江苏省南京市栖霞区九年级上期末数学试卷.doc
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2016-2017学年江苏省南京市栖霞区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）一元二次方程x2=1的解是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=﹣1 D．x=0
2．（2分）已知关于的一元二次方程（x+1）（x﹣m）=0的两个根是﹣1和2，则m的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
3．（2分）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣1=0的两个根为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
5．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD等于（ ）
A．20° B．40° C．70° D．80°
6．（2分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果△OA'B'与△OAB关于点O位似，且△OA'B'的面积等于△OAB面积的，则点B'的坐标为（ ）
A． B．或
C．（3，2） D．（3，2）或（﹣3，﹣2）
二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）已知，则xy= ．
8．（2分）甲、乙两地9月份连续五天的日平均气温统计如下表（单位：
℃）
甲地气温
22
24
28
25
23
乙地气温
24
25
25
24
24
则甲、乙两地这5天日平均气温的方差大小关系为：
s2甲 s2乙．（填“＞”“＜”或“=”号）
9．（2分）如图，东方明珠电视塔高468m，如果把塔身看作一条线段AC，中间的球体看作点B，那么点B是线段AC的黄金分割点，则AB的长为 m．（精确到0.1m）
10．（2分）如图，在⊙O中，AC∥OB，∠ABO=25°，则∠BOC= °．
11．（2分）已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm．（结果保留π）
12．（2分）如图，平行四边形ABCD，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，若BE：
AB=2：
3，S△BEF=4，则S△CDF= ．
13．（2分）篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为 ．
14．（2分）关于x的方程（x+m）2+b=0（b、m为常数）的解是x1=3，x2=﹣1，则方程（x+m+2）2+b=0的解是 ．
15．（2分）如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是 cm．
16．（2分）平移抛物线得到抛物线M2，抛物线M2经过抛物线M1的顶点A，抛物线M2的对称轴分別交抛物线M1、M2于B、C两点，若点C的横坐标为2，则△ABC的面积为 ．
三、解答题（共10小题．共88分．解答时应写出文字说明．证明过程演算步骤）
17．（11分）
（1）解方程：
x2+6x﹣1=0．
（2）通过计算，判断关于x的方程x2﹣（m+2）x+m=0（m是常数）根的情况．
18．（8分）如图，AD是Rt△ABC斜边上的高．若AB=4cm，BC=10cm，求BD的长．
19．（8分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点P．在近岸取点Q和S，使点P、Q、S、在同一条直线上且直线PS与河岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线的交点R，如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．
20．（8分）上海迪斯尼乐园志愿者招蓦，要从3名男生和2名女生中随机抽取．
（1）抽取1名，恰好是男生的概率是 ．
（2）抽取2名，求恰好是1名男生和1名女生的概率．
21．（9分）某校组织了以“我为环保作贡献”为主题的电子小报制作比赛，评分结果只有60，70，80，90，100（单位：
分）五种．现从中随机抽取了部分电子小报，对其成绩进行整理，制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全两幅统计图；
（2）求所抽取小报成绩的中位数和众数；
（3）已知该校收到参赛的电子小报共900份，请估计该校学生比赛成绩达到90分以上（含90分）的电子小报有多少份？
22．（9分）已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且过点（0，﹣3）．
（1）求这个抛物线对应的函数表达式．
（2）在所给坐标系中画出该函数的图象．
（3）当x取什么值时，函数值大于0？
23．（9分）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，此时点B到墙的底端C的距离为0.7米．
（1）如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B向外移动多少米？
（2）梯子的顶端沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？
为什么？
24．（8分）如图，AB是半圆O的直径，CD与⊙O相切于点C，过点B作BE∥CD，交⊙O于点E，延长AE交切线于点D．
（1）求证：
∠BAC=∠CAD．
（2）若AB=6，AC=5，求AD的长．
25．（9分）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：
如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．如何定价才能使利润最大？
26．（9分）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：
