七年级数学相交线与平行线(教师讲义带答案).doc
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第4章相交线与平行线
一、知识结构图
余角
余角补角
补角
角 两线相交 对顶角
相交线与平行线
同位角
三线八角 内错角
同旁内角
平行线的判定
平行线
平行线的性质
尺规作图
二、基本知识提炼整理
(一)余角与补角
1、如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,简称为互余,称其中一个角是另一个角的余角。
2、如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角,简称为互补,称其中一个角是另一个角的补角。
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角,它们只与角的度数有关,与角的位置无关。
4、余角和补角的性质:
同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。
5、余角和补角的性质用数学语言可表示为:
(1)则(同角的余角或补角相等)。
(2)且则(等角的余角(或补角)相等)。
6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
(二)对顶角
1、两条直线相交成四个角,其中不相邻的两个角是对顶角。
2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。
3、对顶角的性质:
对顶角相等。
4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛,它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。
5、对顶角是从位置上定义的,对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角。
(三)同位角、内错角、同旁内角
1、两条直线被第三条直线所截,形成了8个角。
2、同位角:
两个角都在两条直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫做同位角。
3、内错角:
两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,这样的一对角叫做内错角。
4、同旁内角:
两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫同旁内角。
5、这三种角只与位置有关,与大小无关,通常情况下,它们之间不存在固定的大小关系。
(四)六类角
1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。
2、余角、补角只有数量上的关系,与其位置无关。
3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系,与其数量无关。
4、对顶角既有数量关系,又有位置关系。
(五)尺规作线段和角
1、在几何里,只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。
2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法,通常叫基本作图。
3、尺规作图中直尺的功能是:
(1)在两点间连接一条线段;
(2)将线段向两方延长。
4、尺规作图中圆规的功能是:
(1)以任意一点为圆心,任意长为半径作一个圆;
(2)以任意一点为圆心,任意长为半径画一段弧;
5、熟练掌握以下作图语言:
(1)作射线××;
(2)在射线上截取××=××;
(3)在射线××上依次截取××=××=××;
(4)以点×为圆心,××为半径画弧,交××于点×;
(5)分别以点×、点×为圆心,以××、××为半径作弧,两弧相交于点×;
(6)过点×和点×画直线××(或画射线××);
(7)在∠×××的外部(或内部)画∠×××=∠×××;
6、在作较复杂图形时,涉及基本作图的地方,不必重复作图的详细过程,只用一句话概括叙述就可以了。
(1)画线段××=××;
(2)画∠×××=∠×××;
(六)平行线的判定与性质
平行线的判定
平行线的性质
1、同位角相等,两直线平行
2、内错角相等,两直线平行
3、同旁内角互补,两直线平行
4、平行于同一条直线的两直线平行
5、垂直于同一条直线的两直线平行
1、两直线平行,同位角相等
2、两直线平行,内错角相等
3、两直线平行,同旁内角互补
4、经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行
【经典例题】
例1.判断下列语句是否正确,如果是错误的,说明理由。
(1)过直线外一点画直线的垂线,垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离;
(2)从直线外一点到直线的垂线段,叫做这个点到这条直线的距离;
(3)两条直线相交,若有一组对顶角互补,则这两条直线互相垂直;
(4)两条直线的位置关系要么相交,要么平行。
分析:
本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。
(1)、
(2)都是对点到直线的距离的描述,由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离”可判断
(1)、
(2)都是错的;由对顶角相等且互补易知,这两个角都是90°,故(3)正确;同一平面内,两条直线的位置关系是相交或平行,必须强调“在同一平面内”。
解答:
(1)这种说法是错误的。
因为垂线是直线,它的长度不能度量,应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。
(2)这种说法是错误的。
因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身,而是指垂线段的长度。
(3)这种说法是正确的。
(4)这种说法是错误的。
因为只有在同一平面内,两条直线的位置关系才是相交或平行。
如果没有“在同一平面内”这个前提,两条直线还可能是异面直线。
说明:
此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质,弄清易混概念。
例2.如下图
(1)所示,直线DE、BC被直线AB所截,问,各是什么角?
