初中数学竞赛专题选讲-勾股定理.doc

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初中数学竞赛专题选讲

勾股定理

一、内容提要

1.勾股定理及逆定理：

△ABC中　∠C＝Rt∠a2＋b2=c2

2.勾股定理及逆定理的应用

①作已知线段a的，，……倍

②计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题

③证明线段的平方关系等。

3.勾股数的定义：

如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.

4.勾股数的推算公式

①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）

任取两个正整数m和n（m>n）,那么m2-n2，2mn,　m2+n2是一组勾股数。

②如果k是大于1的奇数，那么k,,是一组勾股数。

③如果k是大于2的偶数，那么k,,是一组勾股数。

④如果a,b,c是勾股数，那么na,　nb,　nc　（n是正整数）也是勾股数。

5.熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。

简单的勾股数有：

3，4，5；　5，12，13；　7，24，25；　8，15，17；　9，40，41。

二、例题

例1.已知线段a　　a　　　　a　　　2a　　3aa　　　　　　　　　　　　　　　　　　

求作线段a　　　　　　　　　　　　a　　　　　　　　

分析一：

a＝＝2a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。

分析二：

a＝

∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。

作图（略）

例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2

求对角线AC的长　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：

延长BC和AD相交于E，则∠E＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴CE＝2CD＝4，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

在Rt△ABE中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

设AB为x,则AE＝2x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

根据勾股定理x2+52=（2x）2,x2=　　　　　　　　　　　　　

在Rt△ABC中，AC＝＝＝

例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A

求证：

AB2－BC2＝AB×BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　

证明：

作∠B的平分线交AC于D，　　　　　　　　　　　　

　则∠A＝∠ABD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∠BDC＝2∠A＝∠C

∴AD＝BD＝BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

作BM⊥AC于M，则CM＝DM　　　　　　　　　　　　　　　　　

AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）　　　　　　　　　　　　

　　　　＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）　　　　　　　　　

　　　　＝AC×AD＝AB×BC

例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD

　求证：

AB＝AC　　　　　　　　　　　　　　　　　

　证明：

设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

则c+n=b+m,c-b=m-n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵AD⊥BC，根据勾股定理，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

AD2＝c2-m2=b2-n2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴c2-b2=m2-n2,（c+b）（c-b）=（m+n）（m-n）

（c+b）（c-b）=（m+n）（（c-b）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（c+b）（c-b）－（m+n）（c-b）＝0

（c-b）｛（c+b）－（m+n）｝＝0

∵c+b>m+n,∴c-b=0即c=b

∴AB＝AC

例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC

求证：

AC＞BD

证明：

作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F

ACDE和BCDF都是平行四边形

∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

作DH⊥AB于H，根据勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

AH＝，FH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵AD＞BC，AD＞DF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴AH＞FH，EH＞BH　　　　　　　　　　　　　

DE＝，BD＝

∴DE＞BD

即AC＞BD

例6.已知：

正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　求：

的值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（2001年希望杯数学邀请赛，初二）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：

根据勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　a2+b2=EF2＝SEFGH＝;①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH　　∴　2ab=　　　②

①－②得　（a-b）2=　　　　∴＝

三、练习

1.以下列数字为一边，写出一组勾股数：

①7，＿＿，＿＿　　②8，＿＿，＿＿　　③9，＿＿，＿＿

④10，＿＿，＿＿　　⑤11，＿＿，＿＿　　⑥12，＿＿，＿＿

2.根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：

①252－242＝＿＿，　　　②52＋122＝＿＿，

③＝＿＿＿，④＝＿＿＿

3.△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。

那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿

4.　梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿

5.已知：

△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD

求证：

AE＝AF

6.已知：

M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，

且BD＝BF，CD＝CE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　求证：

AE＝AF　　　　　　　　

7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc　求证∠A＝2∠B

8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。

（用反证法）

9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长

10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：

AP2＋BP2＝2CP2

11.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC

ME⊥MF

求证：

EF2＝BE2＋CF2

12.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。

（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题）

13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，…p100,

记mi=APi2+BPi×PiC（I=1,2……，100），则m1+m2+…＋m100=____

（1990年全国初中数学联赛题）

练习题参考答案

3.　150，12，35　　　

4.　24（作CE∥BD交AB延长线E）

5.利用勾股定理证明AE，AF的平方都等于m2+n2+AD2

6.利用勾股定理:

　AE2＝……，AF2＝……

7.作CD⊥AB于D，

∵bc=a2-b2=BD2-AD2=（BD+AD）（BD-AD）∴b=BD-AD……

8.（用反证法）设a,b,c都是奇数，那么a2,b2,c2也都是奇数，

　∴a2＋b2是偶数,而c2是奇数，这与a2＋b2＝c2相矛盾，

　故这种假设不能成立，

　∴a,b,c中至少有一个数是偶数

9.　正整数解有

答：

各边长是5，12，13或6，8，10

11.延长EM到N，使MN＝EM，连结CN，

显然△MNC≌△MEB，NC＝BE，NF＝EF……

12.　可证DF＝DE＝2，　　

13.　400（mi=4）

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