一元二次方程综合培优1(难度大-含参考答案).doc
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一元二次方程提高题
1、已知，则的值是.
2、已知，则.
3、若，且，，则.
4、已知方程没有实数根，则代数式.
5、已知，则y的最大值为.
6、已知，，，则（）
A、B、C、D、
7、已知，，则.
8、已知，则.
9、已知，，则.
10、若方程的二根为，，且，，则（）
A、小于1B、等于1C、大于1D、不能确定
11、已知是方程的一个根，则的值为.
12、若，则（）
A、2011B、2010C、2009D、2008
13、方程的解为.
14、已知，则的最大值是（）
A、14B、15C、16D、18
15、方程恰有3个实根，则（）
A、1B、1.5C、2D、2.5
16、方程的全体实数根之积为（）
A、60B、C、10D、
17、关于x的一元二次方程（a为常数）的两根之比，则（）
A、1B、2C、D、
18、已知是、方程的两个实根，则.
19、若关于x的方程只有一解，求a的值。
中考真题
1、若，则的值为（）
2、已知实数、满足，，且，则的值为（）
A、1B、3C、－3D、10
3、实数x、y满足方程，则y最大值为（）
A、B、C、D、不存在
4、方程的所有整数解的个数是（）
A、2B、3C、4D、5
5、已知关于x的方程的两根分别为和1，则方程的两根为（）
A、和1B、和1C、和D、和
6、实数x、y满足，记，则u的取值范围是（）
A、B、C、D、
7、已知实数m，n满足，，则.
9、已知方程的两实根的平方和等于11，k的取值是（）
A、或1B、C、1D、3
10、设a，b是整数，方程有一个实数根是，则.
13、已知方程的一根小于，另外三根皆大于，求a的取值范围。
14、已知关于x的方程有实数根，且，试问：
y值是否有最大值或最小值，若有，试求出其值，若没有，请说明理由。
15、求所有有理数q，使得方程的所有根都是整数。
一元二次方程培优题及参考答案
1、已知，则的值是（D）
A、2001B、2002C、2003D、2004
答案：
D
解析：
由得：
归纳：
本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。
2、已知，则.
答案：
2002
解析：
由得：
，，
原式
归纳：
本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。
3、若，且，，则.
答案：
解析：
由得：
∵，即∴把a和作为一元二次方程的两根
∴
归纳：
本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。
4、已知方程没有实数根，则代数式.
答案：
2
考点：
根的判别式。
分析：
由方程没有实数根，得，求的a的范围，然后根据此范围化简代数式。
解答：
解：
∵已知方程没有实数根
∴，即，，得
则代数式
归纳：
本题考查了一元二次方程根的判别式。
当时，方程没有实数根。
同时考查了一元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。
5、已知，则y的最大值为.
答案：
考点：
二次函数的最值。
专题：
计算题；换元法．
分析：
此题只需先令，用x表示t，代入求y关于t的二次函数的最值即可。
解答：
令，
则
又，且y关于t的二次函数开口向下，则在处取得最大值
即y最大值为，即
归纳：
本题考查了二次函数的最值，关键是采用换元法，将用t来表示进行解题比较简便。
6、已知，，，则（）
A、B、C、D、
答案：
B
考点：
根的判别式。
专题：
综合题。
分析：
由，，，得到a，b两个负数，再由，，这样可以把a，b看作方程的两根，根据根的判别式得到，解得，然后由得到.
解答：
∵，，∴，，
∴，
∴可以把a，b看作方程
∴，解得∴，即
点评：
本题考查了一元二次方程根的判别式：
如方程有两个实数根，则．也考查了一元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义。
7、已知，，则.
答案：
0
考点：
因式分解的应用；非负数的性质：
偶次方。
分析：
本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口。
由可得；将其代入得：
；此时可发现正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可。
解答：
∵∴
又∵∴，即
∴，∴∴
归纳：
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．
8、已知，则.
答案：
考点：
因式分解的应用。
专题：
整体思想。
分析：
根据已知条件可得到，然后整体代入代数式求值计算即可。
解答：
∵∴
∴原式
点评：
这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。
9、已知，，则.