图
(1)
分析:
已知图形不标准,开始学不容易看,可把此图画成如下图
(2)的样子,这样就容易看了。
图
(2)
答案:
是同位角,是内错角,是同旁内角。
例3如下图
(1),
图
(1)
(1)是两条直线_________________与_________________被第三条直线_________________所截构成的___________________角。
(2)是两条直线_______________与_________________被第三条直线____________________所截构成的________________角。
(3)_______________与___________________被第三条直线_________________________所截构成的_______________角。
(4)与6是两条直线_______________与_______________,被第三条直线______________________所截构成的________________角。
分析:
从较复杂的图形中分解出有关角的直线,因此可以得到是由直线被第三条直线所截构成的同位角,如下图
(2),类似可知其他情况。
图
(2)
答案:
(1)1与2是两条直线被第三条直线所截构成的同位角。
(2)1与3是两条直线被第三条直线所截构成的同位角。
(3)是两条直线被第三条直线所截构成的内错角。
(4)5与6是两条直线被第三条直线所截构成的同旁内角。
例4如图,已知∠AMF=∠BNG=75°,∠CMA=55°,求∠MPN的大小
答案:
50°
解析:
因为∠AMF=∠BNG=75°,又因为∠BNG=∠MNP,所以∠AMF=∠MNP,所以EF∥GH,所以∠MPN=∠CME,又因为∠AMF=75°,∠CMA=55°,所以∠AMF+∠CMA=130°,即∠CMF=130°,所以∠CME=180°-130°=50°,所以∠MPN=50°
例5如图,∠1与∠3为余角,∠2与∠3的余角互补,∠4=115°,CP平分∠ACM,求∠PCM
答案:
57.5°
解析:
因为∠1+∠3=90°,∠2+(90°-∠3)=180°,所以∠2+∠1=180°,所以AB∥DE,所以∠BCN=∠4=115°,所以∠ACM=115°,又因为CP平分∠ACM,所以∠PCM=∠ACM=×115°=57.5°,所以∠PCM=57.5°
例6如图,已知:
∠1+∠2=180°,∠3=78°,求∠4的大小
答案:
102°
解析:
因为∠2=∠CDB,又因为∠1+∠2=180°,所以∠1+∠CDB=180°,所以得到AB∥CD,所以∠3+∠4=180°,又因为∠3=78°,所以∠4=102°
例7如图,已知:
∠BAP与∠APD互补,∠1=∠2,说明:
∠E=∠F
解析:
因为∠BAP与∠APD互补,所以AB∥CD,所以∠BAP=∠CPA,又因为∠1=∠2,所以∠BAP-∠1=∠CPA-∠2,即∠EAP=∠FPA,所以EA∥PF,所以∠E=∠F
例8如图,已知AB∥CD,P为HD上任意一点,过P点的直线交HF于O点,试问:
∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系?
用式子表示并证明
答案:
∠HOP=∠AGF-∠HPO
解析:
过O作CD的平行线MN,因为AB∥CD,且CD∥MN,所以AB∥MN,所以∠AGF=∠MOF=∠HON,因为CD∥MN,∠HPO=∠PON,所以∠HOP=∠HON-∠PON=∠HON-∠HPO,所以∠HOP=∠AGF-∠HPO
例9如图,已知AB∥CD,说明:
∠B+∠BED+∠D=360°
分析:
因为已知AB∥CD,所以在∠BED的内部过点E作AB的平行线,将∠B+∠BED+∠D的和转化成对平行线的同旁内角来求。
解:
过点E作EF∥AB,则
∠B+∠BEF=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵AB∥CD(已知)
EF∥AB(作图)
∴EF∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)
∴∠D+∠DEF=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=360°
∵∠B+∠BED+∠D=∠B+∠BEF+∠D+∠DEF
∴∠B+∠BED+∠D=360°
例10.小张从家(图中A处)出发,向南偏东40°方向走到学校(图中B处),再从学校出发,向北偏西75°的方向走到小明家(图中C处),试问∠ABC为多少度?
