人教版九年级数学上第24章《圆》导学案.doc
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新目标人教版九年级上册第24章《圆》导学案编制李应军
24.1.1 圆的有关概念导学案
学习目标:
了解圆的有关概念,并灵活运用圆的概念解决一些实际问题。
重点:
与圆有关的概念难点:
圆的概念的理解
自主学习:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点所形成的______叫做圆.固定的端点O叫做______,线段OA叫做_______.以点O为圆心的圆,记作“______”,读作“______”.
确定圆有两个要素:
一是________,二是__________;
____________确定圆的位置,__________确定圆的大小
圆的定义:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转,另一个端点所形成的图形叫做.固定的端点O叫做,线段OA叫做.以点O为圆心的圆,记作“”,读作“”决定圆的位置,决定圆的大小。
_
B
_
A
_
C
_
O
圆的定义:
到的距离等于的点的集合.
如图所示,________是直径,________是弦_________是劣弧,_______________是优弧.
展示反馈:
1、如何在操场上画出一个半径是5m的圆?
请说出你的方法。
2、下列说法正确的是
①直径是弦②弦是直径③半径是弦④半圆是弧,但弧不一定是半圆
⑤半径相等的两个半圆是等弧⑥长度相等的两条弧是等弧⑦等弧的长度相等
3、已知:
如图,四边形是矩形,对角线、交于点.
求证:
点、、、在以为圆心的圆上.
知识归纳:
1、圆心决定圆的________,而半径决定圆的________
2、直径是圆中经过________的特殊的弦,是最________的弦,并且等于半径的2倍,但弦不一定是________直径,过圆上一点和圆心的直径有且只有一条
3、半圆是特殊的弧,而弧不一定是________。
4、“同圆”指的是同一个圆,“等圆”指的是两个圆的位置、大小关系。
判定两个圆是否是等圆,常用的方法是看其半径是否________,半径相等的两个圆是等圆。
5、“等弧”是能够________的两条弧,而长度相等的两条弧不一定是________。
24.1.2 垂直于弦的直径导学案
(1)
学习目标:
理解圆的轴对称性,掌握垂径定理及其他结论。
重 点:
垂径定理及其推论和运用。
复习与提问
⒈叙述:
请同学叙述圆的集合定义?
⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________,圆上两点间的部分叫做_____________,
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做______________。
②刚才的实验说明圆是____________,对称轴是经过圆心的每
一条_________。
垂径定理垂直于的直径平分弦,并且平分弦所对的两条.
表达式:
∵
∴
下面我们用逻辑思维给它证明一下:
已知:
直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M求证:
AM=BM,弧AC=BC,弧AD=BD.
证明:
如图,连结OA、OB,则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中
∴Rt△OAM≌Rt△OBM()∴AM=
∴点和点关于CD对称
∵⊙O关于CD对称∴当圆沿着直线CD对折时,点A与点B重合,弧AC与弧BC重合,弧AD与弧CD重合.
∴,,
推论:
平分弦()的直径垂直于弦,并且
符号语言:
∵
∴
归纳总结:
1.圆是图形,任何一条所在直线都是它的对称轴.
2.垂径定理推论。
巩固运用1、辨析题:
下列各图,能否得到AE=BE的结论?
为什么?
C
O
O
O
E
E
B
O
A
A
B
E
B
A
D
D
A
E
B
D
O
A
B
3、已知:
在圆O中,⑴弦AB=8,O到AB的距离等于3,求圆O的半径。
⑵若OA=10,OE=6,求弦AB的长。
24.1.2 垂直于弦的直径导学案
(2)
学习目标:
掌握垂径定理及其推论,学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算
一、自主学习
1.圆是图形,任何一条所在直线都是它的对称轴.
2.垂径定理推论.
3.对于一个圆和一条直线来说,如果一条直线具备①经过圆心,②垂直于弦,③平分弦(不是直径),④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧,五个条件中的任何两个,那么也就具备了其他三个。
二、合作学习
1、⊙O的半径是5,P是圆内一点,且OP=3,过点P最短弦、最长弦的长为.
2、已知AB为⊙O的直径,且AB⊥CD,垂足为M,CD=8,AM=2,则OM=.
3、⊙O的半径为5,弦AB的长为6,则AB的弦心距长为.
4、已知一段弧AB,请作出弧AB所在圆的圆心。
5、问题1:
如图1,AB是两个以O为圆心的同心圆中大圆的直径,AB交小圆交于C、D两点,求证:
AC=BD
问题2:
把圆中直径AB向下平移,变成非直径的弦AB,如图2,是否仍有AC=BD呢?
问题3:
在圆2中连结OC,OD,将小圆隐去,得图4,设OC=OD,求证:
AC=BD
问题4:
在图2中,连结OA、OB,将大圆隐去,得图5,设AO=BO,求证:
AC=BD
24.1.3 弧、弦、圆心角的关系导学案
学习目标:
掌握圆心角的概念以及弧、弦、圆心角之间的相等关系,并能运用这些关系解决有关的证明、计算。
【重点】弧、弦、圆心角之间的相等关系 【难点】定理的证明
学习过程:
自主学习
(一)复习巩固
(1)圆是轴图形,任何一条所在直线都是它的对称轴.
