培优2立方和与立方差公式的应用.doc

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初中数学培优讲座2利用立方和（差）公式分解因式

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）．

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．

【例5】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

（1）

（2）

分析：

（1）中，，

（2）中．

解：

（1）

（2）

说明：

（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；

（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．

注意：

（am）n=amn（幂的乘方，底数不变，指数相乘），如（x9）2=x18≠x81

【例6】分解因式：

（1）

（2）

分析：

（1）中应先提取公因式再进一步分解；

（2）中提取公因式后，括号内出现，可看着是或．

解：

（1）．

（2）

【例7】分解因式x3-7x+6

解法：

本题需要通过拆分项或增减项。

方法

（1）x3-7x+6

=x3-8-7x+14

=（x3-8）-7（x-2）

=（x-2）（x2+2x+4）-7（x-2）

=（x-2）（x2+2x+4-7）

=（x-2）（x2+2x-3）

=（x-2）（x+3）（x-1）

方法

（2）x3-7x+6

=x3-x-6x+6

=x（x2-1）-6（x-1）

=x（x+1）（x-1）-6（x-1）

=（x-1）（x2+x-6）

=（x-1）（x+3）（x-2）

【例8】已知a+b=2,求a3+6ab+b3的值.

解：

a3+6ab+b3=（a3+b3）+6ab=（a+b）（a2－ab+b2）+6ab

=2（（a2－ab+b2）+6ab

=2（a2－ab+b2+3ab）

=2（a2+2ab+b2）=2（a+b）2=8

强化训练

1．因式分解下列各式：

（1）

（2）（3）

2．把下列各式分解因式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

2．把下列各式分解因式：

（1）

（2）

（3）

（4）

3.综合练习：

（1）．若a＋b＋c＝0，则a3＋a2c－abc＋b2c＋b3的值为[]

A．－1. B．0.C．1. D．2

（2）、能分解成n个质因数的乘积，n的值是（）

A、6B、5C、4D、3（希望杯第21届初中二年级第一试试题）

（3）、若a-b=1，则a3-3ab-b3=。

（4）、如果a＋b=6，a3＋b3=72，那么a2＋b2的值是______．（希望杯第七届（1996年）初二试题）

（5）.若a=-，b=-，求a3-6ab+b3的值。

（希望杯第18届初中二年级第一试试题）

（6）.分解因式x3-7x+6（除例7给出的两种解法外，请你再写出其它至少三种解法）

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