人教版北师大初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全.doc

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人教版北师大初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全

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人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

一．添辅助线有二种情况：

1按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！

这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

举例如下：

（1）平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

（2）等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

（6）全等三角形：

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：

或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。

当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

（7）相似三角形：

相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。

若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。

（8）特殊角直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：

1：

√2；30度角直角三角形三边比为1：

2：

√3进行证明

（9）半圆上的圆周角

出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。

二．基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：

有关三角形中线的题目，常将中线加倍。

含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：

含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：

结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：

结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。

它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。

辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：

（1）在梯形内部平移一腰。

（2）梯形外平移一腰

（3）梯形内平移两腰

（4）延长两腰

（5）过梯形上底的两端点向下底作高

（6）平移对角线

（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。

（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。

（9）作中位线

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。

通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

4.圆中常用辅助线的添法

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

（1）见弦作弦心距

有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。

（2）见直径作圆周角

在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。

（3）见切线作半径

命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。

（4）两圆相切作公切线

对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

（5）两圆相交作公共弦

对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。

作辅助线的方法

一：

中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：

垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。

其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：

边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。

其对称中心，因题而异，有时没有中心。

故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:

造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。

在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：

第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。

故作歌诀：

“造角、平、相似，和差积商见。

”

托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）

五：

两圆若相交，连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。

六：

两圆相切、离，连心，公切线。

如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。

七：

切线连直径，直角与半圆。

如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。

即切线与直径互为辅助线。

如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。

即直角与半圆互为辅助线。

八：

弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。

如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。

如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。

有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。

九：

面积找底高，多边变三边。

如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。

另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。

三角形中作辅助线的常用方法举例

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1：

已知如图1-1：

D、E为△ABC内两点,求证:

AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

证明：

（法一）将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，

在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE;

（1）

在△BDM中，MB＋MD＞BD；

（2）

在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）

由

（1）＋

（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

（法二：

）如图1-2，延长BD交AC于F，延长CE交BF于G，

在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB＋AF＞BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）

