最新人教版七年级数学上册知识点归纳总结及典型试题汇总.doc
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人教版七年级数学上册
第一章有理数
知识要点
本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。
有理数的概念可以利用数轴来认识、理解,同时,利用数轴又可以把这些概念串在一起。
有理数的运算是全章的重点。
在具体运算时,要注意四个方面,一是运算法则,二是运算律,三是运算顺序,四是近似计算。
1.有理数:
(1)凡能写成形式的数,都是有理数,和统称有理数.
注意:
0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;p(是不是)有理数;
(2)有理数的分类:
①②
(3)注意:
有理数中,1、0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性;
(4)自然数Û0和正整数;a>0Ûa是正数;a<0Ûa是负数;
a≥0Ûa是正数或0Ûa是非负数;a≤0Ûa是负数或0Ûa是非正数.
2.数轴:
数轴是规定了(数轴的三要素)的一条直线.
3.相反数:
(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;
(2)注意:
a-b+c的相反数是;a-b的相反数是;a+b的相反数是;
(3)相反数的和为Ûa+b=0Ûa、b互为相反数.
(4)相反数的商为.
(5)相反数的绝对值相等www.xkb1.com
4.绝对值:
(1)正数的绝对值等于它,0的绝对值是,负数的绝对值等于;
注意:
绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
(2)绝对值可表示为:
或;
(3);;
(4)|a|是重要的非负数,即|a|≥0,非负性;
5.有理数比大小:
(1)正数永远比0大,负数永远比0小;
(2)正数大于一切负数;
(3)两个负数比较,绝对值大的反而小;
(4)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;
(5)-1,-2,+1,+4,-0.5,以上数据表示与标准质量的差,绝对值越小,越接近标准。
6.倒数:
乘积为1的两个数互为倒数;
注意:
没有倒数;若ab=1Ûa、b互为;若ab=-1Ûa、b互为.
等于本身的数汇总:
相反数等于本身的数:
倒数等于本身的数:
绝对值等于本身的数:
平方等于本身的数:
立方等于本身的数:
7.有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)一个数与0相加,仍得这个数.
8.有理数加法的运算律:
(1)加法的交换律:
a+b=b+a;
(2)加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c).
9.有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).
10有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
(2)任何数与零相乘都得零;
(3)几个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负,偶数个负数为正。
11有理数乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:
ab=ba;
(2)乘法的结合律:
(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律:
a(b+c)=ab+ac.(简便运算)
12.有理数除法法则:
除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:
零不能做除数,.
13.有理数乘方的法则:
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;
14.乘方的定义:
(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;
(3)a2是重要的非负数,即a2≥0;若a2+|b|=0Ûa=0,b=0;
(4)正数的任何次幂都是正数,0的任何次幂都是0;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
(5)据规律底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位.
15.科学记数法:
把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10,这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1,整数位数=10的指数+1
16.近似数的精确位:
一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到那一位.
17.混合运算法则:
先乘方,后乘除,最后加减;注意:
不省过程,不跳步骤。
18.特殊值法:
是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.常用于填空,选择。
第一章、基础训练
选择题
1、下列运算中正确的是().
A.|-2|=-2B.-32=-27C.|(3-π)|=-π-3D.32=-9
2、下列各判断句中错误的是()
A.数轴上原点的位置可以任意选定
B.数轴上与原点的距离等于个单位的点有两个
C.与原点距离等于-2的点应当用原点左边第2个单位的点来表示
D.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间,一定还存在着表示有理数的点。
3、、是有理数,若>且,下列说法正确的是()
A.一定是正数B.一定是负数
C.一定是正数D.一定是负数
4、两数相加,如果比每个加数都小,那么这两个数是()
A.同为正数B.同为负数C.一个正数,一个负数D.0和一个负数
5、两个非零有理数的和为零,则它们的商是()
A.0B.-1C.+1D.不能确定
6、一个数和它的倒数相等,则这个数是()
A.1B.-1C.±1D.±1和0
7、如果|a|=-a,下列成立的是()
A.a>0B.a<0C.a>0或a=0D.a<0或a=0
8、(-2)11+(-2)10的值是()
A.-2B.(-2)21C.0D.-210
9、已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶,现有16个矿泉水空瓶,若不交钱,最多可以喝矿泉水()
A.3瓶B.4瓶C.5瓶D.6瓶
10、在下列说法中,正确的个数是()
⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示
⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数
⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数
⑷每个有理数都有相反数
A、1B、2C、3D、4
11、如果一个数的相反数比它本身大,那么这个数为()
A、正数 B、负数
C、整数 D、不等于零的有理数
12、下列说法正确的是()
A、几个有理数相乘,当因数有奇数个时,积为负;
B、几个有理数相乘,当正因数有奇数个时,积为负;
C、几个有理数相乘,当负因数有奇数个时,积为负;
D、几个有理数相乘,当积为负数时,负因数有奇数个;
13、如果零上3℃记作+3℃,那么零下3℃记作()
A、—3B、-6C、-3℃D、-6℃
14、若a与2互为相反数,则∣a+2∣等于()
A、0B、-2C、2D、4
第二章整式的加减
1.单项式:
表示数字或字母乘积的式子,单独的一个数字或字母也叫单项式。
2.单项式的系数与次数:
单项式中的数字因数,称单项式的系数(要包括前面的符号);
单项式中所有字母指数的和,叫单项式的次数(只与字母有关)。
3.多项式:
几个单项式的和叫多项式。
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4.多项式的项数与次数:
多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数;
5.(整式是代数式,但是代数式不一定是整式)。
6.同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项(与系数无关,与字母的排列顺序无关)。
7.合并同类项法则:
系数相加,字母与字母的指数不变.
