圆的相关定理及其几何证明(含答案).docx
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圆的相关定理及其几何证明
典题探究
例1：
如图，圆是的外接圆，过点C作圆的切线交的延长线于点.若，，则线段的长是；圆的半径是.
例2：
如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A,O之间），,垂足为F．若，，则
例3：
如图已知与圆相切于，半径，交于，若,，则，．
例4：
如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，,则,圆的半径等于
演练方阵
A档（巩固专练）
1．如图，已知直线PD切⊙O于点D，直线PO交⊙O于点E,F.若，则⊙O的半径为；.
O
P
D
F
E
2.如图，与切于点，交弦的延长线于点，过点作圆的切线交于点.若，，则弦的长为_______.
3.如图：
圆O的割线PAB经过圆心O，C是圆上一点，PA＝AC＝AB，则以下结论不正确的是（）
A.B.C.PC是圆O的切线D.
4．如图，已知是圆的直径，在的延长线上，切圆于点，于．若，，则圆的半径长为______；______．
5．如图所示，以直角三角形的直角边为直径作⊙，交斜边于点，过点作⊙的切线，交边于点.则.
6．如图，直线AM与圆相切于点M,ABC与ADE是圆的两条割线，且BD⊥AD，连接MD、
EC。
则下面结论中，错误的结论是（）
A．∠ECA=90o
B．∠CEM=∠DMA+∠DBA
C．AM2=AD·AE
D．AD·DE=AB·BC
7．如图，切圆于点,为圆的直径，交圆于点，为的中点，且则__________；__________.
8．如图，切圆于点，割线经过圆心，，则，△的面积是
9．如图，为⊙的直径,切⊙于点,且过点的割线,交的延长线于点,若,，则，
10．如图，是⊙O上的四个点，过点B的切线与的延长线交于点E.若，则（）
A.B.C.D.
B档（提升精练）
1．如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为______
2．如图,已知圆中两条弦与相交于点是延长线上一点,且,若与圆相切,且,则
3．如图，是半圆的直径，在的延长线上，与半圆相切于点，．若，，则______.
4．如图，是⊙的直径，直线切⊙于点，且与延长线交于点，若，，则=
5．如图，为⊙的直径，，弦交于点．若，，则_______
6．如图，是圆的切线，切点为，交圆于两点，，则=（）
ABCD
7．如图所示，Rt△ABC内接于圆，，PA是圆的切线，A为切点，PB交AC于E，交圆于D．若PA=AE，PD=，BD=，则AP=，AC=
8.如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于点，，，那么=，=.
9．如图，已知圆中两条弦与相交于点，与圆相切交延长线上于点，若，，则线段的长为
B
A
E
D
F
C
10.如图，直线与相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，，则
C档（跨越导练）
1.如图，△是⊙的内接三角形，是⊙的切线，交于点，交⊙于点．若，，，，则_____；_____
2.如图，的直径与弦交于点，，则＝______
3.如图，是圆的直径，于，且，为的中点，连接
并延长交圆于．若，则_______，_________
C
F
B
A
E
D
O
4.如图所示，AB是圆的直径，点C在圆上，过点B，C的切线交于点P，AP交圆于D，若AB=2，AC=1，则PC=______，PD=______
5.是圆O的直径，为圆O上一点，过作圆O的切线交延长线于点，若=，，则
6.如图，已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，，则切线的长为
O
A
D
B
C
7.如图，是半径为的圆的直径，点在的延长线上，是圆的切线，点在直径上的射影是的中点，则=；
8.如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆
心到的距离为，则圆的半径为_____
P
A
B
C
O
•
9.如图，是圆的直径，在的延长线上，切圆于点.已知圆半径为，，则______；的大小为______
O
A
B
P
D
C
•
10.如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是与⊙O的交点.若，则______；若，，则.
典题探究
例1：
答案：
1，2
解析：
已知，，由圆幂定理得，，所以，可以求出，而，取的中点E，连接OC和OE，则半径.
例2：
答案：
1
解析：
三角形CEF与三角形CBE相似，对应边成比例，所以，即，所以，而，所以，所以.
例3：
答案：
解析：
延长PO与圆O分别交于点D和点E，则，，由圆幂定理得，所以，过A点作交OP于点F，则，所以.
