实数分类型经典例题.doc

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实数分类型经典例题解析

类型一．有关概念的识别

　　1．下面几个数：

0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）

　　A、1　　　B、2　　　C、3　　　D、4

　　解析：

本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数

　　故选C

　　举一反三：

　　【变式1】下列说法中正确的是（）

　　A、的平方根是±3　B、1的立方根是±1　C、=±1　D、是5的平方根的相反数

　　【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，

　　　　　　∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．

　　　　　　∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．

　　【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）

　　A、1　　　B、1.4　　　C、　　　D、

　　【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．

　　【变式3】

　　【答案】∵π=3.1415…，∴9＜3π＜10

　　　　　　因此3π-9＞0，3π-10＜0

　　　　　　∴

类型二．计算类型题

　　2．设，则下列结论正确的是（）

　　A.　　　　　　B.

　　C.　　　　　　D.

　　解析：

（估算）因为，所以选B

　　举一反三：

　　【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________.3）___________，___________，___________.

　　【答案】1）；.2）-3.3），，

　　【变式2】求下列各式中的

（1）　　　

（2）　　　　（3）

　　【答案】

（1）

（2）x=4或x=-2（3）x=-4

类型三．数形结合

　　3.点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______

　　解析：

在数轴上找到A、B两点，

　　举一反三：

　　【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．

　　A．－1B．1－C．2－D．－2

　　【答案】选C

　　[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：

　　　　　　化简

　　【答案】：

类型四．实数绝对值的应用

　　4．化简下列各式：

（1）|-1.4|　　　

（2）|π-3.142|

　　（3）|-|　　　（4）|x-|x-3||（x≤3）

　　（5）|x2+6x+10|

　　分析：

要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

　　解：

（1）∵=1.414…＜1.4

　　　　　∴|-1.4|=1.4-

（2）∵π=3.14159…＜3.142

　　　　　∴|π-3.142|=3.142-π

　　　　（3）∵＜,∴|-|=-

　　　　（4）∵x≤3,∴x-3≤0,

　　　　　∴|x-|x-3||=|x-（3-x）|

　　　　　　　　　　=|2x-3|=

　　说明：

这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。

　　（5）|x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|（x+3）2+1|

　　　　∵（x+3）2≥0,∴（x+3）2+1＞0

　　　　∴|x2+6x+10|=x2+6x+10

　　举一反三：

　　【变式1】化简：

　　【答案】=+-=

类型五．实数非负性的应用

　　5．已知：

=0，求实数a,b的值。

　　分析：

已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：

3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a,b的值。

　　解：

由题意得

　　　　由

（2）得a2=49∴a=±7

　　　　由（3）得a>-7，∴a=-7不合题意舍去。

　　　　∴只取a=7

　　　　把a=7代入

（1）得b=3a=21

　　　　∴a=7,b=21为所求。

　　举一反三：

　　【变式1】已知（x-6）2++|y+2z|=0，求（x-y）3-z3的值。

　　解：

∵（x-6）2++|y+2z|=0

　　　　且（x-6）2≥0,≥0,|y+2z|≥0,

　　　　几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。

　　　　∴解这个方程组得

　　　　∴（x-y）3-z3=（6-2）3-（-1）3=64+1=65

　　【变式2】已知那么a+b-c的值为___________

　　【答案】初中阶段的三个非负数：

，

　　　　　　a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2

类型六．实数应用题

　　6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。

　　解：

设新正方形边长为xcm，

　　　　根据题意得x2=112+13×8

　　　　∴x2=225

　　　　∴x=±15

　　　　∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，

　　　　∴只取x=15（cm）

　　答：

新的正方形边长应取15cm。

　　举一反三：

　　【变式1】拼一拼，画一画：

请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。

（4个长方形拼图时不重叠）

（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？

（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积

　　　　多24cm2，求中间小正方形的边长.

　　解析：

（1）如图，中间小正方形的边长是：

　　　　　　　，所以面积为=

　　　　　　　大正方形的面积=，

　　　　　　　一个长方形的面积=。

　　　　　　　所以，

　　　　　　　答：

中间的小正方形的面积，

　　　　　　　　　发现的规律是：

（或）

（2）大正方形的边长：

，小正方形的边长：

　　　　　　，即，

　　　　　　又大正方形的面积比小正方形的面积多24cm2

　　　　　　所以有，

　　　　　　化简得：

　　　　　　将代入，得：

　　　　　　cm

　　　　　　答：

中间小正方形的边长2.5cm。

类型七．易错题

　　7．判断下列说法是否正确

（1）的算术平方根是-3；　　　

（2）的平方根是±15.

　　（3）当x=0或2时，　　　（4）是分数

　　解析：

（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故

（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，

　　　　　　　故的平方根是.

　　　　　（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，

　　　　　　　发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.

　　　　　（4）错在对实数的概念理解不清.形如分数，但不是分数，它是无理数.

类型八．引申提高

　　8．

（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.

（2）把下列无限循环小数化成分数：

①②③

（1）分析：

确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．

　　解：

由得　　

　　　　的整数部分a=5,的小数部分，

　　　　∴

（2）解：

（1）设x=①

　　　　　　　　则②

　　　　　　　　②-①得

　　　　　　　　9x=6

　　　　　　　　∴.

（2）设①

　　　　　　　　则②

　　　　　　　　②-①，得

　　　　　　　　99x=23

　　　　　　　　∴.

　　　　　　（3）设①

　　　　　　　　则②

　　　　　　　　②-①，得

　　　　　　　　999x=107，

　　　　　　　　∴.