新人教版八年级数学下册第16章二次根式教案.doc
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《二次根式》第1课时
课题
二次根式的概念
学习目标
1．知识与技能：
理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体问题．
2．过程与方法：
提出问题探讨、分析归纳得出概念，再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．
3．情感、态度与价值观：
经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
学习重点
形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；的意义。
学习难点
利用“（a≥0）、”解决具体问题．
学情分析
能初步理解平方根的意义；具有平方根的初步计算的方法和能力。
学习准备
基本的学习用具、练习本等
师生互助学习过程与方法
活动内容
教师活动
学生活动
备注
知识回顾
1、什么是一个数的平方根？
如何求一个数的平平方根？
2、正数的平方根有个，它们的关系是，表示为；
零的平方根有个它是；负数平方根。
3、什么是一个数的算术平方根？
的意义是什么？
回忆作答
探索归纳
1、由算术平方根的意义：
（1）a是一个什么数？
（2）是什么数？
⑶由
（1）
（2）你发现了什么？
即a是什么数？
是什么数？
2、归纳得出：
①a≥0；②≥0。
③形如（a≥0）的式子叫做二次根式。
从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：
⑴必须有二次根号；⑵被开方数不能小于0。
探索归纳出结论
分析应用
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、、、（x>0）、、、-、、．
例2、下列式子一定是二次根式的是（）：
A.;B.;C；D..
例3、（课本例1）例3、
（1）已知y=++5，求的值．
引导：
应用二次根式的意义求解。
（2）若+=0，求a2010+b2010的值．
根据定义作出判断
备注
活动内容
教师活动
学生活动
备注
课堂练习
1、下列式子中，是二次根式的是（）
A．－；B．；C．D．x
2．面积为a的正方形的边长为____．
3．负数平方根．
4．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
5．若+有意义，则=______．
6、若与互为相反数，求a2010+b2010的值．
7.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．
1-3题口答
4-5题解答
小结
1、本节课有何收获？
2、本节课要掌握：
①形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：
（1）必须有二次根号；
（2）被开方数不能小于0。
②要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
理解记忆；
谈收获或疑惑。
作业
习题1
（1）
（2）
板书设计
课题：
二次根式
1、形如（a≥0）的式子例1．……例2．……例3．……
做二次根式。
“”称为二次根号．（解答过程）（解答过程）
2、a≥0；≥0，是一个非负数练习4练习5
教学反思
《二次根式》第2课时
课题
二次根式的性质1
学习目标
1.知识与技能：
理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算化简．
2．过程与方法：
通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
3．情感、态度与价值观：
经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、分析、发现问题的能力。
学习重点
（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．
学习难点
用分类思想导出（a≥0）是一个非负数；用探究的类比的方法导出（）2=a（a≥0）．
学情分析
能初步理解平方根的意义；具有平方根的初步计算的方法和能力。
学习准备
基本的学习用具、练习本等
师生互助学习过程与方法
活动内容
教师活动
学生活动
备注
知识回顾
1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，叫什么？
当a<0时，有意义吗？
知识回顾
探索归纳
1.议一议：
（a≥0）是一个什么数呢？
归纳得出：
（a≥0）是一个非负数．
2、做一做：
根据算术平方根的意义填空：
（）2=__；（）2=___；（）2=_；（）2=_；（）2=___；（）2=___；（）2=___．
归纳得出：
）2=a（a≥0）.
