新湘教版九年级上册数学教案.doc

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第一章反比例函数

探究内容：

1.1建立反比例函数模型

（1）

目标设计：

1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律，抽象出反比例函数的概念；

2、理解反比例函数的概念和意义；

3、培养学生自主探究知识的能力。

重点难点：

对反比例函数概念的理解

探究准备：

投影片等。

探究过程：

一、旧知回顾：

1、函数的概念：

一般地，在某一变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数。

2、一次函数的概念：

一般地，如果（、是常数，）那么叫做的一次函数。

如：

，…

当时，有（为常数，）则叫做的正比例函数。

如：

，，…

二、新知探究：

类似地，有反比例函数：

1、概念：

一般地，如果两个变量与的关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数。

2、强调：

①自变量在分母中，指数为1，且；

②也可以写成的形式，此时自变量的指数；

③自变量的取值为的一切实数；

④由于，，因此函数值也不等于0。

例题讲评：

1、下列函数中，均表示自变量，那么哪些是反比例函数，并指出每一个反比例函数中相应的值。

⑴⑵⑶⑷

分析：

⑴是反比例函数，；

⑵不是反比例函数；

⑶是正比例函数；

⑷，即，是反比例函数，。

2、若函数是反比例函数，求出的值并写出解析式。

分析：

由题有：

且，解得

∴解析式为，即

3、已知反比例函数的图象经过点（-1，2），求其解析式。

分析：

设反比例函数的解析式为（），则

∴

∴此反比例函数的解析式为。

三、练习：

为何值时，是反比例函数？

四、小结：

1、牢记反比例函数的概念；

2、能正确区别正、反比例函数。

五、作业：

1、课堂：

⑴已知函数是反比例函数，求的值；

⑵如果函数是反比例函数，那么正比例函数的图象经过第几象限？

2、课外：

《基础训练》.

2

探究内容：

1.1建立反比例函数模型

（2）

目标设计：

1、巩固反比例函数的概念，能正确区别正、反比例函数；

2、能根据实际正确写出反比例函数解析式，初步尝试画反比例函数的图象；

3、培养学生自主探究知识的能力。

重点难点：

1、根据实际问题写反比例函数的解析式；

2、正、反比例函数的综合练习。

探究准备：

投影片、作图工具等。

探究过程：

一、复习导入：

1、一次函数的一般形式：

，（，为常数，）

当时，（）为正比例函数。

2、反比例函数的一般形式：

，（为常数，，）

二、新知探究：

例题讲解：

1、已知函数为正比例函数，且其图象经过第一、三象限，函数为反比例函数，请求出符合条件的所有值。

分析：

由题意，有：

由①得，

当在时，方程②为

解得，（均不合题意，舍去）

当时，方程②为

解得，（不合题意，舍去）

∴符合题意的值为3。

2、已知，与成正比例，与成反比例，并且当时，；当时，，求出与的函数关系。

分析：

∵与成正比例∴设

又∵与成反比例∴设

又∵∴

∴由题意，有

解得

∴与的函数关系式为。

3、某地上一年每度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间。

经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量（亿度）与（元）成反比例，且当时，。

⑴求与之间的函数关系式；

⑵若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上一年增加20％（收益＝用电量×（实际电价－成本价））？

