平行四边形性质和判定习题(答案详细).doc

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平行四边形性质和判定习题

1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

（1）求证：

BE=DF；

（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．

2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．

求证：

四边形ABCD是平行四边形．

3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：

AO=CO．

4．已知：

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：

EF=AD．

5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，

DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，

并加以证明．

6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．

求证：

四边形MFNE是平行四边形．

7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．

求证：

四边形AECF是平行四边形．

8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：

四边形BEDF是平行四边形．

9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：

BC=DE．

10．已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？

11．如图：

已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，

求证：

AE与DF互相平分．

12．已知：

如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：

四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．

13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．

求证：

EF和GH互相平分．

14．如图：

▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．

15．已知：

如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：

四边形EHFG是平行四边形．

16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．

（1）求证：

四边形GEHF是平行四边形；

（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则

（1）中的结论是否成立？

（不用说明理由）

17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．

（1）求证：

AF=CE；

（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2

（1）求证：

D是EC中点；

（2）求FC的长．

19．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．

（1）求证：

四边形EFCD是平行四边形；

（2）若BF=EF，求证：

AE=AD．

20．如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

（1）请判断四边形EFGH的形状？

并说明为什么；

（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

21．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．

（1）当AB≠AC时，证明：

四边形ADFE为平行四边形；

（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？

直接写出构成图形的类型和相应的条件．

22．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？

如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．

23．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：

PD+PE+PF=AB．

请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．

24．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：

以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．

探究：

（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；

（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；

（3）经历

（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；

如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；

（注意：

错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

25．在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；

（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有　_________　组；

（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；

（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？

26．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．

（1）求CD的长；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；

（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？

若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

27．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是多少？

28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四边形ABCD的面积．

29．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，），B（﹣2，3），C（2，3），点D在第一象限．

（1）求D点的坐标；

（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？

（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？

30．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，

DE⊥AF交CB于E．求证：

BE=CF．

答案与评分标准

1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

（1）求证：

BE=DF；

（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

分析：

（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF即可得到BE=DF；

（2）根据平行四边形的判定方法：

有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形MENF的形状．

解答：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），

∴BE=DF；

（2）四边形MENF是平行四边形．

证明：

有

（1）可知：

BE=DF，

∵四边形ABCD为平行四边行，

∴AD∥BC，

∴∠MDB=MBD，

∵DM=BN，

∴△DNF≌△BNE，

∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，

∴∠MFE=∠NEF，

∴MF∥NE，

∴四边形MENF是平行四边形．

点评：

本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性质．

2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：

四边形ABCD是平行四边形．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．

解答：

证明：

∵四边形AECF是平行四边形

∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，

∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，

∴△FDO≌△EBO，

∴OD=OB，

∵OA=OC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

点评：

本题考查平行四边形的性质定理和判定定理，以及全等三角形的判定和性质．

3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：

AO=CO．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

（1）由BF=DE，可得BE=CF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可证得：

△ABE≌△CDF；

（2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO．

解答：

证明：

（1）∵BF=DE，

∴BF﹣EF=DE﹣EF，

即BE=DE，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∵AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴∠ABE=∠CDF，

∴AB∥CD，

∵AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

点评：

此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．

4．已知：

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：

EF=AD．

考点：

平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理。

专题：

证明题。

分析：

由DE、DF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC=90°，则可证得平行四边形AEDF是矩形，根据矩形的对角线相等即可得EF=AD．

解答：

证明：

∵DE，DF是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

又∵∠BAC=90°，

∴平行四边形AEDF是矩形，

∴EF=AD．

点评：

此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，

且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．

考点：

平行四边形的判定与性质。

专题：

探究型。

分析：

根据CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，求证△ADO≌△ECO，然后求证四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论．

解答：

解：

猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：

平行且相等．

证明：

∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO，

∵OA=OC，

∴△ADO≌△ECO，

∴AD=CE，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∴CDAE．

点评：

此题主要考查了平行四边形的判定与性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是求证△ADO≌△ECO，然后可得证四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论．

6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．

求证：

四边形MFNE是平行四边形．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为M、N分别是DE、BF的中点，根据条件在图形中的位置，可选择利用“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”来解决．