1.归纳得出：
1
2、归纳得出：
2
分析应用
例1计算1．（）2；2．（3）2；3．（）2
例2计算：
①（）2（x≥0）；②（）2；
③（）2；④（）2
例3在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3；
（2）x4-4；（3）2x2-3
直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题
活动内容
教师活动
学生活动
备注
课堂练习
1.若：
①有意义，则x的取值范围是；
②+有意义，则a的取值范围是；
③（）2=x–1,则x的取值范围是；
2、计算下列各式的值：
（）2；（）2；（）2；（）2；（4）2；．
3．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5；
（2）3.4；（3）；（4）x（x≥0）
4.已知：
+∣b－1∣=0,求（a+b）2011的值。
直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题
小结
1、本节课有何收获？
2、本节课要掌握：
二次根式的两个性质、
①（a≥0）是一个非负数；
②（）2=a（a≥0）;反之:
a=（）2（a≥0）．
理解记忆；
谈收获或疑惑。
作业
教材复习巩固2．
（1）、
（2）P97．
板书设计
课题：
二次根式1性质
1、（a≥0）是一个非负数．例1．……例2．……
2、）2=a（a≥0）.练习2练习3练习4
3、公式逆用：
a=（）2（a≥0）．
教学反思
《二次根式》第3课时
课题
二次根式的性质2
学习目标
1．知识与技能：
理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
2．过程与方法：
通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．
3．情感、态度与价值观：
经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
学习重点
＝a（a≥0）．＝—a（a≤0）．
学习难点
探究结论＝∣a∣；关键：
弄清a≥0时，＝a才成立．
学情分析
能初步理解平方根的意义及二次根式的性质；具有平方根的初步计算的方法和能力。
学习准备
基本的学习用具、练习本等
师生互助学习过程与方法
活动内容
教师活动
教师活动
备注
知识回顾
1什么叫做二次根式？
2．你知道二次根式的那些性质？
（a≥0）是一个非负数；
探索归纳
1、由（）2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？
下面我们就来探究这个问题，填空：
=_______；=_______；=______；
=________；=________；=_______．
2、老师点评（根据算术平方根的意义，我们可以得到）：
=2；=0.01；=；=；=0；=．3、归纳得出：
一般地：
=a（a≥0）
1、尝试作答
2、探索思考
分析应用
例1、化简：
（1）；
（2）；（3）；（4）；
例2、、①-=__②的值是．
例3填空：
当a≥0时，=___；当a<0时，
直接利用=a的结论解题
活动内容
教师活动
学生活动
备注
=_______，并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a可以是什么数？
（3）>a，则a可以是什么数？
（1）分析；
（2）板演
例4当x>2，化简-
用=a去化简．
听讲理解
课堂练习
1、教材P7练习2．
2、当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
3、当时，，当时，
4.例5.化简 （）．
根据性质作答
小结
1、本节课有何收获？
2、本节课要掌握：
二次根式的两个性质
①（a≥0）是一个非负数；
②（）2=a（a≥0）;反之:
a=（）2（a≥0）．
理解记忆；
谈收获或疑惑。
作业
习题1
（1）
（2）
板书设计
课题：
二次根式1性质
二次根式1性质
1、（a≥0）是一个非负数．例1、2．……例3．……例4．……
2、）2=a（a≥0）.
3.＝∣a∣；公式逆用：
a=（）2（a≥0）．练习2练习3
教学反思
《二次根式》第4课时
课题
二次根式的乘法
学习目标
1．知识与技能：
理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
2．过程与方法：
由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．
3．情感、态度与价值观：
经过探索二次根式的乘法法则，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
学习重点
·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．
学习难点
发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）
学情分析
能初步理解平方根的意义及二次根式的性质；具有平方根的初步计算的方法和能力。
学习准备
基本的学习用具、练习本等
师生互助学习过程与方法
活动内容
教师活动
学生活动
备注
知识回顾
1．填空：
①×=_，=__；②×=__；=__；③×=__，=___．
2.参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×___，×___，×_____
3．利用计算器计算填空：
（1）×___，
（2）×___，⑶×___，⑷×___⑸×___．
用=a计算．
（小黑板出示）
探索归纳
1、上面1、2的计算有上面规律？
后老师点评：