将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．乙：
将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
（1）甲、乙两人的观点是否正确，说明理由．
（2）如图3，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，将△ABC按图1的方式向外扩张，得到△DEF，它们的对应边间距都为1，求△DEF的面积．
2016-2017学年江苏省南京市栖霞区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）一元二次方程x2=1的解是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=﹣1 D．x=0
【分析】直接开平方即可得．
【解答】解：
∵x2=1，
∴x=1或x=﹣1，
故选：
C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．（2分）已知关于的一元二次方程（x+1）（x﹣m）=0的两个根是﹣1和2，则m的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】根据因式分解法，可得答案．
【解答】解：
由方程（x+1）（x﹣m）=0的两根为x1=﹣1和x2=m，
故m=2，
故选：
A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．
3．（2分）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．
【解答】解：
∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：
C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较强．
4．（2分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣1=0的两个根为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】利用根与系数的关系求得x2+x2=3，x1x2=1，代入计算即可．
【解答】解：
∵方程x2﹣3x﹣1=0的两个根为x1、x2，
∴x2+x2=3，x1x2=1，
∴x1+x2﹣x1x2=3+1=4，
故选：
C．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
5．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD等于（ ）
A．20° B．40° C．70° D．80°
【分析】连接OD，根据∠AOD=2∠ACD，求出∠AOD，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：
连接OD．
∵∠AOD=2∠ACD=40°，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO=（180°﹣40°）=70°，
故选：
C．
【点评】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
6．（2分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果△OA'B'与△OAB关于点O位似，且△OA'B'的面积等于△OAB面积的，则点B'的坐标为（ ）
A． B．或
C．（3，2） D．（3，2）或（﹣3，﹣2）
【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，根据位似变换的性质解答．
【解答】解：
∵△OA′B′与△OAB关于O位似且，
∴△OA'B'与△OAB的相似比为1：
2，
∵B（6，4），
∴B′点的坐标为（6×，4），（﹣6×，﹣4×），即（3，2）或B′（﹣3，﹣2），
故选：
D．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）已知，则xy= 15 ．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．
【解答】解：
∵=，
∴xy=15．
故答案为：
15．
【点评】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．
8．（2分）甲、乙两地9月份连续五天的日平均气温统计如下表（单位：
℃）
甲地气温
22
24
28
25
23
乙地气温
24
25
25
24
24
则甲、乙两地这5天日平均气温的方差大小关系为：
s2甲 ＞ s2乙．（填“＞”“＜”或“=”号）
【分析】先求出甲、乙地的平均气温，再根据方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：
甲地的平均气温：
（22+24+28+25+23）=24.4℃；
乙地的平均气温：
（24+25+25+24+24）=24.4℃；
∵甲地的方差是：
[（22﹣24.4）2+（24﹣24.4）2+（28﹣24.4）2+（25﹣24.4）2+（23﹣24.4）2]=4.24；
乙地的方差是：
[（24﹣24.4）2+（25﹣24.4）2+（25﹣24.4）2+（24﹣24.4）2+（24﹣24.4）2]=0.24；
∴S甲2＞S乙2；
故答案为：
＞．
【点评】本题考查方差的定义：
一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
9．（2分）如图，东方明珠电视塔高468m，如果把塔身看作一条线段AC，中间的球体看作点B，那么点B是线段AC的黄金分割点，则AB的长为 289.2 m．（精确到0.1m）
【分析】根据黄金分割的定义得到AB=AC，然后进行近似计算即可．
【解答】解：
AB=AC≈468×0.618≈289.2（m）．
故答案为289.2．
【点评】本题考查了黄金分割：
把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：
AC=AC：
BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