说明你的理由。
解:
∵AE∥BD(已知)
∴∠BAE=∠DBA(两直线平行,内错角相等)
∵∠BAE=40°(已知)
∴∠ABD=40°(等量代换)
∵∠CBD=∠ABC+∠ABD(已知)
∴∠ABC=∠CBD-∠ABD(等式性质)
∵∠ABD=40°(已知)
∴∠ABC=75°-40°=35°
例11如图,∠ADC=∠ABC,∠1+∠2=180°,AD为∠FDB的平分线,说明:
BC为∠DBE的平分线。
分析:
从图形上看,AE应与CF平行,AD应与BC平行,不妨假设它们都平行,这时欲证BC为∠DBE的平分线,只须证∠3=∠4,而∠3=∠C=∠6,∠4=∠5,由AD为∠FDB的平分线知∠5=∠6,这样问题就转化为证AE∥CF,且AD∥BC了,由已知条件∠1+∠2=180°不难证明AE∥CF,利用它的平行及∠ADC=∠ABC的条件,不难推证AD∥BC。
证明:
∵∠1+∠2=180°(已知)
∠2+∠7=180°(补角定义)
∴∠1=∠7(同角的补角相等)
∴AE∥CF (同位角相等,两直线平行)
∴∠ABC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)
又∠ADC=∠ABC(已知),CF∥AB(已证)
∴∠ADC+∠C=180°(等量代换)
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)
∴∠6=∠C,∠4=∠5(两直线平行,同位角相等,内错角相等)
又∠3=∠C(两直线平行,内错角相等)
∴∠3=∠6(等量代换)
又AD为∠BDF的平分线
∴∠5=∠6
∴∠3=∠4(等量代换)
∴BC为∠DBE的平分线
例12如图,DE,BE分别为∠BDC,∠DBA的平分线,∠DEB=∠1+∠2
(1)说明:
AB∥CD
(2)说明:
∠DEB=90°
分析:
(1)欲证平行,就找角相等与互补,但就本题,直接证∠CDB与∠ABD互补比较困难,而∠1+∠2=∠DEB,若以E为顶点,DE为一边,在∠DEB内部作∠DEF=∠2,再由DE,EB分别为∠CDB,∠DBA的平分线,就不难证明AB∥CD了,
(2)由
(1)证得AB∥CD后,由同旁内角互补,易证∠1+∠2=90°,进而证得∠DEB=90°
证明:
(1)以E为顶点,ED为一边用量角器和直尺在∠DEB的内部作∠DEF=∠2
∵DE为∠BDC的平分线(已知)
∴∠2=∠EDC(角平分线定义)
∴∠FED=∠EDC(等量代换)
∴EF∥DC(内错角相等,两直线平行)
∵∠DEB=∠1+∠2(已知)
∵∠FEB=∠1(等量代换),∠EBA=∠EBF=∠1(角平分线定义)
∴∠FEB=∠EBA(等量代换)
∴FE∥BA(内错角相等,两直线平行)
又EF∥DC
∴BA∥DC(平行的传递性)
(2)∵AB∥DC(已证)
∴∠BDC+∠DBA=180°(两直线平行,同旁内角互补)
又∠1=∠DBA,∠2=∠BDC(角平分线定义)
∴∠1+∠2=90°
又∠1+∠2=∠DEB
∴∠DEB=90°
中考真题精讲
1.如图,AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠1,可得AD平分∠BAC.
理由如下:
∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,( 已知 )
∴∠ADC=∠EGC=90°,( 垂直的定义 ),
∴AD∥EG,( 同位角相等,两直线平行 )
∴∠1=∠2,( 两直线平行,内错角相等 )
∠E =∠3,( 两直线平行,同位角相等 )
又∵∠E=∠1(已知),∴ ∠2 = ∠3 ( 等量代换 )
∴AD平分∠BAC( 角平分线的定义 )
考点:
平行线的判定与性质;角平分线的定义;垂线.711110
专题:
推理填空题.
分析:
先利用同位角相等,两直线平行求出AD∥EG,再利用平行线的性质求出∠1=∠2,∠E=∠3和已知条件等量代换求出∠2=∠3即可证明.
解答:
解:
∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,(已知)
∴∠ADC=∠EGC=90°,(垂直的定义)
∴AD∥EG,(同位角相等,两直线平行)
∴∠1=∠2,(两直线平行,内错角相等)
∠E=∠3,(两直线平行,同位角相等)
又∵∠E=∠1(已知)
∴∠2=∠3(等量代换)
∴AD平分∠BAC(角平分线的定义).
点评:
本题考查平行线的判定与性质,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.
2.已知,如图,∠1=∠ACB,∠2=∠3,FH⊥AB于H.问CD与AB有什么关系?
考点:
平行线的判定与性质;垂线.711110
专题:
探究型.
分析:
由∠1=∠ACB,利用同位角相等,两直线平行可得DE∥BC,根据平行线的性质和等量代换可得∠3=∠DCB,故推出CD∥FH,再结合已知FH⊥AB,易得CD⊥AB.