例4：
答案：
解析：
由圆幂定理得，所以，设AO与PC交于点D，延长AO交圆于E，则，所以，，所以，.
演练方阵
A档（巩固专练）
1：
答案：
解析：
由圆幂定理得，，，所以，，，所以，所以
2：
答案：
解析:
由圆幂定理得，所以，所以
3：
答案：
D
解析:
由圆幂定理得，所以，所以D选项错误
4：
答案：
半径
解析:
.所以，由三角形相似得，所以，所以，由圆幂定理得，所以，所以
5：
答案：
解析：
连接CD，AC是圆的直径，所以，BC经过半径OC的端点C，而且，所以是圆的切线，而DE是圆O的切线，所以EC=ED，所以，所以
6：
答案：
D
解析：
因为四边形BDEC是圆的内接四边形，所以，因为，所以，A正确；直线AM与圆相切，由弦切角定理得，而，所以，所以B正确；由圆幂定理得，所以选项C正确
7：
答案：
解析：
设，则根据圆幂定理得，而，所以，所以，所以，而，所以（
8：
答案：
解析：
由圆幂定理得，所以，所以，所以半径，所以正切值，所以三角形OBC的面积
9：
答案：
解析：
由圆幂定理得，所以，所以，而
10：
答案：
B
解析:
因为ABCD四点共圆，所以，而，所以，又因为BE与圆相切于点B，所以，所以选项B是正确的。
B档（提升精练）
1：
答案：
解析：
延长CD交圆于点E，由相交弦定理得，所以，求出，因为CD是小于4的，所以
2：
答案：
解析:
由相交弦定理得，所以，所以，所以，而，所以，所以
3：
答案：
解析：
设半径为R，连接OC，则由圆幂定理得，已知，而且，所以，所以，而，所以，
4：
答案：
解析:
由圆幂定理得，而AC=3，AB=2，所以OC=2，连接，则，在中，，，，所以，而在三角形BOD中，已知OB=OD，所以有，
5：
答案：
解析：
延长BO交圆于点D，连接DN，则，而，，由圆幂定理可得，所以，所以
6：
答案：
B
解析：
由圆幂定理可得，所以，，连接OA，所以三角形OPA是直角三角形，B是OP中点，所以，
7：
答案：
解析：
由圆幂定理可得，所以，，所以，所，
8．答案：
解析：
设圆心是O，半径为R，连接OE与AE，所以，所以，又因为，，所以是等边三角形，，，所以，所以，由圆幂定理得，所以
9．答案：
解析：
由圆幂定理得，而，所以，所以，所以，
10．答案：
解析：
由圆幂定理得，所以，所以，又因为，所以，所以
C档（跨越导练）
1：
答案：
解析：
依题意根据圆幂定理得，所以，，，，，所以，在三角形ADE中，，所以三角形APE是等边三角形，，所以，，而弦AC与BD相交于点E，所以，所以
2：
答案：
解析:
由相交弦定理，所以，，，所以,,连接OD，则有，所以，然后连接BD，则，由正弦定理得，所以，是锐角，所以
3：
答案：
解析：
已知，根据圆幂定理得，因为，所以，所以，所以，，所以，又因为，所以
4.答案：
解析：
连接，在中，，所以，，过点B和点C的切线交于点P，所以，所以，在中，，所以，由圆幂定理得，所以
5：
答案：
解析：
连结，AB是圆O的直径，，则，所以，所以，，所以半径，在中，
6：
答案：
解析：
已知圆O的半径，而圆心O到弦AC的距离等于，所以，又因为，，是圆O的切线，所以
，所以
7：
答案：
，
解析：
点A到BC上的射影E是OC的中点，所以，，又因为，所以，在中，因为，，所以，所以
8：
答案：
半径
解析：
已知PA与圆相切，而PBC是圆的割线，所以根据圆幂定理得到，又因为，，所以，又因为点O到弦BC的距离等于，所以半径
9：
答案：
，
解析：
连接OC，AB是圆的直径，点P在AB的延长线上，圆O的半径，，所以，，根据圆幂定理得，所以，在中，，，，所以，，所以
10：
答案：
，
解析：
已知是圆的一条切线，是弦切角，而且有与对应同一条弧，所以，所以根据圆幂定理有，已知，，所以，所以
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