人教版七年级数学下册二元一次方程组知识点及应用题.doc

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第八章二元一次方程组

第一节、知识梳理

二元一次方程组

一、学习目标

　1.了解并认识二元一次方程的概念.

　2.了解与认识二元一次方程的解.

　3.了解并掌握二元一次方程组的概念并会求解.

　4.掌握二元一次方程组的解并知道与二元一次方程的解的区别.

　5.掌握代入消元法和加减消元法.

二、知识概要

　1.二元一次方程：

像x＋y＝2这样的方程中含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程.

　2.二元一次方程的解：

一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

　3.二元一次方程组：

把两个方程x＋y＝3和2x＋3y＝10合写在一起为像这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

　4.二元一次方程组的解：

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

　5.代入消元法：

由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

　6.加减消元法：

两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.

三、重点难点

　代入消元法和加减消元法是本周学习的重点，也是本周学习的难点.

四、知识链接

　本周的二元一次方程组由我们学过的一元一次方程演化而来，为以后解决实际问题提供了一种有力的工具.

五、中考视点

　本周所学的二元一次方程组经常在中考中的填空、选择中出现，还有的出现在解答题的计算当中.

二元一次方程组的实际应用

一、学习目标

　将实际问题转化为纯数学问题，建立数学模型（即二元一次方程组），解决问题.

　　二、知识概要

　列方程组解应用题的常见类型主要有：

　１.行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：

路程＝速度×时间；

　２.工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.

　基本等量关系为：

工作量＝工作效率×工作时间；

　3.和差倍分问题.基本等量关系为：

较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×1倍量；

　4.航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：

　顺流（风）：

航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速

　逆流（风）：

航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速

　5.几何问题、年龄问题和商品销售问题等.

　　三、重点难点

　建立数学模型（二元一次方程组）是本周的重点，也是本周的难点.

　　四、知识链接

　本周知识是上周学的二元一次方程组的实际应用，为解决一些实际问题提供了一个模型，一种方法.

　　五、中考视点

　二元一次方程组是中考重点考查的内容之一，主要有以下几个方面：

（1）从实际数学问题中构造一次方程组，解决有关问题；

（2）能从图表中获得有关信息，列方程组解决问题.

第二节、教材解读

1．二元一次方程：

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．从定义中可以看出：

二元一次方程具备以下四个特征：

（1）是方程；

（2）有且只有两个未知数；

　（3）方程是整式方程，即各项都是整式；

　（4）各项的最高次数为1.

　例如：

像+y＝3中，不是整式，所以+y＝3就不是二元一次方程；像x+1=6，x+y-3z=8，不是含有两个未知数，也就不是二元一次方程；像xy+6=1中，虽然含有两个未知数x、y且次数都是1，但未知项xy的次数为　2，所以也不是二元一次方程，所以二元一次方程必须同时具备以上四点．

　2．二元一次方程组

　含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组，它有两个特点：

一是方程组中每一个方程都是一次方程；二是整个方程组中含有两个且只含有两个未知数，如

一次方程组．

　3．二元一次方程的一个解

　符合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．

　一般地二元一次方程的解有无数个，例如x+y=2中，由于x、y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解．

　4．二元一次方程组的解

　二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．

　定义中的公共解是指同时使二元一次方程组中的每一个方程左右两边的值都相等，而不是使其中一个或部分左右两边的值相等，由于未知数的值必须同时满足每一个方程，所以，二元一次方程组一般情况下只有惟一的一组解，即构成方程组的两个二元一次方程的公共解．

第三节、错题剖析

　【误解】A或D．

　【思考与分析】二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，而中的一个方程的解，并不能让另一方程左、右两边相等，所以它们都不是这个方程组的解，只有C是正确的．

　验证方程组的解时，要把未知数的值代入方程组中的每个方程中，只有使每个方程的左、右两边都相等的未知数的值才是方程组的解．

　【正解】C．

　把式③代入式②得8-3y+3y=8，0×y=0.

　所以y可以为任何值.

