与旋转有关的最值.docx

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难点突破专题与旋转有关的最值与路径

一、构造全等，结合三边关系求最值

1.如图，等腰之间△ABC中，AC=BC=,等腰直角△CDP中，CD=CP且PB=，将△CDP绕点C旋转（C、P、D三点按顺时针方向排列）

（1）当∠PBC=时，BD有最小值，最小值为多少？

（2）当角PBC=时，BD有最大值。

最大值为多少？

解：

连接AD.

∵△CDP、△ACB都是等腰直角三角形，

∴CD=CP，AC=BC，∠PCD=∠BCA=90°.

∵∠PCD=∠BCP+∠BCD=90°，∠BCA=∠BCD+∠DCA=90°，

∴∠BCP=∠DCA.

∵∠BCP=∠ACD，BC=AC，CP=CD，

∴△CPB≌△CDA（SAS），

∴PB=AD=.

∵AB-AD≤BD≤AB+AD，

∴-2≤BD≤+2.

（1）当∠PBC=45°时，A、D、B共线，BD有最小值-2；

（2）当∠PBC=135°时，A、D、B共线，BD有最大值+2.

二、遇等边三角形，旋转求最值

2.如图，△ABC中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。

解：

如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，

∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C

∴△A′BA是等边三角形，

∴A′A=AB=BA′=2，

在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，

则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：

6；

故答案是：

6

三、遇等边三角形，旋转求最值

3.如图，△ABC中，AB=，AC=3，以C为直角顶点，BC为直角边，向下作等腰直角△BCD，求AD的最大值。

解：

将△ACD绕点C顺时针旋转90°得△A′CB，

连结AA′，则△AA′C为等腰直角三角形，

∴AA′=，AC=3，AD=A′B.

∵A′B＜AB+AA′，

∴当点B、A、A′三点共线时，A′B最大，此时A′B=A′B+AA′=+3=4,

∴AD的最大值为4

四、遇中点，构造中位线求最值

4.如图，在等腰直角△ABC中，AB=AC=3，在等腰直角△BEF中，BE=EF=1,O为CF的中点。

当△BEF绕点B旋转时，AO的最大值为。

五、运动路径为线段长

5.在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A（0，4）逆时针旋转到点B（m，1）若，则点C的运动路径长为。

解：

如图1所示，在y轴上取点P（0，1），过P作直线l∥x轴，

∵B（m，1），∴B在直线l上，

∵C为旋转中心，旋转角为90°，

∴BC=AC，∠ACB=90°，

∵∠APB=90°，∴∠1=∠2，

作CM⊥OA于M，作CN⊥l于N，则Rt△BCN≌Rt△ACM，

∴CN=CM，

若连接CP，则点C在∠BPO的平分线上，

∴动点C在直线CP上运动；

如图2所示，∵B（m，1）且-5≤m≤5，

∴分两种情况讨论C的路径端点坐标，

①当m=-5时，B（-5，1），PB=5，

作CM⊥y轴于M，作CN⊥l于N，

同理可得△BCN≌△ACM，

∴CM=CN，BN=AM，

可设PN=PM=CN=CM=a，

∵P（0，1），A（0，4），

∴AP=3，AM=BN=3+a，

∴PB=a+3+a=5，

∴a=1，

∴C（-1，0）；

②当m=5时，B（5，1），如图2中的B1，此时的动点C是图2中的C1，

同理可得C1（4，5），

∴C的运动路径长就是CC1的长，

由勾股定理可得，CC1==

．

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