（1）被开方数都是正数；
（2）两个二次根式的相乘等于一个二次根式并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．
2、归纳得出：
·＝（a≥0，b≥0）
反过来:
=·
1.上台总结规律．
2、讨论分析、归纳结论
活动内容
教师活动
学生活动
备注
分析应用
例1.计算×；×；×；×；
例2化简：
；；⑶⑷；⑸
直接利用=a的结论解题
课堂练习
1.计算①×②3×2③·
2.化简:
;;;;
3.计算___；＝_______．
直接利用上面的结论
应用拓展
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
⑴；⑵×=4××=4×=4=8。
运直接利用上面的结论
课堂练习
2、教材P7练习2．
2、当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
3、当时，，当时，
4.例5.化简 （）．
根据性质作答
小结
1、本节课有何收获？
2、本节课要掌握：
（1）·＝（a≥0，b≥0），
（2）=·（a≥0，b≥0）及其运用．
谈收获或疑惑。
作业
课本P151，4，5，6．
（1）
（2）．
独立完成
板书设计
课题：
二次根式的乘法
二次根式1性质1、·＝（a≥0，b≥0），例1、……例2．……例3．……
2、=·练习1练习2
教学反思
《二次根式》第5课时
课题
二次根式的除法
学习目标
1．知识与技能：
理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
2．过程与方法：
利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
3．情感、态度与价值观：
经过探索二次根式的除法法则，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
学习重点
理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简
学习难点
发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
学情分析
具有二次根式乘法的初步计算的方法和能力。
学习准备
基本的学习用具、练习本等
师生互助学习过程与方法
活动内容
教师活动
学生活动
备注
知识回顾
1．填空：
⑴=__，=__；
（2）=__，=___；
（3）=__，=____；（4）=___，=___．
规律：
=；=；=；=．
2．利用上面结果填空①=_②=③=_，④=___．
规律：
；_；__；__
完成各题．每组一名学生上台阐述运算结果．
探索归纳
1、上面1、2的计算有上面规律？
说出规律。
2、归纳得出：
一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0），反过来=
讨论分析、归纳结论
活动内容
教师活动
学生活动
备注
分析应用
例1.计算：
①=____；
（2）____；
例2.
（1）⑵⑶（4）
例2．化简：
（1）；2）（3）；4）例3.计算①②③化简：
利用=
直接利用=
课堂练习
1、式子成立的条件是（）。
Ａ．且；Ｂ．且Ｃ．；Ｄ．2、2、式子成立时，满足的条件为。
3、（教材P14练习1．2；4、化简：
；；；．；。
直接利用上面的结论
应用拓展
例4若且x为偶数，求（1+x）的值
运用非负性
小结
本节课有何收获？
理解记忆；
作业
习题22．22、7、8、9．
独立完成
板书设计
课题：
二次根式的除法
二次根式1性质例1、……例2、……例3．……例4．……
=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及其运用．练习2练习3
教学反思
《二次根式》第6课时
课题
最简二次根式
学习目标
1．知识与技能：
理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
2．过程与方法：
通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．
3．情感、态度与价值观：
经过探索最简二次根式的重要结论，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
学习重点
最简二次根式的运用
学习难点
会判断最简二次根式．
学情分析
能初步理解二次根式的性质；具有二次根式乘除的初步计算的方法和能力。
学习准备
基本的学习用具、练习本等
师生互助学习过程与方法
活动内容
教师活动
学生活动
备注
知识回顾
计算
（1），
（2），（3）
一名学生上台板演．
探索归纳
1、上面计算的结果又何特征？
说出这个特征。
2、归纳得出这些式子有如下两个特点：
1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式
讨论分析、归纳结论
活动内容
教师活动
学生活动
备注
分析应用
例1．①下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
②化简二次根式得．
例2、化简⑴;
（2）;（3）
例3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．
分析尝试解答
课堂练习
教材P14练习2、3
独立完成
小结
1、本节课有何收获？
最简二次根式的概念及其运用．
理解记忆
作业
习题22．22、7、8、9．
独立完成
板书设计
课题：
最简二次根式
最简二次根式定义例1、……例2、例3、……练习1练习2
教学反思
《二次根式》第7课时
课题
二次根式的加减
学习目标
1．知识与技能：
理解同类二次根式的概念；理解和掌握二次根式加减的方法．
