勾股定理竞赛培优.doc
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第一章勾股定理培优专题
专题一
一、内容提要
1.勾股定理及逆定理：
△ABC中 ∠C＝Rt∠a2＋b2=c2
2.勾股定理及逆定理的应用
①作已知线段a的，，……倍
②计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题
③证明线段的平方关系等。
3.勾股数的定义：
如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.
4.勾股数的推算公式
①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m和n（m>n）,那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数。
②如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc （n是正整数）也是勾股数。
5.熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。
简单的勾股数有：
3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。
1.常用勾股数口诀记忆常见勾股数
3，4，5：
勾三股四弦五
5，12，13：
5·12记一生
6，8，10：
连续的偶数
7，24，25：
企鹅是二百五
8，15，17：
八月十五在一起
特殊勾股数
连续的勾股数只有3，4，5
连续的偶数勾股数只有6，8，10
2.100以内的勾股数
开头数字为20以内
6. 345；51213；6810；72425；81517；91215；94041；102426；116061；121620；123537；138485；144850；152025；153639；163034；166365；182430；188082
二、例题
例1.已知线段a a a 2a 3aa
求作线段a a
分析一：
a＝＝2a
∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。
分析二：
a＝
∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。
作图（略）
例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2
求对角线AC的长
例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A
求证：
AB2－BC2＝AB×BC
例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD
求证：
AB＝AC
例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC
求证：
AC＞BD
证明：
作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F
ACDE和BCDF都是平行四边形
∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF
作DH⊥AB于H，根据勾股定理
AH＝，FH＝
∵AD＞BC，AD＞DF
∴AH＞FH，EH＞BH
DE＝，BD＝
∴DE＞BD
即AC＞BD
例6.已知：
正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝
求：
的值
三、练习
1.以下列数字为一边，写出一组勾股数：
①7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿
④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿
2.根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：
①252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿，
③＝＿＿＿，④＝＿＿＿
3.△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。
那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿
4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿
5.已知：
△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD
求证：
AE＝AF
6.已知：
M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，
且BD＝BF，CD＝CE
求证：
AE＝AF
7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 求证∠A＝2∠B
8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。
（用反证法）
9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长
10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：
AP2＋BP2＝2CP2
11.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC
ME⊥MF
求证：
EF2＝BE2＋CF2
12.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。
（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题）
13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，…p100,
记mi=APi2+BPi×PiC（I=1,2……，100），则m1+m2+…＋m100=____
7.知识点一：
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为：
a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
要点诠释：
（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：
c2=a2+b2,a2=c2-b2，b2=c2-a2， c2=（a+b）2-2ab
知识点二：
用面积证明勾股定理
方法一：
将四个全等的直角三角形拼成如图
（1）所示的正方形。
图
（1）中，所以。
方法二：
将四个全等的直角三角形拼成如图
（2）所示的正方形。
图
（2）中，所以。
方法三：
将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：
.
方法四：
如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
经典例题透析类型一：
勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=6，c=10，求b，
（2）已知a=40，b=9，求c； （3）已知c=25，b=15，求a.
思路点拨:
写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：
（1）在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
（2）在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
（3）在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】:
如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
类型二：
勾股定理的构造应用
2、如图，已知：
在中，，，.求：
BC的长.
总结升华：
利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.
举一反三【变式1】如图，已知：
，，于P.求证：
.
【变式2】已知：
如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
类型三：
勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
总结升华：
本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。
本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
（二）用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是___________
类型四：
利用勾股定理作长为的线段
5、作长为、、的线段。
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
类型五：
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
【变式2】已知:
△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m＞n）,判断△ABC是否为直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。
请问FE与DE是否垂直?
请说明。
经典例题精析
类型一：
勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3：
4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
总结升华：
直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。
举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
思路点拨：
首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。
总结升华：
注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40
【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
类型二：
勾股定理的应用
2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？
请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
总结升华:
勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。
举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？
平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。
【答案】
（1）单位正三角形的高为，面积是。
（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积。
（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，，
，故
类型三：
数学思想方法
（一）转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
总结升华：
此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。
通过此题，我们可以了解：
当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
（二）方程的思想方法
4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。
总结升华：
在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
举一反三：
【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
10、若中，，高AD=12,则BC的长为（）
A：
14B：
4C：
14或4D：
以上都不对
18、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是；
24、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。
C
A
B
D
（1）求DC的长。
（2）求AB的长。
27、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
初二奥数竞赛第5讲勾股定理
1.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE=____________．
2．如图所示，在△ABC中，AB=5cm，AC=13cm，BC边上的中线AD=6cm，那么边BC的长为___________cm．
3．如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数是
__________．
4．如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为________．
5．若△ABC的三边a、b、c满足条件：
+++338=10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为_________．
6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′处，则BC′与BC之间的数量关系是BC′=________BC．
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于______．
8．如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，则AD=_________．
9．如图，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是__________cm2．
10．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求：
∠ACB的大小．
11．一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？
若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．
12．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形．
（1）使三角形三边长为3，，；
（2）使平行四边形有一锐角为45°，且面积为4．
13．已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：
CM=2BM．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：
=+．
15．在△ABC中，AB=AC．
（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：
BP•CP=-；
（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面
（1）的结论还成立吗？
若成立，请证明、若不成立，请说明理由；
（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？
画出图形，写出你的结论．（不必证明）
显示解析
【知识点精讲】
1勾股定理：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2勾股定理的逆定理：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3勾股数：
＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、
4两种特殊的直角三角形：
①30°的直角三角形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
②45°的直角三角形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
5两点之间--------最短，但蚂蚁在圆柱体表面爬行时，所走的路线必定是------线。
6立体图形转化为--------图形，再转化为----------问题
7勾股定理是求-------的长度的主要方法，若缺少直角条件则可以通过作垂线段的方法构造RT△，为勾股定理的应用创造必要的条件。
8勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用，还经常利用方程求线段的和差等关系。
【典型例题与思维拓展】
●例1已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=7,BC=24,CD是斜边AB上的高，求CD的长.
拓展与变式练习1
1.已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=40,AB=41,CD是斜边上的高，求CD的长。
2.如图将Rt△ABC沿AD对折，使点C落在AB上的E处，若AC=6,AB=10,求DB的长。
●例2如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，若AB=3，BC=4,求EC的长。
拓展变式练习2
1.如图折叠长方形ABCD,先折出对角线BD,再折叠AD边与BD重合,得到折痕DG.若AB=12,AD=9,求AG的长.
2．如图将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在F处,BF交AD于点E,AD=10，AB=6，求△BDE的面积是多少？
●例3如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D,E在BC上，∠DAE=45°.
求证：
CD+BE=DE.
拓展变式练习3
1.已知如图，在△ABC中，∠A=90°,DE为BC的垂直平分线,求证：
BE=AC+AE
2.如图在Rt△ABC中，∠C=90°,DA=DB,E、F分别在AC和BC上，且ED⊥DF,
求证：
EF=AE+BF
●例4如图在四边形ABCD中，已知∠B=90°,AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,求四边形ABCD的面积.
拓展变式练习4
1.如图，在四边形ABCD中，已知AB,BC,DA的长分别为2、2、2，且CD=12，AB⊥BC,求∠DAB的度数.
2.如图在△ABC中,BC=6，AC=8,在△ABE中,DE是AB边上的高,DE=7,△ABE的面积为35,求∠C的度数.
●例5若△ABC的三边长a、b、c满足条件：
a+b+c=10a+24b+26c-338,试判断△ABC的形状.
例6：
（最短路径问题）有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，则它爬行的最短路程为________cm.
◆变式拓展训练◆
【变式1】△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=1
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