(2)垂径定理推论.
(二)合作探究1、如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做.
注:
同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也。
应用巩固1、如图,AB,CD是⊙O的两条弦。
⌒
⌒
(1)如果AB=CD,那么,
(2)如果AB=CD,那么,(3)如果∠AOB=∠COD,那么,
(4)如果AB=CD,OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F,OE与OF相等吗?
为什么?
⌒
⌒
2、如图,在⊙O中AB=AC∠ACB=60°,
求证:
∠AOB=∠BOC=∠AOC
⌒
⌒
⌒
3、如图,AB是⊙O的直径,BC=CD=DE,∠COD=35°,求∠AOE的度数。
关于圆心角、弧、弦之间的关系:
同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也。
24.1.4 圆周角导学案
(1)
学习目标:
1.了解圆周角的概念.理解圆周角的定理.理解圆周角定理的推论.
2.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.
重点:
圆周角的定理、圆周角定理的推导及运用它们解题.难点:
证明圆周角的定理.
合作探究归纳得出结论,顶点在_______,并且两边_______________________的角叫做圆周角。
强调条件:
①_____________________,②_________________________。
如图,AB为⊙O的直径,∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角,求出图(1)、(2)、(3)中∠BAC的度数.
通过计算发现:
∠BAC=__∠BOC
即,
通过上述讨论发现:
______________________即圆周角的定理。
定理的推理1:
(1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的相等,都等于这条弧所对的.表达式:
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定.
表达式:
尝试练习1、如图,点A、B、C、D在⊙O上,点A与点D在点B、C所在直线的同侧,∠BAC=350
∠BDC=_______°,理由是_________________.
∠BOC=_______°,理由是_______________.
2、如图,点A、B、C在⊙O上,
若∠BAC=60°,求∠BOC=______°;
若∠AOB=90°,
求∠ACB=______°.
3、如图,点A、B、C、D在⊙O上,∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC的形状,并说明理由.
四、学习小结
圆周角的性质:
①一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的。
②在同一个圆中,同弧或等弧所对的圆周角,都等于这条弧所对的圆心角的;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。
24.1.4 圆周角导学案
(2)
学习目标1.掌握直径(或半圆)所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径。
2.经历圆周角性质的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力.
3.激发学生探索新知的兴趣,培养刻苦学习的精神,进一步体会数学源于生活并用于生活.
学习重点:
圆周角的性质 学习难点:
圆周角性质的应用
一、预习导学 如图,点A、B、C、D在⊙O上,若∠BAC=40°,则
∠BOC=°,理由是;
二、自主学习
归纳自己总结的结论:
(1)
(2)
注意:
(1)这里所对的角、90°的角必须是圆周角;
(2)直径所对的圆周角是直角,在圆的有关问题中经常遇到,同学们要高度重视.
1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交于点E,∠ACD=60°,
∠ADC=50°,求∠CEB的度数.
2.如图,A、B、E、C四点都在⊙O上,AD是△ABC的高,
∠CAD=∠EAB,AE是⊙O的直径吗?
为什么?
三、学习总结
1.两条性质:
2.直径所对的圆周角是直角是圆中常见辅助线.
四、合作学习
1、如图,AB是⊙O的直径,∠A=10°,则∠ABC=________.
2、如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.
3、如图,AB是⊙O的直径,D是⊙O上的任意一点(不与点A、B重合),延长BD到点C,使DC=BD,
判断△ABC的形状:
__________。
4、利用三角尺可以画出圆的直径,为什么?
你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗?
24.1.4 圆周角导学案(3)
学习目标
1、了解圆内接四边形的概念。
2、理解圆内接四边形的性质,并会运用其性质分析解决有关问题。
重点:
圆内接四边形的性质和其应用。
难点:
圆内接四边形的性质探究。
学习过程:
一、复习旧知
1、在在同圆或等圆中,同弧或等弧所对圆周角。
反过来,相等的圆周角所对的弧,同弧或等弧所对圆周角是其所对的圆心角的。
2.半圆或直径所对的圆周角都是°,90°的圆周角所对的弦是圆是。
二、合作探究
1.自主学习:
2.合作学习
如图,四边形的四个顶点都在⊙O上.
⑴如图1,猜想四边形的对角的关系,并说明理由.
⑵如图2,⑴中的结论是否成立?
并说明理由.
3.归纳总结
圆内接四边形的性质:
。
3、新知应用(师生合作)
求证:
圆内接平行四边形是矩形
(画图、写出已知、求证)
4、探究教材p87页例4
三、巩固练习
教材P88练习2、3题(教师指导,学生解决)
24.2.1点和圆的位置关系导学案
【学习目标】1.通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索,了解不在同一直线上的三个点确定一个圆,掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法,了解三角形的外接圆、三角形的外心,圆的内接三角形的概念。
2.了解反证法,进一步体会解决数学问题的策略.
【学习重点】定理:
不在同一直线上的三个点确定一个圆. 【学习难点】反证法
一、探究学习(师生合作)
1.点与圆的位置关系:
点、、到圆心的距离为,半径为
⑴⑵⑶
2.经过不同的点作圆
(1)作经过已知点A的圆,这样的圆你能作出多少个?