8.去(添)括号法则:
去(添)括号时,若括号前边是“+”号,括号里的各项都不变号;若括号前边是“-”号,括号里的各项都要变号.
9.整式的加减:
一找:
(标记);二“+”(务必用+号开始合并)三合:
(合并)
10.多项式的升幂和降幂排列:
把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来,叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列)。
第二章整式的加减
一、选择题(小题3分,共30分)
1.下列各式中是多项式的是()
A.B.C.D.
2.下列说法中正确的是()
A.的次数是0B.是单项式C.是单项式D.的系数是5
x
x
x
x
x
3.如图1,为做一个试管架,在cm长的木条上钻了4个圆孔,每个孔直径2cm,则等于()
图1
A.cmB.cmC.cmD.cm
4.()
A.B.C.D.
5.只含有的三次多项式中,不可能含有的项是()
A.B.C.D.
6.化简的结果是()
A.B.C.D.
7.一台电视机成本价为元,销售价比成本价增加了,因库存积压,所以就按销售价的出售,那么每台实际售价为()
A.元B.元
C.元D.元
8.下面是小芳做的一道多项式的加减运算题,但她不小心把一滴墨水滴在了上面.
阴影部分即为被墨迹弄污的部分.那么被墨汁遮住的一项应是()
A.B.C.D.
9.把(x-3)2-2(x-3)-5(x-3)2+(x-3)中的(x-3)看成一个因式合并同类项,结果应( )
A.-4(x-3)2+(x-3)B.4(x-3)2-x(x-3)C.4(x-3)2-(x-3) D.-4(x-3)2-(x-3)
二、填空题(每小题3分,共30分)
11.单项式的系数是,次数是.
12.一个两位数,个位数字是a,十位数字比个位数字大2,则这个两位数是_____.
13.当时,代数式的值是;
14.计算:
;
16.规定一种新运算:
如,请比较大小:
(填“>”、“=”或“>”).
17.根据生活经验,对代数式作出解释:
;
18.某城市按以下规定收取每月的煤气费:
用气不超过60立方米,按每立方米0.8元收费;如果超过60立方米,超过部分每立方米按1.2元收费.已知某户用煤气x立方米(x>60),则该户应交煤气费元.
20.观察下列单项式:
0,3x2,8x3,15x4,24x5,……,按此规律写出第13个单项式是______。
三、解答题(共60分)
21.(12分)化简:
(1);
(2);
(3);
22.(8分)化简求值
(1)其中.
(2)其中.
23.(6分)已知,,求.
24.(6分)如图所示,一扇窗户的上部是由4个扇形组成的半圆形,下部是边长相同的4个小正方形,请计算这扇窗户的面积和窗框的总长.
a
26.(6分)某商店有两个进价不同的计算器都卖了元,其中一个盈利60%,另一个亏本20%,在这次买卖中,这家商店是赚了,还是赔了?
赚了或赔了多少?
27.(7分)试至少写两个只含有字母、的多项式,且满足下列条件:
(1)六次三项式;
(2)每一项的系数均为1或-1;(3)不含常数项;(4)每一项必须同时含字母、,但不能含有其他字母.
28.(9分)某农户2007年承包荒山若干亩,投资7800元改造后,种果树2000棵.今年水果总产量为18000千克,此水果在市场上每千克售a元,在果园每千克售b元(b<a).该农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克,需8人帮忙,每人每天付工资25元,农用车运费及其他各项税费平均每天100元.
(1)分别用a,b表示两种方式出售水果的收入?
(2)若a=1.3元,b=1.1元,且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果,请你通过计算说明选择哪种出售方式较好.
(3)该农户加强果园管理,力争到明年纯收入达到15000元,那么纯收入增长率是多少(纯收入=总收入-总支出),该农户采用了
(2)中较好的出售方式出售)?
第三章一元一次方程
1.等式:
用“=”号连接而成的式子叫等式.
2.等式的性质:
等式性质1:
等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍相等;
等式性质2:
等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,结果仍相等.
3.方程:
含未知数的等式,叫方程(方程是含有未知数的等式,但等式不一定是方程).
4.方程的解:
使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意:
“方程的解就能代入”。
5.移项:
把等式一边的某项变号后移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1(移项变号).
6.一元一次方程:
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
7.一元一次方程的标准形式:
ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).