10．（2分）如图，在⊙O中，AC∥OB，∠ABO=25°，则∠BOC= 50 °．
【分析】根据∠ABO=20°结合平行线的性质得出∠CAB的度数，根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：
∵AC∥OB，∠ABO=25°，
∴∠BAC=25°，
∴∠BOC=2∠CAB=50°．
故答案为：
50°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
11．（2分）已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 8π cm．（结果保留π）
【分析】先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式．
【解答】解：
方法一：
先求出正六边形的每一个内角==120°，
所得到的三条弧的长度之和=3×=8π（cm）；
方法二：
先求出正六边形的每一个外角为60°，
得正六边形的每一个内角120°，
每条弧的度数为120°，
三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为8πcm．
故答案为：
8π．
【点评】本题考查了弧长的计算和正多边形和圆．与圆有关的计算，注意圆与多边形的结合．
12．（2分）如图，平行四边形ABCD，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，若BE：
AB=2：
3，S△BEF=4，则S△CDF= 9 ．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等，得到AE与DC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形BEF与三角形CDF相似，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方，根据三角形BEF的面积即可求出三角形CDF的面积．
【解答】解：
∵平行四边形ABCD，
∴AE∥DC，AB=CD，
∴∠BEF=∠FDC，∠EBF=∠C，
∴△BEF∽△CDF，
∴=（）2=，
∵BE：
AB=2：
3，即BE：
CD=2：
3，
∴=，
∵S△BEF=4，
∴S△CDF=9．
故答案为：
9
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
13．（2分）篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为 x（x﹣1）=36 ．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为，即可列方程．
【解答】解：
设一共有x个球队参赛，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得：
x（x﹣1）=36，
故答案为x（x﹣1）=36．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
14．（2分）关于x的方程（x+m）2+b=0（b、m为常数）的解是x1=3，x2=﹣1，则方程（x+m+2）2+b=0的解是 x1=1，x2=﹣3 ．
【分析】把方程（x+m+2）2+b=0看作x+2的一元二次方程，利用方程（x+m）2+b=0（b、m为常数）的解是x1=3，x2=﹣1得到x+2=3或x+2=﹣1，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：
将（x+m+2）2+b=0变形为[（x+2）+m]2+b=0，
∵（x+m）2+b=0的解为x1=3，x2=﹣1，
∴方程[（x+2）+m]2+b=0的解为x+2=3或x+2=﹣1，
所以x1=1，x2=﹣3．
故答案为x1=1，x2=﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：
就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
15．（2分）如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是 3 cm．
【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长==8π，所以圆锥的底面半径r==4cm，利用勾股定理求圆锥的高即可；
【解答】解：
∵从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，
∴留下的扇形的弧长==8π，
根据底面圆的周长等于扇形弧长，
∴圆锥的底面半径r==4cm，
∴圆锥的高为=3cm
故答案为：
3．
【点评】此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道
（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，
（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．
16．（2分）平移抛物线得到抛物线M2，抛物线M2经过抛物线M1的顶点A，抛物线M2的对称轴分別交抛物线M1、M2于B、C两点，若点C的横坐标为2，则△ABC的面积为 8 ．
【分析】根据题意求得点A、B、C的坐标，然后由三角形的面积公式即可得到答案．
【解答】解：
∵抛物线M2对称轴交M1，M2于B、C两点，C点横坐标为2．
∴M2对称轴为x=2，
设，M2过M1顶点（O，c），
则c=（0﹣2）2+m，
解得m=c﹣4，
∴C（2，c﹣4），B（2，c+4），A（0，c），
∴．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法求得a的值是解题关键，还利用了平移的知识：
左加右减，上加下减．
三、解答题（共10小题．共88分．解答时应写出文字说明．证明过程演算步骤）
17．（11分）
（1）解方程：
x2+6x﹣1=0．
（2）通过计算，判断关于x的方程x2﹣（m+2）x+m=0（m是常数）根的情况．
【分析】