分析：

⑴由题意可设（），则，解得

∴与的函数解析式为，即

⑵由题意，有：

（1+y）（x－0.3）＝（0.8－0.3）×1×（1＋20％）

即，亦即

∴，

∵

∴

即电价应调至每度0.6元。

三、练习：

1、若函数是反比例函数，那么正比例函数经过第几象限？

2、在某一电路中，电压伏，则电流强度I（安）与电阻R（欧）的函数关系式是（）。

3、已知反比例函数，请写出五个符合该函数解析式的点的坐标，并尝试画出该函数的图象。

分析：

（1，－6），（2，－3），（3，－2），（6，―1），（―1，6），（―2，3），（―3，2）

x

x

y

O

图象如下：

四、小结：

牢记反比例函数解析式，灵活解答。

五、作业：

1、课堂：

⑴已知，与成正比例，与成反比例，且当和时，的值分别是－4，3，试求与的函数关系式；

⑵《教材全解》P13名题品味尝试5。

2、课外：

《基础训练》。

3

探究内容：

1.2反比例函数的图象与性质

（1）

目标设计：

1、了解反比例函数的图象为双曲线，掌握其图象的画法；

2、初步依据图象探究的符合与函数值的大小关系；

3、培养学生自主探究知识的能力。

重点难点：

1、函数图象的画法；

2、、与值符号的关系等。

探究准备：

投影片、作图工具等。

探究过程：

一、复习导入：

反比例函数的概念及自变量取值范围：

一般地，如果两个变量与的关系可以表示成，（为常数，，）的形式，那么称是的反比例函数，其中是一切非零实数。

二、新知探究：

尝试：

画反比例函数的图象。

步骤：

1、列表：

x

－5

－4

－2

－1

1

2

4

5

－0.4

－0.5

－1

－2

－4

－6

6

4

2

1

0.5

0.4

x

y

O

2、描点：

3、连线：

在两象限内分别用圆滑曲线顺次连结。

讲授：

反比例函数图象的画法：

（描点法）

1、列表：

自变量的取值应以0为中心，沿0的两边取三对（或以上）互为相反数的点，并计算出相应值，填表；

2、描点：

先描出一侧，另一侧可依中心对称点性质去找。

3、连线：

用光滑曲线连结各点并延伸。

强调：

1、反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，分别位于一、三象限或二、四象限，它们关于原点对称。

2、由于反比例函数的值不为0，所以它的图象与轴和轴均无交点，即双曲线的俩个分支无限地接近坐标轴，但永远达不到坐标轴，

动手尝试：

画出反比例函数与的图象，并观察它们的图象有什么相同点和不同点。

分析：

列表：

x

－6

－5

－4

－3

－2

－1

1

2

3

4

5

6

－1

－1.2

－1.5

－2

－3

－6

6

3

2

1.5

1.2

1

1

1.2

1.5

2

3

6

－6

－3

－2

－1.5

－1.2

－1

x

y

O

描点，连线：

相同点：

图象分别都是有两支双曲线组成的，它们都不与坐标轴相交；两个函数图象自身都是轴对称图形，都有两条对称轴；两个函数图象自身都是关于原点对称的中心对称图形。

不同点：

函数的图象位于一、三象限，且在每个象限内，值随的增大而减小；函数的图象位于二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大。

由上，有：

图象位置与函数的增减性与有关。

反比例函数（）的图象与性质如下表：

k的符号

x

y

O

图象

性质

k＞0

x

y

O

1、由于x≠0，k≠0，所以y≠0；

2、当k＞0时，函数图象的两个分

支在一、三象限，在每个象限内，

y随x的增大而减小。

k＜0

1、由于x≠0，k≠0，所以y≠0；

2、当k＜0时，函数图象的两个分

支在二、四象限，在每个象限内，

y随x的增大而增大。

三、小结：

1、掌握反比例函数图象的画法；

2、牢记反比例函数的性质。

四、作业：

1、课堂：

《基础训练》

2、课外：

同上，其他试题。

4

探究内容：

1.2反比例函数的图象与性质

（2）

目标设计：

1、巩固反比例函数图象的画法及的符号与函数图象的关系；

2、能熟练依据反比例函数的图象或点的坐标求解析式；

3、培养学生自主探究知识的能力。

重点难点：

1、反比例函数的性质；

2、依据性质判断函数图象所在象限等。

探究准备：

投影片、作图工具等。

探究过程：

一、复习导入：

1、反比例函数的性质：

2、一次函数的性质：

3、反比例函数与一次函数之间的异同：

（图象、的符号与函数值的关系）

二、新知探究：

例题：

已知反比例函数的图象经过点A（-2，3）。

⑴求出这个反比例函数的解析式；

⑵经过点A的正比例函数的图象与此反比例函数还有其他交点吗？

若有，求出交点坐标；若没有，请说明理由。

分析：

⑴设此反比例函数的解析式为（），则

∴

∴此反比例函数的解析式为。

⑵∵A点也在正比例函数的图象上

∴则

∴此正比例函数的解析式为

∴此正比例函数的图象经过二、四象限。

又由⑴可知，反比例函数的图象在二、四象限内，设另一交点为，则与A（-2，3）是关于原点对称两点，而点A（-2，3）在第二象限内，所以点必在第四象限内，其坐标为（2，-3）。

