新人教版九年级上册数学期末复习资料.doc
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二次根式专题
知识点1．式子（a≥0）叫做二次根式．
1、下列各式①－②③④⑤π是二次根式的是
2、x为怎么样的值时，下列各式在实数范围内有意义
知识点2．最简二次根式
同时满足：
①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．
1、下列式子中是最简的二次根式的是：
①②③④⑤⑥
2、
（1）是整数,求自然数的值是
是
知识点3．同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
1、若与是同类二次根式，则
2、若与是同类二次根式，则=
知识点4．二次根式的性质
①（）2=a（a≥0）；
②=│a│=；
1、化简=______．
2、若<0，化简
3、要使有意义，则x的取值范围是
4、若为实数，且，则的值为___________．
5、若，求n的取值范围
知识点5．分母有理化及有理化因式
把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．
1、已知：
，，试求的值
2、ab
知识点6．二次根式的运算
=·（a≥0，b≥0）；
（b≥0，a>0）．
1、2、
3、4、
一元二次方程
知识点1．一元二次方程的判断标准：
（1）方程是整式方程
（2）只有一个未知数——（一元）
（3）未知数的最高次数是2——（二次）
三个条件同时满足的方程就是一元二次方程
1、下面关于x的方程中：
①ax2+bx+c=0；②3x2-2x=1；③x+3=；④x2-y=0；④（x+1）2=x2-1．一元二次方程的个数是.
2、若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是_________．
3、若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是_________．
4、若方程（m-1）x|m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______．
知识点2．一元二次方程一般形式及有关概念
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成一元二次方程的一般形式
，
是二次项，为二次项系数，bx是一次项，为一次项系数，为常数项。
注意:
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号
1、将一元二次方程化成一般形式为_____________，其中二次项系数=________，一次项系数b=__________，常数项c=__________
知识点3．完全平方式
1、说明代数式总大于
2、已知,求的值.
3、若x2+mx+9是一个完全平方式，则m=，
若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是。
若是完全平方式，则=。
知识点4．整体运算
1、已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为
2、已知实数x满足则代数式的值为____________
知识点5．方程的解
1、已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是x=-1，则k=___．
2、求以为两根的关于x的一元二次方程。
知识点6．方程的解法⑴方法：
①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵关键点：
降次
1、直接开方解法方程
2、用配方法解方程
3、用公式法解方程
4、用因式分解法解方程
5、用十字相乘法解方程
知识点7．一元二次方程根的判别式：
1、关于的一元二次方程.求证：
方程有两个不相等的实数根
2、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。
3、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是
知识点8．韦达定理
（a≠0,Δ=b2-4ac≥0）
使用的前提：
（1）不是一般式的要先化成一般式；
（2）定理成立的条件
1、已知方程的一个根为x=3,求它的另一个根及m的值。
2、已知的两根是x1,x2，利用根于系数的关系求下列各式的值
3、已知关于x的一元二次方程x2－（m+2）x+m2－2=0．
（1）当m为何值时，这个方程有两个的实数根．
（2）如果这个方程的两个实数根x1，x2满足x12+x22=18，求m的值．
知识点9．一元二次方程与实际问题
1、病毒传播问题
2、树干问题
3、握手问题（单循环问题）
4、贺卡问题（双循环问题）
5、围栏问题
6、几何图形（道路、做水箱）
7、增长率、折旧、降价率问题
8、利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样）
9、数字问题
10、折扣问题
旋转
知识点1．旋转：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
旋转三要素：
旋转中心、旋转方向、旋转角度
1、如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，回答下列问题：
（1）旋转中心为，旋转角度为度
（2）△ADD′的形状是。
2、16:
50的时候，时针和分针的夹角是度
知识点2．旋转的性质：
1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2、每一对对应点到旋转中心的距离相等；3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等；
1、如图，，可以看作是由绕点顺时针旋转角度得到的．若点在上。
（1）求旋转角大小；
（2）判断OB与的位置关系，并说明理由。
A
O
B
2、将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积A
C
B
是多少？
3、如图，在△中,.在同一平面内,将△绕点旋转到△的位置,使得,求的度数。
4、如图6，四边形是边长为1的正方形，点、分别在边和上，是由逆时针旋转得到的图形。
（1）旋转中心是点__________；
（2）旋转角是________度，=_________度；
（2）若，求证.并求此时的周长.
图6
5、△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合，AP＝3.
（1）求△APQ的面积；
（2）判断BQ与CQ的位置关系，并说明理由。
6、如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？
并证明你的结论．
7、如图，在Rt△ABC中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，证明①△≌△②
8、如图
（1），点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．
（1）求∠AEB的大小；
（2）如图
（2），ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.