2．过程与方法：
先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
3．情感、态度与价值观：
经过探索二次根式加减的方法，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
学习重点
二次根式加减的方法．
学习难点
同类二次根式的概念及二次根式加减的方法．
学情分析
能初步理解平方根的意义及二次根式的性质；具有二次根式乘除的初步计算的方法和能力。
学习准备
基本的学习用具、练习本等
师生互助学习过程与方法
活动内容
教师活动
学生活动
备注
知识回顾
1．计算并说明运算法则
⑴2x+3x；⑵2x2-3x2+5x2；⑶x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3
2、说出各组数的特征：
2、3、5；3、2、7
完成各题、
上台板书。
探索归纳
1、上面2的的特征是上面？
说出的它特征。
归纳得出：
同类二次根式的概念。
2、巩固：
整式加减就是；二次根式加减就是合并根式。
3.试一试计算下列各式：
⑴2+3；⑵3-2+；
⑶2-3+5；⑷+2+3。
讨论分析、归纳结论
类比解答
分析应用
例1、①在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有________．
②在二次根式，，，，中，与是同类根式的个数为（ ）Ａ.1；Ｂ.2；Ｃ.3；Ｄ．4
③下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）Ａ．与；Ｂ．与；Ｃ．与；D．与
分析尝试解答
观察理解记忆步骤
活动内容
教师活动
学生活动
备注
④若最简二次根式与是同类二次根式，求．例2．计算：
（1）+
（2）+
分析：
第一步；第一步；
第二步．第二步．
（3）第一步；
第二步．
例3．计算：
（1）3-9+3；
（2）（+）+（-）
应用拓展
例3．①已知，，求的值
②已知（2x—1）2+（y—3）2=0，
求（+y2）-（x2-5x）的值．
运直接利用上面的结论
课堂练习
教材P19练习1、2．
独立完成
小结
1、本节课有何收获？
2、本节课要掌握：
最简二次根式、同类二次根式的概念及其运用⑴不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；
（2）相同的最简二次根式即同类二次根式进行合并．（3）二次根式的加减法则
理解记忆；
谈收获或疑惑。
作业
习题22．31、2、3、5．2．
独立完成
板书设计
课题：
二次根式的加减
1、整式加减的法则例1、……练习1练习2
2、二同类二次根式概念例2、……
3、二次根式的加减法则例3．……
教学反思
《二次根式》第8课时
课题
二次根式的运算
学习目标
1．知识与技能：
含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用；能将二次根式分母有理化．
2．过程与方法：
通过复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
3．情感、态度与价值观：
经过探索二次根式加减的方法的重要结论，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
学习重点
二次根式的乘除、乘方等运算规律。
学习难点
由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
学情分析
能初步理解平方根的意义及二次根式的性质；具有二次根式乘除的初步计算的方法和能力。
学习准备
基本的学习用具、练习本等
师生互助学习过程与方法
活动内容
教师活动
学生活动
备注
知识回顾
1、填空=______；=________；=______．
2．计算：
（1）（2x+y）·zx
（2）（2x2y+3xy2）÷xy
3．计算：
（1）（2x+3y）（2x-3y）；
（2）（2x+1）2+（2x-1）2
4、思考：
这些内容的法则公式分别是什么？
完成各题。
思考作答
探索应用
1.类比思考：
如果把上面2、3的x、y、z改写成二次根式，以上的运算规律是否仍成立呢？
例1．计算:
⑴（+）×；⑵（4-3）÷2；
例2．计算⑴（+6）（3-）；⑵（+）（-）。
2、计算探索：
（+）（-）=___；
（x-）（x+）=_____；
·=___；（3+2）（3－2）=____；．
（1）以上结果有何特点？
（2）你能说明这个特点吗？
归纳出：
①有理化因式概念（互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有
1直接用整式的运算规律．
2.乘法公式运算中
活动内容
教师活动
学生活动
备注
探索应用
理数，不含有二次根式）；
②分母有理化概念（是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的）。
例3、把下列各式的分母有理化
⑴；⑵；⑶；⑷
课堂练习
1.化简时，甲的解法是：
，
乙的解法是：
，以下判断正确的是（ ）Ａ．甲的解法正确，乙的解法不正确；Ｂ．甲的解法不正确，乙的解法正确；Ｃ．甲、乙的解法都正确；Ｄ．甲、乙的解法都不正确
2、已知，则的值为（ ）Ａ．5；Ｂ．6 ；Ｃ．3；Ｄ．
3、分母有理化：
_________；________4
独立完成
小结
1、本节课有何收获？
2、本节课要掌握：
（1）理化因式概念；
（2）分母有理化概念．
（3）二次根式的各类运算法则
理解记忆；
谈收获或疑惑。
作业
习题22．31、2、3、5．2．
独立完成
板书设计
课题：
二次根式的加减
1、理化因式概念例1、……练习1练习2练习3
2、分母有理化概念例2、……
4、二次根式的各类运算法则
升级会员 