2、已知反比例函数，分别依据下列条件确定的取值范围：

⑴函数图象位于第一、三象限；

⑵在每一象限内，随的增大而增大。

分析：

⑴∵函数图象位于第一、三象限

∴，即

⑵依题意，有，∴

3、已知反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，求的值并写出解析式。

分析：

依题意，有

即

∴

∴此反比例函数的解析式为，即。

探究：

反比例函数中的比例系数的几何意义。

x

y

O

N

P

M

如图，过双曲线上任一点作轴、轴的垂线PM、PN，所得矩形PMON的面积

∵（）

∴

∴

x

y

O

A

即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为。

三、练习：

1、一个反比例函数在第三象限的图象如图所示，若A是

图象上任意一点，AM⊥轴与M，O是原点，如果，求

这个反比例函数的解析式。

2、已知正比例函数与反比例函数的图象都经

过A（M，1）点，求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。

（2005·常德市）

四、小结：

在牢记图象的基础上灵活练习。

五、作业：

1、课堂：

《基础训练》P34；

2、课外：

同上。

5

探究内容：

1.2反比例函数的图象与性质（3）

目标设计：

1、能够求反比例函数与一次函数的解析式及其交点坐标；

2、培养学生自主探究知识的能力。

重点难点：

根据已知条件求函数解析式。

探究准备：

作图工具、小黑板等。

探究过程：

一、复习导入：

1、一次函数（）与轴、轴交点：

轴：

（）轴：

（）

反比例函数与轴、轴无交点。

2、当时，一次函数图象经过一、三象限，随的增大而增大；反比例函数图象分两支在一、三象限内，在每个象限内，随的增大而减小。

当时，类似。

二、新知探究：

题例：

1、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点。

⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围。

分析：

x

y

O

N（－1，－4）

M（2，m）

⑴∵点N（-1，-4）在反比例函数的图象上

∴即

∴反比例函数的解析式为。

又∵点M（2，M）也在双曲线上

∴

∴点M的坐标为（2，2）。

又∵点M（2，2），点N（-1，-4）均在的图象上

∴解得

∴一次函数的解析式为。

⑵由图象可知，当或时，反比例函数值大于一次函数的值。

解析如下：

∵

∴即①

分两种情况讨论：

①当时，①式可化为即

∴或即或

∴

②当时，①式可化为即

∴或即或

∴

综上，当或时，反比例函数值大于一次函数的值。

2、如图，A、C是函数的图象上任意两点，过点A作轴的垂线，垂足为B，过点C作轴的垂线，垂足为D，记的面积为，的面积为，则与的大小关系怎样？

分析：

y

x

A

B

O

D

C

方法一：

设，则

同理，设，则

∴

方法二：

由函数可得

∵，

∴

三、练习：

如果反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点坐标为（2，3），求反比例函数和一次函数的解析式。