8.一元一次方程解法的一般步骤:
化简方程----------分数基本性质
去分母----------同乘(不漏乘)最简公分母
去括号----------注意符号变化
移项----------变号(留下靠前)
合并同类项--------合并后符号www.xkb1.com
系数化为1---------除前面
10.列一元一次方程解应用题:
(1)读题分析法:
…………多用于“和,差,倍,分问题”
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:
“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.
(2)画图分析法:
…………多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.
11.列方程解应用题的常用公式:
(1)行程问题:
路程=速度·时间;
(2)工程问题:
工作量=工作效率·工作时间;
工程问题常用等量关系:
先做的+后做的=完成量www.xkb1.com
(3)顺水逆水问题:
顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
顺水逆水问题常用等量关系:
顺水路程=逆水路程
(4)商品利润问题:
售价=定价,;
利润问题常用等量关系:
售价-进价=利润
(5)配套问题:
(6)分配问题
填空题
1、在有理数-7,,-(-1.43),,0,,-1.7321中,是整数的有_____________是负分数的有_______________。
2、一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的____边,与原点的距离是____个单位长度;表示数-a的点在原点的____边,与原点的距离是____个单位长度。
3、如果一个数是6位整数,用科学记数法表示它时,10的指数是_____;用科学记数法表示一个n位整数,其中10的指数是___________.
4、实数a、b、c在数轴上的位置如图:
化简|a-b|+|b-c|-|c-a|.
5、绝对值大于1而小于4的整数有_____________________________________,其和为___________.
6、若a、b互为相反数,c、d互为倒数,则(a+b)3-3(cd)4=________.
7、1-2+3-4+5-6+……+2001-2002的值是____________.
8、若(a-1)2+|b+2|=0,那么a+b=_____________________.
9、平方等于它本身的有理数是___________,立方等于它本身的有理数是_____________.
10、用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是 ,用科学记数法表示302400,应记为 ,近似数3.0× 精确到 位。
11、正数–a的绝对值为__________;负数–b的绝对值为________
12、甲乙两数的和为-23.4,乙数为-8.1,甲比乙大
13、在数轴上表示两个数,的数总比的大。
(用“左边”“右边”填空)
14、数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32,那么,数轴左边18厘米处的点表示的有理数是____________。
15、温度由-5℃下降3℃后,结果可记为_____.
16、-1/3的相反数是_______,绝对值是_______,倒数是_______.
三、强化训练
1、计算:
1+2+3+…+2002+2003=__________.
2、已知:
若(a,b均为整数)则a+b=
3、观察下列等式,你会发现什么规律:
,,,。
。
。
请将你发现的规律用只含一个字母n(n为正整数)的等式表示出来
4、已知,则___________
5、已知是整数,是一个偶数,则a是(奇,偶)
6、已知1+2+3+…+31+32+33==17×33,求1-3+2-6+3-9+4-12+…+31-93+32-96+33-99的值。
7、在数1,2,3,…,50前添“+”或“-”,并求它们的和,所得结果的最小非负数是多少?
请列出算式解答。
8、如果规定符号“*”的意义是a*b=ab/(a+b),求2*(-3)*4的值。
9、已知|x+1|=4,(y+2)2=4,求x+y的值。
10、投资股票是一种很重要的投资方式,但股市的风云变化又牵动了股民的心。
例:
某股民在上星期五买进某种股票500股,每股60元,下表是本周每日该股票的涨跌情况(单位:
元):
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
+4
+4.5
-1
-2.5
-6
(1)
(1) 星期三收盘时,每股是多少元?
(2)
(2) 本周内最高价是每股多少元?
最低价是多少元?
(3) 已知买进股票是付了1.5‰的手续费,卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易费,如果在星期五收盘前将全部股票一次性地卖出,他的收益情况如何?
(4)以买进的股价为0点,用折线统计图表示本周该股的股价情况。
【典型例题】
一、一元一次方程的有关概念
例1.一个一元一次方程的解为2,请写出这个一元一次方程.
二、一元一次方程的解
例2.若关于的一元一次方程的解是,则的值是()
A.B.1C.D.0
三、一元一次方程的解法
例3.如果,那么等于()
(A)1814.55(B)1824.55(C)1774.45(D)1784.45
例4.{[(x-1)-3]-3}=3
四、一元一次方程的实际应用
例5.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试:
同时开放1个大餐厅、2个小餐厅,可供1680名学生就餐;同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280名学生就餐.
(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐;
(2)若7个餐厅同时开放,能否供全校的5300名学生就餐?
请说明理由.
例6.工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元;按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元?
例7.八年级三班在召开期末总结表彰会前,班主任安排班长李小波去商店买奖品,下面是李小波与售货员的对话:
李小波:
阿姨,您好!
售货员:
同学,你好,想买点什么?
李小波:
我只有100元,请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.
售货员:
好,每支钢笔比每本笔记本贵2元,退你5元,请清点好,再见.
根据这段对话,你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗?
第四章图形初步认识
(一)多姿多彩的图形
立体图形:
棱柱、棱