答案：
0
考点：
拆项、添项、配方、待定系数法。
专题：
计算题．
分析：
先将字母b表示字母a，代入，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到的值。
解答：
∵∴
代入，可得（，即
∴，∴∴
归纳：
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法。
解题关键是将代数式转化为非负数和的形式。
10、若方程的二根为，，且，，则（）
A、小于1B、等于1C、大于1D、不能确定
答案：
A
考点：
根与系数的关系．
专题：
计算题．
分析：
方程的二根为，，根据根与系数的关系及已知条件即可求解。
解答：
∵方程的二根为，∴，
∵，∴
∴∴
∵∴
归纳：
本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握，是方程的两根时，，．
11、已知是方程的一个根，则的值为.
答案：
考点：
因式分解的应用。
专题：
整体思想。
分析：
根据已知条件可得到，即然后整体代入代数式求值计算即可。
解答：
∵是方程的一个根∴，即
∴原式
点评：
这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。
12、若，则（）
A、2011B、2010C、2009D、2008
答案：
B
考点：
因式分解的应用．
专题：
计算题；整体思想．
分析：
将化简为，整体代入变形的式子，计算即可求解．
解答：
∵，即∴
归纳：
本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解。
13、方程的解为.
答案：
考点：
利用方程的同解原理解答。
专题：
计算题。
解答：
两边同时平方得：
整理得：
再平方得：
解得：
归纳：
本题考查将无理方程通过平方的方式转化为有理方程解答。
14、已知，则的最大值是（）
A、14B、15C、16D、18
答案：
B
考点：
完全平方公式。
分析：
由得代入，通过二次函数的最值，求出它的最大值。
解答：
化为，，故
二次函数开口向下，当时表达式取得最大值
由于所以时此时，表达式取得最大值：
15
点评：
本题是中档题，考查曲线与方程的关系，直接利用圆锥曲线解答比较麻烦，利用转化思想使本题的解答比较简洁，注意二次函数闭区间是的最大值的求法。
15、方程恰有3个实根，则（）
A、1B、1.5C、2D、2.5
答案：
C
考点：
解一元二次方程-公式法；绝对值；一元二次方程的解。
专题：
解题方法。
分析：
因为方程中带有绝对值符号，所以讨论方程的根分两种情况：
当时，原方程为；当时，原方程为．
解答：
当时，原方程为：
，化为一般形式为：
用求根公式得：
当时，原方程为：
，化为一般形式为：
用求根公式得：
∵方程的根恰为3个，而当时，方程的3个根分别是，，．
归纳：
本题考查未知数的取值范围，以确定字母系数m的值。
16、方程的全体实数根之积为（）
A、60B、C、10D、
答案：
A
考点：
换元法解分式方程。
专题：
换元法。
分析：
设，原方程化成，再整理成整式方程求解即可。
解答：
设，则∴，解得，
当时，，解得
当时，，解得或
∴
归纳：
本题考查了用换元法解分式方程，解次题的关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想。
17、关于x的一元二次方程（a为常数）的两根之比，则（）
A、1B、2C、D、
答案：
C
考点：
一元二次方程根与系数的关系及求解。
解答：
设的两根分别为，，由根与系数的关系得：
，
∴，∴
归纳：
本题考查了用根与系数的关系解决问题，关键是利用公式巧妙变形。
18、已知是、方程的两个实根，则.
答案：
5
考点：
根与系数的关系；代数式求值；完全平方公式。
专题：
计算题。
分析：
由方程的根的定义，可知，移项，得，两边平方，整理得①；由一元二次方程根与系数的关系，可知②；将①②两式分别代入，即可求出其值。
解答：
∵是方程的根∴
∴∴
又∵、方程的两个实根
∴∴
归纳：
本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系。
难度中等。
关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解。
19、若关于x的方程只有一解，求a的值。
答案：
或
考点：
解分式方程。
分析：
先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出a的值。
解答：
原方程化为①
（1）当时，原方程有一个解，
（2）当时，方程①，总有两个不同的实数根，由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根，故，得．
综上可知当时，原方程有一个解，，时，．
归纳：
本题考查了解分式方程。
注意：
分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方
20、已知二次函数满足且对一切实数恒成立，求的解析式。
考点：
函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质。
专题：
综合题。
分析：
取，由，能够求出的值；由，知，所以，由，对一切实数恒成立，知，即对一切实数恒成立，由此能求出的表达式。
解答：
解：
（1）∵二次函数满足且
∴取，得所以
∴∴
∵，对一切实数恒成立∴对一切实数恒成立
∴∴
∵，∴
∵当且仅当时，等式成立∴
点评：
本题考查二次函数的性质的综合应用，考查函数解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数恒成立条件的灵活运用。
21、已知.