四、小结：

1、求反比例函数的解析式只需一个点的坐标即可，而求一次函数解析式需知道两个点的坐标；

2、求函数解析式的方法一般是用待定系数法；

3、比较函数值的增减情况一般是依据自变量而定。

五、作业：

1、课堂：

《基础训练》P44；

2、课外：

《基础训练》P42。

6

探究内容：

1.2反比例函数的图象与性质（4）

目标设计：

通过典型题例的分析讲解，引导学生掌握反比例函数图象的画法，巩固反比例函数的概念和性质。

重点难点：

1、熟练掌握反比例函数图象的画法；

2、能依据反比例函数的概念和性质求其解析式。

探究准备：

作图工具、投影片等。

探究过程：

一、复习导入：

1、反比例函数的概念、性质及其图象画法；

2、一次函数的解析式、性质及图象画法。

二、新知探究：

1、画出函数的图象。

分析：

方法：

描点法

过程：

1、列表：

x

－5

－4

－3

－2

－1

1

2

3

4

5

y

－1

1

x

y

O

（x＞0）

（x＜0）

2、描点、连线：

强调：

描点时不能把横纵坐标颠倒，单位长度应取合理、正确，便于描点。

2、如图，在直角坐标系中，直线与双曲线在第一象限交于点A，与轴交于点C，AB垂直于轴，垂足为B，且。

x

y

O

A

B

C

⑴求M的值；

⑵求△ABC的面积。

分析：

⑴设点

∵A点在的图象上，

∴

又∵

∴

⑵由⑴知，。

∴取立直线与双曲线的解析式，有

解得或

∵，（需求第一象限内的交点坐标）

∴A点坐标为

又∵直线与轴的交点为―2

∴

∴

三、练习：

《基础训练》P45

四、小结：

1、过双曲线上任意一点作轴或轴的垂线，与坐标原点所构成的三角形的面积为；

2、双曲线与直线若有交点，说明联立其解析所组成的方程。

五、作业：

1、课堂：

《基础训练》P510，11；

2、课外：

同上6、7、8。

7

探究内容：

1.2反比例函数的图象与性质（5）

目标设计：

通过典型题例的分析讲解，引导学生牢记反比例函数图象与性质，掌握解题方法。

重点难点：

解题方法的分析引导。

探究准备：

投影片、作图工具等。

探究过程：

一、复习导入：

1、若、在反比例函数的图象上，则与的关系怎样？

2、已知与成反比例，且时，，那么当时，为多少？

3、已知函数的图象过点，试求函数的图象与坐标轴围成是三角形的面积。

分析：

∵点在函数的图象上

∴

∴一次函数的解析式为：

，此时，与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为

∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为：

二、新知探究：

1、一次函数与双曲线在同一直角坐标系中无交点，试判断的取值范围。

分析：

由题意，有

∴即亦即

又∵直线与双曲线无交点

∴此时方程无解

∴即

2、已知如图，C、D是双曲线在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交轴、轴于A、B两点，设，，连结OC、OD，求证：

分析：

过点C作CG⊥轴于G，则在Rt△COG中，，

x

y

O

A

B

C（x1，y1）

D

G

∵C点在双曲线上

∴即

∴

∴在Rt△COG中，，即

∴

3、如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A、B，设点A的坐标为，那么宽为，长为的矩形面积和周长分别为多少？

x

y

O

A（x1，y1）

B

分析：

由题意，得

∴或

∴由图象可知，A点坐标为

∴

4、如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于C点，CD垂直于轴于D，若。

x

y

O

A

B

C

D

⑴求A、B、D的坐标；

⑵求一次函数与反比例函数的解析式。

分析：

⑴∵

∴A（-1，0），B（0，1），D（1，0）

⑵∵点A、B在一次函数的图象上

∴解得

∴一次函数的解析式为

又∵C点在在一次函数的图象上，CD⊥轴，且OD＝1

∴CD＝1＋1＝2，即C点坐标为（1，2）

又∵C点也在反比例函数的图象上

∴

D

x

y

O

A

B

C

∴反比例函数的解析式为。

三、练习：

如图，一次函数图象分别与轴、轴

相交于A、B两点，与反比例函数交于C、D两

点。

如果点A（2，0），点C、D分别在第一、三

象限内，且，试求两函数的

解析式。

四、小结：

灵活运用已知条件和图象找准坐标点，然后求解析式。

五、作业：

1、课堂：

《基础训练》P65；

2、课外：

同上。

8

探究内容：

1.2反比例函数的图象与性质（6）

目标设计：

通过稍有难度的典型题例的分析讲解，引导学生灵活运用本节知识及已学的相关知识解决问题，注重学生自主探究知识能力的培养。

重点难点：

1、运用综合知识解题；

2、自主探究知识能力的培养。

探究准备：

作图工具、投影片等。

探究过程：

一、复习导入：

正比例函数与反比例函数在解析式、图象、自变量取值范围、图象位置、性质上的区别。

二、新知探究：

题例：

1、如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数与反比例函数的图象在第一象限内的交点，且。

⑴该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？

如果能确定，请写出它们的解析式；如果不能确定，请说明理由。

x

y

O

A

B

C

D

E

⑵如果线段AC的延长线与反比例函数的图象的另一支交点D点，过D作DE⊥轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？