(2)做经过已知点A,B的圆,这样的圆有多少个?
它们的圆心分布有什么特点?
(3)作经过A,B,C,三点的圆,这样的圆有多少个?
如何确定它的圆心?
(教师指导点拨)
总结:
由以上作圆可知过已知点作圆实质是确定圆心和半径,因此过一点的圆有个;过两点的圆有个,圆心在上;过不在同一条直线上的三点作个圆,圆心是,半径是.
三角形的外接圆:
过三角形ABC三顶点作一个圆。
____________________外心.
结论:
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
探究三:
反证法(教师讲解)
1.经过同一条直线的三个点能作出一个圆吗?
如何证明你的结论?
2.用反证法证明几何命题的一般步骤是:
首先假设不成立,然后进行,得出与所设相矛盾,或与已知矛盾,或与学过的定义、定理、公理等相矛盾。
最后得出结论,成立。
二、合作学习
1.下列说法正确的是()
A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B.过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C.过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点
2、.下列说法错误的是()
A.过直线上两点和直线外一点,可以确定一个圆
B.任意一个圆都有无数个内接三角形
C.任意一个三角形都有无数个外接圆
D.同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上
24.2.2直线和圆的位置关系导学案
(1)
学习目标:
1、了解直线和圆的三种位置关系。
2、运用圆心到直线距离的数量关系(直线和圆交点个数)来确定直线与圆的三种位置关系的方法。
3、了解切线,割线的概念。
学习重点:
⑴直线与圆的三种位置关系;⑵会正确判断直线和圆的位置关系。
学习难点:
会正确判断直线和圆的位置关系
一、自主学习
1、在△ABC中,∠C=900,BC=4cm,AC=3cm,求点C到边AB的距离
2、如果设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,
请你用d与r之间的数量关系表示点P与⊙O的位置关系。
(1)。
(2)。
(3)。
二、合作探究
直线与圆有_种位置关系:
(1)直线与圆有两个公共点时,叫做。
这条直线叫做圆的
(2)直线与圆有惟一公共点时,叫做___,这条直线叫做这个公共点叫做_;
(3)直线和圆没有公共点时,叫做________________。
三、交流展示精讲释疑
下图是直线与圆的三种位置关系,若⊙O半径为r,O到直线l的距离为d,
则直线与圆的位置关系和d与r的数量关系:
①直线与圆dr,
②直线与圆dr,
③直线与圆dr。
三、课堂检测
1、已知圆O的直径是10厘米,点O到直线L的距离为d.
(1)若L与圆O相切,则d=_________厘米(2)若d=4厘米,则L与圆O的位置关系是__________
(3)若d=6厘米,则L与圆O有___________个公共点.
2、直角三角形ABC中,∠C=900,AB=10,AC=6,以C为圆心作圆C,与AB相切,则圆C的半径为( )
(A)8 (B)4 (C)9.6(D)4.8
3、在直角三角形ABC中,角C=900,AC=6厘米,BC=8厘米,以C为圆心,为r半径作圆,
(1)r=2厘米 ,圆C与AB位置关系是(2)r=4.8厘米 ,圆C与AB位置关系是
(3)r=5厘米 ,圆C与AB位置关系是
4、直线与圆有___种位置关系,分别是、、。
5、若⊙O半径为r,O到直线l的距离为d,则d与r的数量关系和直线与圆的位置关系:
①直线与圆dr,②直线与圆dr,
③直线与圆dr。
6、直线与圆相切的判定依据有:
(1)
(2)
24.2.2直线和圆的位置关系导学案
(2)
学习目标:
1、掌握切线的性质定理和判定定理2、会过圆上一点画圆的切线
3、经历切线的判定定理及性质定理的探究过程,养成能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯
【重点】切线的性质定理和判定定理及其应用【难点】切线的性质定理和判定定理
一、复习巩固
1、直线和圆的位置关系有哪些?
它们所对应的数量关系又是怎样的?
2、判断直线和圆的位置关系有哪些方法?
特别地,判断直线与圆相切有哪些方法?
二、合作探究
探究1:
如下图,⊙O中,直线l经过半径OA的外端,且直线l⊥OA,
你能判断直线l与⊙O的位置关系吗?
你能说明理由吗?
总结切线判定定理:
思考:
如何作一个圆的切线:
例题1:
如图,直线经过⊙上的点,且,.
求证:
直线是⊙的切线.
题后总结:
要证明一条直线是圆的切线时:
①如果直线经过圆上某一点,则需要连接和得到辅助线半径,再证明所作半径垂直于这条直线。
总结为:
已知公共点,连半径证垂直;
探究2:
把探究1的问题反过来,即如果直线l是⊙的切线,切点是A,那么半径OA
与直线l是不是一定垂直呢?
你能说明理由吗?
由此得切线的性质定理:
切线的性质定理:
如图,AB是⊙O的直径,MN切⊙O于点C,且∠BCM=38°,求∠ABC的度数。
总结:
已知直线是圆的切线时,通常需要连接和,得半径垂