（1）对任意，，当有，求证：
两个不相等的实根且有一根在（，）内。
（2）若在（，）内有一根为m且.若的对称轴为.求证：
.
考点：
一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质；等差数列的性质．
专题：
计算题；转化思想．
分析：
（1）通过计算一元二次方程的判别式大于0，可得方程有两个不相等的实数根；设方程对应的函数为，由，可得方程有一个根属于（，）．
（2）由题意可得，即，由于，故，由证得结论。
解答：
证明：
（1）∵∴
整理得：
∴
∵∴
∵故方程有两个不相等的实数根
令则
又则
故方程有一根在（，）内。
（2）∵方程在（，）内有一根为m∴
∴
∵∴
故
点评：
本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质，体现了转化的数学思想。
一元二次方程成都四中考试真题
1、若，则的值为（）
A、3B、4C、5D、6
答案：
4
考点：
因式分解的应用。
专题：
整体思想。
解答：
∵∴
归纳：
本题关键是将作为整体，然后将进行因式分解变形解答。
2、已知实数、满足，，且，则的值为（）
A、1B、3C、－3D、10
答案：
D
解析：
由得：
，即，
∵，即∴把和作为一元二次方程的两根
∴，，即
∴
归纳：
本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。
3、实数x、y满足方程，则y最大值为（）
A、B、C、D、不存在
答案：
B
考点：
根的判别式。
专题：
计算题；转化思想。
分析：
先把方程变形为关于x的一元二次方程，由于此方程有解，所以，这样得到y的不等式，解此不等式，得到y的取值范围，然后找到最大值。
解答：
把看作为关于x的，并且此方程有解，所以，即
∴，
∴故y的最大值是
点评：
本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式。
当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根。
同时考查了转化思想的运用和一元二次不等式的解。
4、方程的正根的个数为（）
A、3个B、2个C、1个D、0个
答案：
D
考点：
二次函数的图象；反比例函数的图象。
分析：
此题实质是求函数和函数的图象在一、四象限有没有交点，根据两个已知函数的图象的交点情况，直接判断。
解答：
设函数，函数
∵函数的图象在一、三、四象限，开口向下，顶点坐标为（1，1），对称轴
函数的图象在一、三象限；而两函数在第一象限没有交点，交点在第三象限
即方程的正根的个数为0个。
归纳：
此题用函数知识解答比较容易，主要涉及二次函数和反比例函数图象的有关性质，同学们应该熟记且灵活掌握。
5、方程的所有整数解的个数是（）
A、2B、3C、4D、5
答案：
C
考点：
零指数幂。
专题：
分类讨论。
分析：
方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论。
第1种可能：
指数为0，底数不为0；第2种可能：
底数为1；第3种可能：
底数为，指数为偶数。
解答：
（1）当，时，解得；
（2）当时，解得或1；（3）当，为偶数时，解得
因而原方程所有整数解是，，1，共4个。
点评：
本题考查了：
（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1。
本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选B，需特别注意。
6、关于x的方程的两根分别为和1，则方程的两根为（）
A、和1B、和1C、和D、和
答案：
B
考点：
解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．
分析：
因为方程的两个根为和1，所以方程可以方程因式为，用含a的式子表示b和c，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。
解答：
∵的两根为和1∴
整理得：
∴，
把b，c代入方程，得：
∴，
归纳：
本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含a的式子表示b和c，然后把b，c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。
7、实数x、y满足，记，则u的取值范围是（）
A、B、C、D、
答案：
A
考点：
完全平方公式。
专题：
综合题。
分析：
把原式的xy变为，根据完全平方公式特点化简，然后由完全平方式恒大于等于0，得到xy的范围；再把原式中的xy变为，同理得到xy的另一个范围，求出两范围的公共部分，然后利用不等式的基本性质求出的范围，最后利用已知表示出，代入到u中得到，的范围即为u的范围。
解答：
由得：
即，则
由得：
即，则∴
∴不等式两边同时乘以得：
两边同时加上2得：
，即
∵∴∴
则u的取值范围是
点评：
此题考查了完全平方公式，以及不等式的基本性质，解题时技巧性比较强，对已知的式子进行了三次恒等变形，前两次利用拆项法拼凑完全平方式，最后一次变形后整体代入确定出u关于xy的式子，从而求出u的范围。
要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点：
两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍等于两数和或差的平方．
8、已知实数m，n满足，，则.