（1）套用求根公式，即可求出方程的解；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=m2+4＞0，进而可得出原方程有两个不相等的实根．
【解答】解：
（1）∵x2+6x﹣1=0，
∴x==﹣3±，
∴方程的解为：
x1=﹣3+，x2=﹣3﹣．
（2）△=[﹣（m+2）]2﹣4m=m2+4．
∵m2≥0，
∴m2+4＞0，即△＞0，
∴原方程有两个不相等的实根．
【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：
（1）熟练掌握公式法解方程的解法；
（2）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．
18．（8分）如图，AD是Rt△ABC斜边上的高．若AB=4cm，BC=10cm，求BD的长．
【分析】根据射影定理列出算式，代入数据计算即可．
【解答】解：
∵AD是Rt△ABC斜边上的高，
∴根据射影定理可知，AB2=BD•BC，
代入数据得：
．
【点评】本题考查的是射影定理的应用，射影定理：
①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
19．（8分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点P．在近岸取点Q和S，使点P、Q、S、在同一条直线上且直线PS与河岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线的交点R，如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．
【分析】由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△PQR∽△PST，利用对应边成比例可得河的宽度PQ．
【解答】解：
∵PQ⊥QR，PS⊥ST，
∴∠PQR=∠PST=90°，
又∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST，
∴，
设PQ=x（m），由可列方程，，
解得：
x=90，
∴河道宽度PQ=90m．
【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：
平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
20．（8分）上海迪斯尼乐园志愿者招蓦，要从3名男生和2名女生中随机抽取．
（1）抽取1名，恰好是男生的概率是 ．
（2）抽取2名，求恰好是1名男生和1名女生的概率．
【分析】
（1）直接根据概率公式求解；
（2））画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好是1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：
（1）抽取一名恰是男生的概率为，
故答案为：
．
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果，恰好一男一女的结果数为12，
所以恰好是1名男生和1名女生的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：
通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
21．（9分）某校组织了以“我为环保作贡献”为主题的电子小报制作比赛，评分结果只有60，70，80，90，100（单位：
分）五种．现从中随机抽取了部分电子小报，对其成绩进行整理，制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全两幅统计图；
（2）求所抽取小报成绩的中位数和众数；
（3）已知该校收到参赛的电子小报共900份，请估计该校学生比赛成绩达到90分以上（含90分）的电子小报有多少份？
【分析】
（1）用得60分的小报的数量除以它占的百分比得到样本容量，再计算出80分的电子小报的份数和它所占的百分比，然后补全统计图；
（2）根据中位数和众数的定义求解；
（3）利用样本估计总体，用样本中90分以上（含90分）的电子小报所占的百分比乘以900即可．
【解答】解：
（1）样本容量为6÷5%=120，
所以80分的电子小报的份数为120﹣6﹣24﹣36﹣12=42（份），80分的电子小报所占的百分比为×100%=35%；
如图，
（2）由题意可知：
抽取小报共120份，其中得60分有6份，得70分有24份，得80分有42份，得90有36份，得100分有12份，
所以所抽取小报成绩的中位数为80分，众数为80分；
（3）该校学生比赛成绩达到90分以上（含90分）的电子小报占比为30%+10%=40%，
所以该校学生比赛成绩达90分以上的电子小报约有：
900×40%=360（份）．
【点评】本题考查了条形统计图：
条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了样本估计总体．
22．（9分）已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且过点（0，﹣3）．
（1）求这个抛物线对应的函数表达式．
（2）在所给坐标系中画出该函数的图象．
（3）当x取什么值时，函数值大于0？
【分析】
（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入，求出a即可；
（2）根据顶点坐标和函数解析式画出图象即可；
（3）根据图象得出答案即可．
【解答】解：
（1）∵抛物线顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，
过点（0，﹣3），代入x=0，y=﹣3，得a﹣4=﹣3，
解得a=1，
∴抛物线函数表达式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；
（2）如图：
；
（3）由图可知，当x＜﹣1或x＞3时，函数值大于0．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质和用待定系数法求二次函数的解析式，能求出函数的解析式
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