⑶请判定△AOD为何特殊△，并证明你的结论。

分析：

⑴能。

设，则

∴

∴一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为。

⑵能。

∵点D也在双曲线上，且DE⊥轴。

∴而

∴

⑶△AOD为钝角等腰三角形。

由题意，有

解得或

∴，

∴在Rt△AOB与Rt△DOE中，

又由图象可知∠AOD＞90°

∴△AOD是钝角等腰三角形。

2、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴、轴交于C、D，已知，,点B的坐标为。

⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

⑵求△AOB的面积。

分析：

⑴过A作AE⊥轴于E

∵，，则可设，

∴在Rt△AOE中，

∴，即，∴

又∵A点在反比例函数的图象上

∴即∴反比例函数的解析式为

又∵在双曲线上

∴∴

∴把，代入中，有

解得

∴一次函数的解析式为

⑵∵一次函数与轴交于D

∴∴

x

y

O

A

B

D

三、练习：

如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点。

⑴求A、B两点坐标；

⑵求△AOB的面积。

四、小结：

1、直角坐标系中图形的面积一般以坐标轴为底边分成△来求；

2、点不在第一象限内，线段长度应加绝对值符号。

五、作业：

1、课堂：

《基础训练》P111，2；

2、课外：

同上。

9

探究内容：

1.3实际生活中的反比例函数

（1）

目标设计：

1、能够依据实际问题建立通过反比例函数模型；

2、能够依据实际问题确定自变量的取值范围；

3、体会数学与生活的联系，培养自主探究知识的能力与习惯。

重点难点：

1、依据实际问题建立反比例函数模型；

2、在实际问题中确定自变量的取值范围。

探究准备：

投影片、作图工具等。

探究过程：

一、复习导入：

反比例函数（是常数，）的图象与性质：

①时……

②时……

二、新知探究：

实际生活中的反比例函数：

问题1：

使劲踩气球时，气球为什么会爆炸？

∵（为常数，）

∴

压强大到一定程度时，气球便会爆炸。

问题2：

小明的妈妈做布鞋，钠鞋底时为什么要用大头针而不用小铁棍？

∵

∴

即当F一定时，S越小，P越大。

题例：

某单位为响应政府发出的“全民健康”的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD。

该健身房的四面墙中有两面沿用大厅的旧墙壁。

已知装修旧墙壁的费用为20元／平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元／平方米。

设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB长为米，修建健身房的总投入为元。

⑴求与的函数关系式；

A

C

B

D

20m

11m

⑵为了合理利用大厅，要求自变量必须满足条件，当投入资金为4800元时，问利用旧墙壁总长度为多少米？

分析：

⑴∵矩形ABCD的面积为60平方米，米

∴另一面旧墙米

∴旧墙壁总长为米，等于新墙壁总长。

∴修建健身房的费用即

⑵由题意，有

解得，

经检验，，都是方程的根，但

∴

即利用旧墙壁的总长为（米）

三、练习：

某件商品的成本价为15元，据市场调查知，每天的销售量（件）与销售价格（元）有下列关系：

销售价格x

20

25

30

50

销售量y

15

12

10

6

仔细观察，你能发现什么规律？

你能写出与的关系式吗？

它们之间是什么函数关系？

画出它的图象。

四、小结：

根据实际问题，找准函数关系，再确自变量范围。

五、作业：

1、课堂：

某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为80元，在销售中发现，该衬衣的月销售量（件）是销售价（元）的反比例函数，且当售价定为100元／件时，每月可销出30件。

⑴求与之间的函数关系式；

⑵若商场计划月赚利润2000元，则其单价应定为多少元？

2、课外：

《基础训练》P101，2。

10

探究内容：

1.3实际生活中的反比例函数

（2）

目标设计：

1、分析实例，了解反比例函数在实际生活中的应用；

2、能够运用所学知识分析解决生活实例。

重点难点：

培养学生分析问题、解决问题的能力。

探究准备：

投影片、作图工具等。

探究过程：

一、复习导入：

分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数，也不是反比例函数。

1、小红1分钟可以制作2朵花，分钟可以制作朵花；

2、体积为100cm3的长方体，高为hcm时，底面积为Scm3;

3、用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为cm，面积为cm2；

4、小李接到对长为100m的管道进行检修的任务，设每天能完成10m，天后剩下的未检修的管道长为m。

二、新知探究：

题例：

1、请你编写一道反比例函数在实际生活中的应用题，并运用反比例函数的性质进行解答。

分析：

强调须用“反比例函数的性质进行解答”。

如：