考点：
一元二次方程根与系数的关系。
分析：
根据题意：
由得：
；由得：
，又因为，即，因此可以把，作为一元二次方程的两根，由根与系数的关系得：
.
解答：
∵，
∴，
∵∴
∴把，作为一元二次方程的两根∴
归纳：
本题考查的是用构造一元二次方程，利用根与系数的关系解答问题，本题的关键是利用已知进行变形是关键所在，不要忽视了这个条件隐含的题意。
9、已知方程的两实根的平方和等于11，k的取值是（）
A、或1B、C、1D、3
答案：
C
考点：
根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式。
分析：
由题意设方程两根为，，得，，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值。
解答：
设方程两根为，
得，，∴
∵∴
∴解得或
∴
归纳：
此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题。
10、设a，b是整数，方程有一个实数根是，则.
答案：
考点：
一元二次方程的解；二次根式的化简求值。
专题：
方程思想。
分析：
一个根代入方程，得到a，b等式，再由a，b是整数，可以求出a，b的值。
解答：
，把代入方程有：
∵a，b是整数∴∴∴
归纳：
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，由a，b是整数就可以求出a，b的值。
11、已知函数，（b，c为常数），这个函数的图象与x轴交于两个不同的两点A（，0）和B（，0）且满足.
（1）求证：
（2）若，试比较与的大小，并加以证明。
考点：
抛物线与x轴的交点。
专题：
证明题；探究型。
分析：
（1）首先利用求根公式求出x的值，再由求解；
（2）已知推出．根据推出答案。
解答：
证明：
（1）∵令中得到
∴
又∴∴∴
（2）由已知∴
∴
∴
∵∴
∵∴
∴∴即
归纳：
综合考查了二次函数的求根公式、用函数的观点看不等式等知识。
12、已知关于x的方程有两个不相等的实数根和，并且抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。
（1）求实数a的取值范围；
（2）当时，求a的值。
考点：
抛物线与x轴的交点；根与系数的关系。
.
分析：
（1）由一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式求出a的取值范围。
设抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（，0）、（，0），且，∴、是的两个不相等的实数根，再利用的根的判别式求a的取值范围，又∵抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，利用根与系数的关系确定；
（2）把代数式变形后，利用根与系数的关系求出a的值。
解答：
解：
（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根
∴
解得：
，且①
设抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（，0）、（，0），且
∴、是的两个不相等的实数根
∵
∴a为任意实数②
由根与系数关系得：
，
∵抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁
∴，∴∴
∴解得：
③
由①、②、③得a的取值范围是
（2）∵和是关于x的方程的两个不相等的实数根
∴，
∵∴∴
不妨设，∴
∴，即
∴解这个方程，得：
，
经检验，，都是方程的根
∵，舍去∴为所求。
归纳：
本题综合性强，考查了一元二次方程中的根与系数的关系和根的判别式的综合利用。
13、已知方程的一根小于，另外三根皆大于，求a的取值范围。
解答：
设的4个根分别为，，，，且，，即；，即
，为方程的两个根
，，解得：
，
（1）若，，，
，解得
不符合题意，舍去。
（2）若，，，
，解得即故a的取值范围为：
14、已知关于x的方程有实数根，且，试问：
y值是否有最大值或最小值，若有，试求出其值，若没有，请说明理由。
考点：
根与系数的关系；根的判别式。
分析：
若一元二次方程有实数根，则根的判别式，由此可求出k的取值范围；依据根与系数的关系，可求出及的表达式；然后将y的表达式化为含两根之和与两根之积的形式，即可得到关于y、k的关系式，联立k的取值范围，即可求得y的最小值。
解答：
∵实数根∴∴
∵，
∴，即
∵∴∴
即y有最小值为2.
归纳：
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，能够正确得出关于y、k的关系式是解答此题的关键。
15、求所有有理数q，使得方程的所有根都是整数。
考点：
一元二次方程的整数根与有理根。
专题：
计算题；分类讨论。
分析：
对和进行讨论。
时，原方程是关于x的一次方程，可解得；时，原方程是关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到①，②，消变形得，利用整数的性质得到或，再由②即可求出q．
解答：
解：
当时，原方程变为：
，解得；
当时，原方程是关于x的
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