解答:
解:
CD⊥AB;理由如下:
∵∠1=∠ACB,
∴DE∥BC,∠2=∠DCB,
又∵∠2=∠3,
∴∠3=∠DCB,
故CD∥FH,
∵FH⊥AB
∴CD⊥AB.
点评:
本题是考查平行线的判定和性质的基础题,比较容易,稍作转化即可.
3.已知:
如图,AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2,求证:
AB∥CD.
考点:
平行线的判定与性质.711110
专题:
证明题.
分析:
首先由AE⊥BC,FG⊥BC可得AE∥FG,根据两直线平行,同位角相等及等量代换可推出∠A=∠2,利用内错角相等,两直线平行可得AB∥CD.
解答:
证明:
∵AE⊥BC,FG⊥BC,
∴∠AMB=∠GNM=90°,
∴AE∥FG,
∴∠A=∠1;
又∵∠2=∠1,
∴∠A=∠2,
∴AB∥CD.
点评:
本题考查了平行线的性质及判定,熟记定理是正确解题的关键.
4.如图,已知BE∥DF,∠B=∠D,则AD与BC平行吗?
试说明理由.
考点:
平行线的判定与性质.711110
专题:
探究型.
分析:
利用两直线平行,同旁内角互补可得∠B+∠C=180°,即∠C+∠D=180°;根据同旁内角互补,两直线平行可证得AD∥BC.
解答:
解:
AD与BC平行;理由如下:
∵BE∥DF,
∴∠B+∠BCD=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠B=∠D,
∴∠D+∠BCD=180°,
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
点评:
此题主要考查了平行线的判定和性质:
两直线平行,同旁内角互补;同旁内角互补,两直线平行.
5.如图,已知∠HDC与∠ABC互补,∠HFD=∠BEG,∠H=20°,求∠G的度数.
考点:
平行线的判定与性质.711110
专题:
计算题.
分析:
已知∠HFD=∠BEG且∠BEG=∠AEF,从而可得到∠HFD=∠AEF,根据同位角相等两直线平行可得到DC∥AB,根据平行线的性质可得到∠HDC=∠DAB,已知∠HDC与∠ABC互补,则∠DAB也与∠ABC互补,根据同旁内角互补即可得到AD∥BC,根据平行线的性质即可求得∠G的度数.
解答:
解:
∵∠HFD=∠BEG且∠BEG=∠AEF,
∴∠HFD=∠AEF,
∴DC∥AB,
∴∠HDC=∠DAB,
∵∠HDC+∠ABC=180°,
∴∠DAB+∠ABC=180°,
∴AD∥BC,
∴∠H=∠G=20°.
点评:
此题主要考查学生对平行线的判定及性质的综合运用能力.
6.推理填空:
如图AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,试说明AD∥BE.
解:
∵AB∥CD(已知)
∴∠4=∠1+ ∠CAF ( 两直线平行,同位角相等 )
∵∠3=∠4(已知)
∴∠3=∠1+ ∠CAF ( 等量代换 )
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF( 等量代换 )
即∠ 4 =∠ DAC
∴∠3=∠ ∠DAC ( 等量代换 )
∴AD∥BE( 内错角相等,两直线平行 ).
考点:
平行线的判定与性质.711110
专题:
推理填空题.
分析:
首先由平行线的性质可得∠4=∠BAE,然后结合已知,通过等量代换推出∠3=∠DAC,最后由内错角相等,两直线平行可得AD∥BE.
解答:
解:
∵AB∥CD(已知),
∴∠4=∠1+∠CAF(两直线平行,同位角相等);
∵∠3=∠4(已知),
∴∠3=∠1+∠CAF(等量代换);
∵∠1=∠2(已知),
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(等量代换),
即∠4=∠DAC,
∴∠3=∠DAC(等量代换),
∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行).
点评:
本题难度一般,考查的是平行线的性质及判定定理.
7.如图,CD∥AF,∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠BCD=124°,∠DEF=80°.
(1)观察直线AB与直线DE的位置关系,你能得出什么结论并说明理由;
(2)试求∠AFE的度数.
考点:
平行线的判定与性质;三角形内角和定理.711110
专题:
探究型.
分析:
(1)先延长AF、DE相交于点G,根据两直线平行同旁内角互补可得∠CDE+∠G=180°.又已知∠CDE=∠BAF,等量代换可得∠BAF+∠G=180°,根据同旁内角互补,两直线平行得AB∥DE;
(2)先延长BC、ED相交于点H,由垂直的定义得∠B=90°,再由两直线平行,同旁内角互补可得∠H+∠B=180°,所以∠H=90°,最后可结合图形,根据邻补角的定义求得∠AFE的度数.