　所以原方程组有无数组解．

　【思考与分析】代入法是求二元一次方程组的解的一种基本方法．它的一般步骤是：

（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，如本题中方程②中的x，用含y的代数式表示为x=8-3y；

（2）将这个变形所得的代数式代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；这里要求代入“另一个”方程，“误解”把它代入到变形的同一个方程中，得到了一个关于y的恒等式，出现了错误．（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入前面变形所得的式子中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．

　【正解】由式②得x=8-3y　　　③

　把式③代入式①得2（8-3y）+5y=-21，

　解得y=37.把y=37代入式③得x=8-3×37，

解得x=-103.所以

【例3】解方程组

　【错解】方程①-②得：

－3y=0，所以y=0，

　把y=0，代入②得x=－2，所以原方程组的解为

　【分析】在①-②时出错.

　【正解】①-②得：

（x－2y）－（x－y）＝2－（－2）

　　　　　　　　　x－2y－x＋y＝4

　　　　　　　　　　　　－y=4

        　　　　　　　 　　y=－4

　把y=－4代入②得x=－6，

　所以原方程组的解为

　【小结】两方程相减时，易出现符号错误，所以要特别细心.

　【例4】某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，问晚会上男、女生各有几人？

　错解:

设晚会上男生有x人，女生有y人.

　根据题意，得

　把①代入②，得x=（2x-1），解得x=3.把x=3代入②，得y=5.

　所以答:

晚会上男生3人，女生5人.

　【分析】本题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数.

　正解:

设晚会上男生有x人，女生有y人.

　根据题意，得

　把③代入④,得

　x=［2（x-1）－1－1］，

　解得x=12.

　把x=12代入④，得y=21.

　所以

　答：

晚会上男生12人，女生21人.

解二元一次方程组的问题看似简单，但如果你稍不注意，就有可能犯如下错误.

　【例5】解方程组 

　【错解】方程①＋②得：

2x=4，

　原方程组的解是：

x=2

　【错因分析】错解只求出了一个未知数x，没有求出另一个未知数y.所以求解是不完整的.

　【正解】（接上）将x=2带入②得：

y=0.所以原方程组的解为

　【小结】用消元法来解方程组时，只求出一个未知数的解，就以为求出了方程组的解，这是对二元一次方程组的解的意义不明确的表现.应牢记二元一次方程组的解是一组解，而不是一个解.

　【例6】解方程组

　【错解】由式①得y=2x-19    ③

　把式③代入式②得2（2x－19－

　【错因分析】“错解”在把变形后的式③代入式②时，符号书写出现了错误．当解比较复杂的方程组时，应先化简，在求出一个未知数后，可以将它代入化简后的方程组里的任意一个方程中，求出第二个未知数，这样使得运算方便，避免出现错误．

　【正解一】化简原方程组得

　【正解二】化简原方程组得

　①×6+②得17x=114，

　【小结】解二元一次方程组可以用代入法，也可以用加减法．一般地说，当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入法比较方便；当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法比较方便．

第四节、思维点拨

【例1】小红到邮局寄挂号信，需要邮资３元８角.小红有票额为６角和８角的邮票若干张，问各需多少张这两种面额的邮票？

【思考与解】要解此题，第一步要找出问题中的数量关系.　寄信需邮资３元８角，由此可知所需邮票的总票额要等于所需邮资3.8元.再接着往下找数量关系，所需邮票的总票额等于所需６角邮票的总票额加上所需８角邮票的总票额.所需６角邮票的总票额等于单位票额６角与所需６角邮票数目的乘积.同样的，所需８角邮票的总票额等于单位票额８角与所需８角邮票数目的乘积.这就是题中蕴含的所有数量关系.

　第二步要抓住题中最主要的数量关系，构建等式.　由图可知最主要的数量关系是：

　所需邮资=所需邮票的总票额.

　第三步要在构建等式的基础上找出这个数量关系中牵涉到哪些已知量和未知量.　已知量是所需邮资３.8元，两种邮票的单位票额０.6元和0.8元，未知量是两种邮票的数目.

　第四步是设元（即设未知量），并用数学符号语言将数量关系转化为方程.设0.6元的邮票需x张，0.8元的邮票需y张，用字母和运算符号将其转化为方程：

　0.6x+0.8y=3.8.

　第五步是解方程，求得未知量.由于两种邮票的数目都必须是自然数，此二元一次方程可以用列表尝试的方法求解.方程的解是

　第六步是检验结果是否正确合理.方程的两个解中两种邮票的数目均为正整数，将两解代入方程后均成立，所以结果是正确合理的.