知识点3．旋转对称：
一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度（小于周角）后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。
1、如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____________次旋转而得到，每一次旋转_______度．
2、如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，问此正六边形绕正六边形的中心O旋转______度能与自身重合。
3、如图的图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是__
知识点4．中心对称和中心对称图形
1、如图，下列4个数字有（）个是中心对称图形．
A．1B．2C．3D．4
2.下列图形中不是中心对称图形的是（）
A、①③B、②④C、②③D、①④
知识点5．作图
1、网格旋转90°（注意旋转的方向），中心对称，关于原点对称。
结合直角坐标系写出对称后坐标
2、找出旋转对称中心（两条对应线段垂直平分线的交点），中心对称中心（两组对应点连线的交点）
1、已知A（-1，-1），B（-4，-3）C（-4，-1）
（1）作△A1B1C1，使它与△ABC关于原点O中心对称；
写出A1，B1，C1点坐标；
（3）将△ABC绕原点O逆时针旋转90º后得到△A3B3C3，画出△A3B3C3，并写出A3，B3，C3的坐标
2、如图，网格中有一个四边形和两个三角形．
（1）请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；
（2）将
（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴有条；
这个整体图形至少旋转度与自身重合
知识点6．旋转割补法
如图,四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，求（提示：
将四边形ABCD割补为正方形）
知识点7．关于原点对称
填空：
⑴点A（－2，1）关于x轴的对称点为A′（，）；⑵点B（1，－3）与点B（1，3）关于的对称。
⑶C（－4，－2）关于y轴的对称点为C′（，）；⑷点D（5，0）关于原点的对称点为D′（，）。
圆
【考点1】和圆有关的概念
（1）等弦对等圆心角（）
（2）在同圆或等圆中，等弦对等圆心角（）
（3）等弧对等弦（）（4）等弦对等弧（）（5）等弧对等圆心角（）（6）直径是圆的对称轴（）
【考点2】垂径定理及其推论
如果一条直线满足
（1）过圆心
（2）垂直弦（3）平分弦（4）平分弧（优弧和劣弧）（5）平分圆心角
知之其中两个条件可以推出三个（知二求三）特别：
当选择过圆心和平分弦时，必须强调该弦不是直径。
（1）平分弦的直径垂直于弦.（）
（2）垂直于弦的直径平分弦.（）
1、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
2、如图，⊙O中，OE⊥弦AB于E，OF⊥弦CD于F，OE=OF，
（1）求证：
AB＝CD
（2）如果AB>CD，则OEOF
3．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道?
4、已知△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，以C为圆心，CA为半径画圆交AB于点D，求AD的长
【考点3】弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系：
（举一反三）在同圆和等圆中，等弧对等弦对等角（包括圆心角和圆周角）
1.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．求证：
=
（连接MO,NO,利用全等求证∠MOC=∠NOD,等角等弧）
2、如图15，AB、CD是⊙O的直径，DE、BF是弦，且DE=BF,求证：
∠D=∠B。
3．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，求证：
=3（连接OC、OD，外角，圆心角证弧）
4．AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：
；
（2）若，⊙O的半径为3，求BC的长．
【考点4】：
直径所对的圆90°
1.已知△ABC中，AB=AC，AB为⊙O的直径，BC交⊙O于D，求证：
点D为BC中点
【考点5】知识点（4）圆内接四边形对角互补
1、如图，AB、AC与⊙O相切
于点B、C，∠A=40º，
点P是圆上异的一动点，则∠BPC的度数是
【考点6】外接圆与内切圆相关概念
三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等；
三角形的内心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等
1、边长为6的正三角形的内切圆半径是______，外接圆半径是
2、如图，已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∠C=90°，AC=3，BC=4，求该内切圆的半径。
3、如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B=50°,∠C=60°，连接OE、OF、DE、DF，则∠EDF等于
【考点6】与圆有关的位置关系
画圆与圆位置关系的数轴
【考点7】切线的性质
切线性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径
4、如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，求证：
AC平分∠DAB。
【考点8】切线的证明（两种方法）
1、已知圆上一点“连半径，证垂直”
2、没告诉圆与直线有交点“作垂直，证半径”。
1、如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC于E，求证：
DE是⊙O的切线。
2、如图，AB=AC，OB=OC，AB切⊙O于D，
证明⊙O与AC相切
【考点9】切线长定理
切线长相等，平分切线所成的夹角。
图5
1、如图5，、是⊙的切线，点、为切点，AC是⊙的直径，，
图5
（1）求的度数；
（2）若，求的长。
3、如图，AB是⊙O的直径，BC是一条弦，连结OC并延长OC至P点，并使PC=BC，∠BOC=60o
（1）求证：
PB是⊙O的切线。
（2）若⊙O的半径长为1，且AB、PB的长是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，求b、c的值。
4、如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，是点C劣弧AB上任一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E若PA=10，求△PDE的周长
5、如图
（1）所示，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C（m，n）是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F。
所示，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r。
【考点10】正多边形的计算
1、正n边形的每内角=
2、正n边形的中心角=
3、正n边形的外角=
4、边心距r、半径R、边长a之间的关系：
5、正n边形的周长C=na
6、正n边形的面积S=nCr/2
1、如图，正五边形ABCDE的顶点都
在⊙O上，P是上一点，
则∠BPC=____________
2、如图，小明在操场上从点O出发，沿直线前进5米后向左转，再沿直线前进5米后，又向左转，……照这样走下去，他第一次回到出发地O点时，一共走了_____米。
3、求半径为6的正六边形的中心角度数.周长和面积。
4已知⊙O1，⊙O2，⊙O3，尺规作图:
（1）作出⊙O1的内接正三角形;
（2）作出⊙O2的内接正四边形;（3）作出⊙O3的内接正六边形
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