解答:
解:
(1)AB∥DE.
理由如下:
延长AF、DE相交于点G,
∵CD∥AF,
∴∠CDE+∠G=180°.
∵∠CDE=∠BAF,
∴∠BAF+∠G=180°,
∴AB∥DE;
(2)延长BC、ED相交于点H.
∵AB⊥BC,
∴∠B=90°.
∵AB∥DE,
∴∠H+∠B=180°,
∴∠H=90°.
∵∠BCD=124°,
∴∠DCH=56°,
∴∠CDH=34°,
∴∠G=∠CDH=34°.
∵∠DEF=80°,
∴∠EFG=80°﹣34°=46°,
∴∠AFE=180°﹣∠EFG
=180°﹣46°
=134°.
点评:
两直线的位置关系是平行和相交.解答此类要判定两直线平行的题,可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.本题是一道探索性条件开放性题目,能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力.
8.如图,∠1=∠2,∠2=∠G,试猜想∠2与∠3的关系并说明理由.
考点:
平行线的判定与性质.711110
专题:
探究型.
分析:
此题由∠1=∠2可得DG∥AE,由此平行关系又可得到角的等量关系,易证得∠2=∠3.
解答:
解:
∠2=∠3,理由如下:
∵∠1=∠2(已知)
∴DG∥AE(同位角相等,两直线平行)
∴∠3=∠G(两直线平行,同位角相等)
∵∠2=∠G(已知)
∴∠2=∠3(等量代换).
点评:
主要考查了平行线的判定、性质及等量代换的知识,较容易.
9.如图,点E、F、M、N分别在线段AB、AC、BC上,∠1+∠2=180°,∠3=∠B,判断∠CEB与∠NFB是否相等?
请说明理由.
考点:
平行线的判定与性质.711110
专题:
探究型.
分析:
要判断两角相等,通过两直线平行,同位角或内错角相等证明.
解答:
解:
答:
∠CEB=∠NFB.(2分)
理由:
∵∠3=∠B,
∴ME∥BC,
∴∠1=∠ECB,
∵∠1+∠2=180°,
∴∠ECB+∠2=180°
∴EC∥FN,
∴∠CEB=∠NFB.(8分)
点评:
解答此类要判定两直线平行的题,可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.
10.如图所示,已知AB∥CD,BD平分∠ABC交AC于O,CE平分∠DCG.若∠ACE=90°,请判断BD与AC的位置关系,并说明理由.
考点:
平行线的判定与性质;角平分线的定义.711110
专题:
探究型.
分析:
根据图示,不难发现BD与AC垂直.根据平行线的性质,等式的性质,角平分线的概念,平行线的判定作答.
解答:
解:
BD⊥AC.理由如下:
∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠DCG,
∵BD平分∠ABC交AC于O,CE平分∠DCG,
∴∠ABD=∠ABC,∠DCE=∠BCG,
∴∠ABD=∠DCE;
∵AB∥CD,
∴∠ABD=∠D,
∴∠D=∠DCE,
∴BD∥CE,
又∠ACE=90°,
∴BD⊥AC.
点评:
注意平行线的性质和判定、角平分线的概念的综合运用,仔细观察图象找出各角各线间的关系是正确解题的关键.
11.如图,已知OA∥BE,OB平分∠AOE,∠4=∠5,∠2与∠3互余;那么DE和CD有怎样的位置关系?
为什么?
考点:
平行线的判定与性质;垂线.711110
专题:
探究型.
分析:
猜想到DE⊥CD,只须证明∠6=90°即可.利用平行线的性质、角平分线的性质以及等量代换可以证得∠2=∠5;然后根据外角定理可以求得∠6=∠2+∠3=90°,即DE⊥CD.
解答:
解:
DE⊥CD,理由如下:
∵OA∥BE(已知),
∴∠1=∠4(两直线平行,内错角相等);
又∵OB平分∠AOE,
∴∠1=∠2;
又∵∠4=∠5,
∴∠2=∠5(等量代换);
∴DE∥OB(已知),
∴∠6=∠2+∠3(外角定理);
又∵∠2+∠3=90°,
∴∠6=90°,
∴DE⊥CD.
点评:
本题考查了垂线、平