　第七步是答，需要1张6角的邮票和4张8角的的邮票，或需要5张6角的邮票和1张8角的的邮票.

【例2】小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片１２０张.商店里有两种型号的胶卷：

　Ａ型每卷３６张底片，Ｂ型每卷１２张底片.小聪一共买了４卷胶卷，刚好有１２０张底片.求两种胶卷的数量.

【思考与解】第一步：

　找数量关系.Ａ型胶卷数＋Ｂ型胶卷数＝胶卷总数，Ａ型胶卷的底片总数＋Ｂ型胶卷的底片总数＝底片总数.Ａ型胶卷的底片总数=每卷Ａ型胶卷所含底片数×Ａ型胶卷数，Ｂ型胶卷的底片总数＝每卷Ｂ型胶卷所含底片数×Ｂ型胶卷数.

　第二步：

　找出最主要的数量关系，构建等式.Ａ型胶卷数＋Ｂ型胶卷数＝胶卷总数，Ａ型胶卷的底片总数＋Ｂ型胶卷的底片总数＝底片总数.

　第三步：

　找出未知量和已知量.已知量是：

　胶卷总数，度片总数，每卷Ａ型胶卷所含底片数，每卷Ｂ型胶卷所含底片数；未知量是：

　Ａ型胶卷数，Ｂ型胶卷数.

　第四步：

　设元，列方程组.设Ａ型胶卷数为x，Ｂ型胶卷数为y，根据题中数量关系可列出方程组：

　第五步：

答：

Ａ型胶卷数为3，Ｂ型胶卷数为1.

【小结】我们在解这类题时，一般就写出设元、列方程组并解出未知量和答这几步，如有必要可以加上验证这一步.其他步骤可以省略.

　【例３】　用加减法解方程组

　【思考与分析】　经观察，我们发现两个方程中y的系数互为相反数，故将两方程相加，消去y.

　解：

　①＋②，得　４x=8.

　解得　x=2.

　把x=2代入①，得　2+2y=3.

　解得　y=.

　所以，原方程组的解为：

　【思考与分析】　经观察，我们发现x的系数成倍数关系，故先将方程①×2再与方程②作差消去x较好.

　解：

　①×２，得　4x-6y=16.  ③

　②－③，得　11y=-22.

　解得　　y=-2.

　把y=-2代入①，得　２x-3×（-2）＝８.解得x=1.

　所以原方程组的解为

　【思考与分析】如果用代入法解这个方程组，就要从方程组中选一个系数比较简单的方程进行变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，然后代入另一个方程.本题中，方程②的系数比较简单，应该将方程②进行变形.

　如果用加减法解这个方程组，应从计算简便的角度出发，选择应该消去的未知数.通过观察发现，消去x比较简单.只要将方程②两边乘以2，然后将两方程相减即可消去x.　

　解法1：

由②得x=8-2y.③

　把③代入①得

　2（8-2y）+5y=21，解得y=5.

　把y=5代入③得x=-2.

　所以原方程组的解为：

　解法2：

②×2得2x+4y=16.③

　①-③得2x+5y-（2x+4y）=21-16，解得y=5.

　把y=5代入②得x=-2.

　所以原方程组的解为

　【小结】我们解二元一次方程组时，用到的都是消元的思想，用代入法还是加减法解题，原则上要以计算简便为依据.　

【例6】　用代入法解方程组

　【思考与分析】　经观察，我们发现方程①为用y表示x的形式，故将①代入②，消去x.

　解：

　把①代入②，得　３（y+3）-8y=14.

　解得　y=-1.

　把y=-1代入①，得x=2.

　所以原方程组的解为

　【例7】　用代入法解方程组

　【思考与分析】　经观察比较，我们发现方程①更易于变为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，故选择①变形，消去y.

　解：

　由①，得　y=2x-5.   ③

　把③代入②，得３x+4（2x-5）=2.解得　x=2.

　把x=2代入③，得　y=-1.

