′M⊥MN，A′E⊥A′F，

∴∠M=∠MA′F=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠F=∠ACB=90°，

∴四边形MA′FN是矩形，

∴MN=A′F，FN=A′M，

由翻折得：

A′D=AD=5，

Rt△A′MD中，∴DM=3，A′M=4，

∴FN=A′M=4，

Rt△BDN中，∵BD=5，

∴DN=4，BN=3，

∴A′F=MN=DM+DN=3+4=7，

BF=BN+FN=3+4=7，

Rt△ABF中，由勾股定理得：

A′B==7；

综上所述，A′B的长为或7．

故答案为：

或7．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）（2017•金山区一模）计算：

sin30°•tan30°﹣cos60°•cot30°+．

【解答】解：

原式=×﹣××+=﹣+2=2．

20．（10分）（2017•金山区一模）如图，在△ABC中，D是AB中点，联结CD．

（1）若AB=10且∠ACD=∠B，求AC的长．

（2）过D点作BC的平行线交AC于点E，设=，=，请用向量、表示和（直接写出结果）

【解答】解：

（1）∵D是AB中点，

∴AD=AB=5，

∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∴AC2=AB•AD=10×5=50，

∴AC==5；

（2）如图所示：

∵DE∥BC，D是AB的中点，

∴AD=DB，AE=EC，

∵=，=，

∴==，

∴，

∵==，

∴．

21．（10分）（2017•金山区一模）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，⊙D经过点B，与BC交于点E，与AB交与点F．已知tanA=，cot∠ABC=，AD=8．

求

（1）⊙D的半径；

（2）CE的长．

【解答】解：

（1）∵CD⊥AB，AD=8，tanA=，

在Rt△ACD中，tanA==，AD=8，CD=4，

在Rt△CBD，cot∠ABC==，BD=3，

∴⊙D的半径为3；

（2）过圆心D作DH⊥BC，垂足为H，

∴BH=EH，

在Rt△CBD中∠CDB=90°，BC==5，cos∠ABC==，

在Rt△BDH中，∠BHD=90°，cos∠ABC==，BD=3，BH=，

∵BH=EH，

∴BE=2BH=，

∴CE=BC﹣BE=5﹣=．

22．（10分）（2017•金山区一模）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AB∥CD，坝顶宽DC为6米，坝高DG为2米，迎水坡BC的坡角为30°，坝底宽AB为（8+2）米．

（1）求背水坡AD的坡度；

（2）为了加固拦水坝，需将水坝加高2米，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡和背水坡的坡度也不变，求加高后坝底HB的宽度．

【解答】解：

（1）如图，过点C作CP⊥AB于点P，

则四边形CDGP是矩形，

∴CP=DG=2，CD=GP=6，

∵∠B=30°，

∴BP===2，

∴AG=AB﹣GP﹣BP=8+2﹣6﹣2=2=DG，

∴背水坡AD的坡度DG：

AG=1：

1；

（2）由题意知EF=MN=4，ME=CD=6，∠B=30°，

则BF===4，HN===4，NF=ME=6，

∴HB=HN+NF+BF=4+6+4=10+4，

答：

加高后坝底HB的宽度为（10+4）米．

23．（12分）（2017•金山区一模）如图，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，联结AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE且与AE交于点G．

（1）求证：

GF=BF．

（2）在BC边上取点M，使得BM=BE，联结AM交DE于点O．求证：

FO•ED=OD•EF．

【解答】证明：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，

∵GF∥BE，

∴GF∥BC，

∴GF∥AD，

∴，

∵AB∥CD，

∴，

∵AD=CD，

∴GF=BF；

（2）延长GF交AM于H，

∵GF∥BC，

∴FH∥BC，

∴，

∴，

∵BM=BE，

∴GF=FH，

∵GF∥AD，

∴，

∴，

∴，

∴FO•ED=OD•EF．

24．（12分）（2017•金山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴正半轴交于点C，已知A（2，0）

（1）当B（﹣4，0）时，求抛物线的解析式；

（2）O为坐标原点，抛物线的顶点为P，当tan∠OAP=3时，求此抛物线的解析式；

（3）O为坐标原点，以A为圆心OA长为半径画⊙A，以C为圆心，OC长为半径画圆⊙C，当⊙A与⊙C外切时，求此抛物线的解析式．

【解答】解：

（1）把点A（2，0）、B（﹣4，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，，

∴b=﹣1．c=8，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8；

（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，把点A（2，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，

﹣4+4b+c=0①，

∵抛物线的顶点为P，

∴y=﹣x2+2bx+c=﹣（x﹣b）2+b2+c，

∴P（b，b2+c），

∴PH=b2+c，AH=2﹣b，

在Rt△PHA中，tan∠OAP=，

∴=3②，

联立①②得，，

∴（不符合题意，舍）或，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8；

（3）∵如图2，抛物线y=﹣x2+2bx+c与y轴正半轴交于点C，

∴C（0，c）（c＞0），

∴OC=c，

∵A（2，0），

∴OA=2，

∴AC=，

∵⊙A与⊙C外切，

∴AC=c+2=，

∴c=0（舍）或c=，

把点A（2，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，﹣4+4b+c=0，

∴b=，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+．

25．（14分）（2017•金山区一模）已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的顶点D在BC边上，DP交AB边于点E，DQ交AB边于点O且交CA的延长线于点F（点F与点A不重合），设∠PDQ=∠B，BD=3．

（1）求证：

△BDE∽△CFD；

（2）设BE=x，OA=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）当△AOF是等腰三角形时，求BE的长．

【解答】解：

（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠EDC=∠B+∠BED，

∴∠FDC+∠EDO=∠B+∠BED，

∵∠EDO=∠B，

∴∠BED=∠EDC，

∵∠B=∠C，

∴△BDE∽△CFD．

（2）过点D作DM∥AB交AC于M（如图1中）．

∵△BDE∽△CFD，

∴=，∵BC=8，BD=3，BE=x，

∴=，

∴FC=，

∵DM∥AB，

∴=，即=，

∴DM=，

∵DM∥AB，

∴∠B=∠MDC，

∴∠MDC=∠C，

∴CM=DM=，FM=﹣，

∵DM∥AB，

∴=，即=，

∴y=（0＜x＜3）．

（3）①当AO=AF时，

由

（2）可知AO=y=，AF=FC﹣AC=﹣5，

∴=﹣5，解得x=．

∴BE=

②当FO=FA时，易知DO=AM=，作DH⊥AB于H（如图2中），

BH=BD•cos∠B=3×=，

DH=BD•sin∠B=3×=，

∴HO==，

∴OA=AB﹣BH﹣HO=，

由

（2）可知y=，即=，解得x=，

∴BE=．

③当OA=OF时，设DP与CA的延长线交于点N（如图3中）．

∴∠OAF=∠OFA，∠B=∠C=∠ANE，

由△ABC≌△CDN，可得CN=BC=8，ND=5，

由△BDE≌△NAE，可得NE=BE=x，ED=5﹣x，

作EG⊥BC于G，则BG=x，EG=x，

∴GD=，

∴BG+GD=x+=3，

∴x=＞3（舍弃），

综上所述，当△OAF是等腰三角形时，BE=或．

参与本试卷答题和审题的老师有：

Ldt；张其铎；lantin；sjzx；2300680618；家有儿女；wd1899；733599；gsls；放飞梦想；szl；知足长乐；tcm123；sks；三界无我；王学峰；星月相随；弯弯的小河（排名不分先后）

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2017年4月8日

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