（1）

GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………

（2）

DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）

由

（1）＋

（2）＋（3）得：

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：

如图2-1：

已知D为△ABC内的任一点，求证：

∠BDC＞∠BAC。

分析：

因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；

证法一：

延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC

证法二：

连接AD，并延长交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

即：

∠BDC＞∠BAC。

注意：

利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：

如图3-1：

已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：

BE＋CF＞EF。

分析：

要证BE＋CF＞EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。

证明：

在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，

在△DBE和△DNE中：

∵

∴△DBE≌△DNE（SAS）

∴BE＝NE（全等三角形对应边相等）

同理可得：

CF＝NF

在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）

∴BE＋CF＞EF。

注意：

当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。

四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例如：

如图4-1：

AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：

BE＋CF＞EF

证明：

延长ED至M，使DM=DE，连接

CM，MF。

在△BDE和△CDM中，

∵

∴△BDE≌△CDM（SAS）

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）

∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）

∴∠3＋∠2=90°，即：

∠EDF＝90°

∴∠FDM＝∠EDF＝90°

在△EDF和△MDF中

∵

∴△EDF≌△MDF（SAS）

∴EF＝MF（全等三角形对应边相等）

∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）

∴BE＋CF＞EF

注：

上题也可加倍FD，证法同上。

注意：

当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。

例如：

如图5-1：

AD为△ABC的中线，求证：

AB＋AC＞2AD。

分析：

要证AB＋AC＞2AD，由图想到：

AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

证明：

延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD

∵AD为△ABC的中线（已知）

∴BD＝CD（中线定义）

在△ACD和△EBD中

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE＝CA（全等三角形对应边相等）

∵在△ABE中有：

AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边）

∴AB＋AC＞2AD。

（常延长中线加倍，构造全等三角形）

练习：

已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF＝2AD。

六、截长补短法作辅助线。

例如：

已知如图6-1：

在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。

求证：

AB－AC＞PB－PC。

分析：

要证：

AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：

AB－AC＞PB－PC。

证明：

（截长法）

在AB上截取AN＝AC连接PN,在△APN和△APC中

∵

∴△APN≌△APC（SAS）

∴PC＝PN（全等三角形对应边相等）

∵在△BPN中，有PB－PN＜BN（三角形两边之差小于第三边）

∴BP－PC＜AB－AC

证明：

（补短法）延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，

在△ABP和△AMP中

∵

∴△ABP≌△AMP（SAS）

∴PB＝PM（全等三角形对应边相等）

又∵在△PCM中有：

CM＞PM－PC（三角形两边之差小于第三边）

∴AB－AC＞PB－PC。

七、延长已知边构造三角形：

例如：

如图7-1：

已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：

AD＝BC

分析：

欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：

△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。

证明：

分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，

∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）

∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定义）

在△DBE与△CAE中

∵

∴△DBE≌△CAE（AAS）

∴ED＝ECEB＝EA（全等三角形对应边相等）

∴ED－EA＝EC－EB

即：

AD＝BC。

（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。

）

八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：

如图8-1：

AB∥CD，AD∥BC求证：

AB=CD。

分析：

图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。

证明：

连接AC（或BD）

∵AB∥CDAD∥BC（已知）

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）

在△ABC与△CDA中

∵

∴△ABC≌△CDA（ASA）

∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）

九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例如：

如图9-1：

在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。

求证：

BD＝2CE

分析：

要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。

证明：

分别延长BA，CE交于点F。

∵BE⊥CF（已知）

∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定义）

在△BEF与△BEC中，

∵

∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF（全等三角形对应边相等）

∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）

∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°

∴∠BDA＝∠BFC

在△ABD与△ACF中

∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形对应边相等）∴BD＝2CE

十、连接已知点，构造全等三角形。

例如：

已知：

如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：

∠A＝∠D。

分析：

要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。

证明：

连接BC，在△ABC和△DCB中

∵

∴△ABC≌△DCB（SSS）

∴∠A＝∠D（全等三角形对应边相等）

十一、取线段中点构造全等三有形。

例如：

如图11-1：

AB＝DC，∠A＝∠D求证：

∠ABC＝∠DCB。

分析：

由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。

下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。

问题得证。

证明：

取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。

则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中∵

∴△ABN≌△DCN（SAS）

∴∠ABN＝∠DCNNB＝NC（全等三角形对应边、角相等）

在△NBM与△NCM中

∵

∴△NMB≌△NCM，（SSS）∴∠NBC＝∠NCB（全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN＝∠NCB＋∠DCN即∠ABC＝∠DCB。

巧求三角形中线段的比值

例1.如图1，在△ABC中，BD：

DC＝1：

3，AE：

ED＝2：

3，求AF：

FC。

解：

过点D作DG//AC，交BF于点G

所以DG：

FC＝BD：

BC

因为BD：

DC＝1：

3所以BD：

BC＝1：

4

即DG：

FC＝1：

4，FC＝4DG

因为DG：

AF＝DE：

AE又因为AE：

ED＝2：

3

所以DG：

AF＝3：

2

即所以AF：

FC＝：

4DG＝1：

6

例2.如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：

FD

解：

过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：

GC＝AF：

AC

因为AF＝FC所以AF：

AC＝1：

2

即EF：

GC＝1：

2，

因为CG：

DE＝BC：

BD又因为BC＝CD

所以BC：

BD＝1：

2CG：

DE＝1：

2即DE＝2GC

因为FD＝ED－EF＝所以EF：

FD＝

小结：

以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。

请再看两例，让我们感受其中的奥妙！

例3.如图3，BD：

DC＝1：

3，AE：

EB＝2：

3，求AF：

FD。

解：

过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。

所以DF：

BG＝CD：

CB

因为BD：

DC＝1：

3所以CD：

CB＝3：

4

即DF：

BG＝3：

4，

因为AF：

BG＝AE：

EB又因为AE：

EB＝2：

3

所以AF：

BG＝2：

3即

所以AF：

DF＝

例4.如图4，BD：

DC＝1：

3，AF＝FD，求EF：

FC。

解：

过点D作DG//CE，交AB于点G

所以EF：

DG＝AF：

AD

因为AF＝FD所以AF：

AD＝1：

2图4

即EF：

DG＝1：

2

因为DG：

CE＝BD：

BC，又因为BD：

CD＝1：

3，所以BD：

BC＝1：

4

即DG：

CE＝1：

4，CE＝4DG

因为FC＝CE－EF＝

所以EF：

FC＝＝1：

7

练习：

1.如图5，BD＝DC，AE：

ED＝1：

5，求AF：

FB。

2.如图6，AD：

DB＝1：

3，AE：

EC＝3：

1，求BF：

FC。

答案：

1、1：

10；2.9：

1

初中几何辅助线

一初中几何常见辅助线口诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？

把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积