　所以原方程组的解为：

【例8】甲、乙两厂，上月原计划共生产机床90台，结果甲厂完成了计划的112％，乙厂完成了计划的110％，两厂共生产机床100台，求上月两厂各超额生产了多少台机床？

　【思考与分析】我们可以采用两种方法设未知数，即直接设法和间接设法.直接设法就是题目要求什么就设什么为未知数，本题中就是设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台；而间接设法就是问什么并不设什么，而是采用先设出一个中间未知数，求出这个中间未知数，再利用它同题中要求未知数的联系，解出所要　求的未知数，题中我们可设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台.

　解法一：

直接设法.

　设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台，则共超额了100－90＝10（台），而甲厂计划生产的台数是台，乙厂计划生产的台数是台.

　根据题意，得

　答：

上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台.

　解法二：

间接设法.

　设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台.

　根据题意，得

　所以x×（112％－1）＝50×12％＝6，

　y×（110％-1）＝40×10％＝4.

　答：

上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台.

【例9】某学校组织学生到100千米以外的夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行.先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家下午5点同时到达，问需何时出发.

　【思考与分析】我们从行程问题的3个基本量去寻找，可以发现，速度已明确给出，只能从路程和时间两个量中找出等量关系，有题意知，先坐车的一半人，后坐车的一半的人，车三者所用时间相同，所以根据时间来列方程组.如图所示是路程示意图，正确使用示意图有助于分析问题，寻找等量关系.

　解：

设先坐车的一半人下车点距起点x千米，这个下车点与后坐车的一半人的上车点相距y千米，根据题意得

　化简得

　从起点到终点所用的时间为

　所以出发时间为：

17－10＝7.即早晨7点出发.

　答：

要使学生下午5点到达，必须早晨7点出发.

　【例10】小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？

（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）

　【思考与分析】设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：

　解：

设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则

 　答：

存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.

　【反思】我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.

第五节、竞赛数学

【例1】　已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.

【思考与分析】　本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.

　（１）　由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.

　（２）　把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值.

　（３）　将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.

　把代入①，得，解得　k=-4.

　解法二：

　①×3－②×２，得　17y=k-22，

　解法三：

　①+②，得　5x-y=2k+11.

　又由5x-y=3，得　2k+11=3，解得　k=-4.

【小结】　解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.

【例2】　某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品.若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？

哪种付款方式付出的张数最少？

　【思考与分析】　本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解.我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式.然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解.

最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少.

　解：

　设付出２元钱的张数为x，付出５元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数.依题意可得方程：

　2x+5y=33.

　因为5y个位上的数只可能是０或５，

　所以2x个位上数应为３或８.

　又因为２x是偶数，所以２x个位上的数是８，从而此方程的解为：

　由得x+y=12；由得x+y=15.所以第一种付款方式付出的张数最少.

　答：

　付款方式有３种，分别是：

　付出４张２元钱和５张５元钱；付出９张２元钱和３张５元钱；付出１４张２元钱和１张５元钱.　其中第一种付款方式付出的张数最少.

【例3】解方程组

   【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.

   解：

由①，得  y=4－mx，             ③

   把③代入②，得 2x+5（4－mx）=8，

   解得 （2－5m）x=-12，当2－5m＝0，

   即m＝时，方程无解，则原方程组无解.

   当2－5m≠0，即m≠时，方程解为

　将代入③，得

　故当m≠时，

　原方程组的解为

　【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况．

　对于x、y的方程组中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数，且a1与b1、a2与b2都至少有一个不等于零，则

　①时，原方程组有惟一解；

　②时，原方程组有无穷多组解；

　③时，原方程组无解.

【例4】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：

当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生.

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：

建造的这4道门是否符合安全规定？

请说明理由.

　【思考与解】

（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生.

　　根据题意，得

　所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以通过学生80人.

（2）这栋楼最多有学生4×8×45=1440（人）.拥挤时5分钟4道门能通过

　5×2×（120+80）×（1-20%）=1600（人）.

　因为1600>1440，所以建造的4道门符合安全规定.

　答:

平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这4道门符合安全规定.

【例5】某水果批发市场香蕉的价格如下表：

　张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？

　【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数.

　解：

设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克．由题意，得0

　①当0

　②当040时，由题意，得（与0

　③当20

综合①②③可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克.

　答：

张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克.

　【反思】我们在做这道题的时候，一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意.

【例6】用如图１中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图２的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有１０００张正方形纸板和２000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？

　【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000，长方形纸板的总数2０００，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数.而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成，如果我们知道这两种纸盒分别要用多少