解答：

证明：

由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，

又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，

∴DE=BF，∠AED=∠CFB

又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF

又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC

∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF

∴四边形MFNE为平行四边形．

点评：

平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，

且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．

求证：

四边形AECF是平行四边形．

考点：

平行四边形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形．

解答：

证明：

连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD．

∵BE=DF，∴OE=OF．

∴四边形AECF为平行四边形．

点评：

平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，

连接BE、DF．求证：

四边形BEDF是平行四边形．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专题：

证明题。

分析：

由题意先证∠DAE=∠BCF=60°，再由SAS证△DCF≌△BAE，继而题目得证．

解答：

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．

又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，

∴DE=BF，AE=CF．

∠DAE=∠BCF=60°．

∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，

∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，

∴∠DCF=∠BAE．

∴△DCF≌△BAE（SAS）．

∴DF=BE．

∴四边形BEDF是平行四边形．

点评：

本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：

BC=DE．

考点：

平行四边形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DBCE是平行四边

形，即可证明BC=DE．

解答：

证明：

∵E是AC的中点，

∴EC=AC，

又∵DB=AC，

∴DB=EC．

又∵DB∥EC，

∴四边形DBCE是平行四边形．

∴BC=DE．

点评：

本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

10．已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？

考点：

平行四边形的判定与性质；梯形。

专题：

动点型。

分析：

若四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，那么QD=CQ或AP=BQ，根据这个结论列出方程就可以求出时间．

解答：

解：

设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．

（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；

（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB是平行四边形

点评：

此题主要考查了平行四边形的性质与判定，不过用运动的观点结合梯形的知识出题学生不是很适应．

11．如图：

已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，

求证：

AE与DF互相平分．

考点：

平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理。

专题：

证明题。

分析：

要证AE与DF互相平分，根据平行四边形的判定，就必须先四边形ADEF为

平行四边形．

解答：

证明：

∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：

DE∥AC，DE=AF，

EF∥AB，EF=AD，

∴四边形ADEF为平行四边形．

故AE与DF互相平分．

点评：

本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．

12．已知：

如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．

求证：

四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．

考点：

平行四边形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

因为▱ABCD，OB=OD，又AODE是平行四边形，AE=OD，所以AE=OB，又AE∥OD，根据平行四边形的判定，可推出四边形ABOE是平行四边形．同理，也可推出四边形DCOE是平行四边形．

解答：

证明：

∵▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，

∴OB=OD，

又∵四边形AODE是平行四边形，

∴AE∥OD且AE=OD，

∴AE∥OB且AE=OB，

∴四边形ABOE是平行四边形，

同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．

点评：

此题要求掌握平行四边形的判定定理：

有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，

并且点E、F、G、H有在同一条直线上．

求证：

EF和GH互相平分．

考点：

平行四边形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

要证明EF和GH互相平分，只需构造一个平行四边形，运用平行四边形的性质：

平行四边形的对角线互相平分即可证明．

解答：

证明：

连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是

AB、CD、AC、BD的中点．

在△ABC中，EG=BC；在△DBC中，HF=BC，

∴EG=HF．

同理EH=GF．

∴四边形EGFH为平行四边形．

∴EF与GH互相平分．

点评：

本题考查的是综合运用平行四边形的性质和判定定理．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

14．如图：

▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．

考点：

平行四边形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

先证AMQC为平行四边形，得AC=MQ，再证APNC为平行四边形，得AC=NP，进而求解．

解答：

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AM∥QC，AP∥NC．

又∵MN∥AC，

∴四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形．

∴AC=MQAC=NP．

∴MQ=NP．

点评：

本题考查的知识点为：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

15．已知：

如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：

四边形EHFG是平行四边形．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

要证四边形EHFG是平行四边形，需证OG=OH，OE=OF，可分别由四边形ABCD是平行四边形和△OEB≌△OFD得出．

解答：

证明：

如答图所示，

∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，

∴OA=OC，OB=OD．

∵G，H分别为OA，OC的中点，

∴OG=OA，OH=OC，

∴OG=OH．

又∵AB∥CD，

∴∠1=∠2．

在△OEB和△OFD中，

∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，

∴△OEB≌△OFD，

∴OE=OF．

∴四边形EHFG为平行四边形．

点评：

此题主要考查平行四边形的判定：

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．

（1）求证：

四边形GEHF是平行四边形；

（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则

（1）中的结论是否成立？

（不用说明理由）

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：

证明题；探究型。

分析：

（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD，AB∥CD，根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF．再由SAS可证△GBE≌△HDF，利用全等的性质，证明∠GEF=∠HFE，从而得GE∥HF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．

（2）仍成立．可仿照

（1）的证明方法进行证明．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．

又∵AG=CH，∴BG=DH．

又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．

∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，

∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．

（2）解：

仍成立．（证法同上）

点评：

本题考查的知识点为：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．

（1）求证：

AF=CE；

（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

考点：

平行四边形的判定与性质；正方形的判定。

专题：

证明题。

分析：

（1）由AF∥EC，根据平行线的性质得到∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，而DA=DC，