浙教版重点高中自主招生数学模拟试题.doc

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2018-2019学年浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞3 B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0

2．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠A的值为（　　）

A． B． C． D．

3．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（　　）

A． B．+1﹣ C．﹣ D．﹣1

4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展平后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，下列结论：

①AE=AG；②tan∠AGE=2；③S△DOG=S四边形EFOG；④四边形ABFG为等腰梯形；⑤BE=2OG，则其中正确的结论个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从左面看几何体得到的图形是（　　）

A． B． C． D．

6．方程的解的情况是（　　）

A．仅有一正根 B．仅有一负根

C．有一正根一负根 D．无实根

7．如图，正方形OABC对角线交点为D，过D的直线分别交AB，OC于E，F，已知点E关于y轴的对称点坐标为（﹣，2），则图中阴影部分的面积是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：

第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第10层．则树形图第10层的最高点到水平线的距离为（　　）

A． B． C． D．2

9．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（　　）

A．1＜x＜ B． C． D．

10．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（　　）

A．15 B．20 C．25 D．30

二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

11．若xy=﹣，x﹣y=5﹣1，则（x+1）（y﹣1）=　　．

12．用一个长方形的纸片制作一个无盖的长方体盒子，设这个长方体的长为a，宽为b，这个无盖的长方体盒子高为c，（只考虑如图所示，在长方形的右边两个角上各剪去一个大小相同的正方形，左上角剪去一个长方形的情况）若a=7cm，b=4cm，c=1cm，则这个无盖长方体盒子的容积是　　．

13．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是　　．

14．若a＜b且a和b是关于x的方程（x﹣x1）（x﹣x2）=2012的二根，其中（x1＜x2），试比较a、b、x1、x2的大小　　．

15．根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3×105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的．但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：

直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10°，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的　　倍．（结果保留两个有效数字）．

16．有一个正六面体，六个面上分别写有1～6这6个整数，投掷这个正六面体一次，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是　　．

17．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1=1时，r2018=　　．

18．满足3n+1≤2017，使得5n+1是完全平方数的正整数n共有　　个．

三．解答题（共6小题，满分48分）

19．（6分）先化简，再求值：

，其中．

20．（6分）已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红的年龄的还多1岁，求后年这三个年龄的和．

21．（8分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是边AC上一点，若tan∠DBA=，求AD的值．

22．（8分）某中学将组织七年级学生春游一天，由王老师和甲、乙两同学到客车租赁公司洽谈租车事宜．

（1）两同学向公司经理了解租车的价格，公司经理对他们说：

“公司有45座和60座两种型号的客车可供租用，60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元．”王老师说：

“我们学校八年级昨天在这个公司租了5辆45座和2辆60座的客车，一天的租金为1600元，你们能知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元吗”甲、乙两同学想了一下，都说知道了价格．

聪明的你知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元吗？

（2）公司经理问：

“你们准备怎样租车”，甲同学说：

“我的方案是只租用45座的客车，可是会有一辆客车空出30个座位”；乙同学说“我的方案只租用60座客车，正好坐满且比甲同学的方案少用两辆客车”，王老师在﹣旁听了他们的谈话说：

“从经济角度考虑，还有别的方案吗”？

如果是你，你该如何设计租车方案，并说明理由．

23．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：

与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．

24．（10分）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，

（1）若x12+x22=6，求m值；

（2）令T=+，求T的取值范围．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．解：

函数y=中x﹣3≥0，

所以x≥3，

故选：

C．

2．解：

如图，

由勾股定理，得

AB===，

sin∠A===，

故选：

D．

3．解：

如图，过C作CF⊥AB于F，过点B作BG⊥CD于G，在Rt△BEG中，∠BED=45°，则GE=GB．

在Rt△AFC中，∠A=45°，AC=，则AF=CF==1，

在Rt△BFC中，∠ABC=30°，CF=1，则BC=2CF=2，BF=CF=，

设DF=x，CE=DE=y，则BD=﹣x，

∴△CDF∽△BDG，

∴==，

∴==，

∴DG=，BG=，

∵GE=GB，

∴y+=，

∴2y2+x（﹣x）=﹣x，

在Rt△CDF中，∵CF2+DF2=CD2，

∴1+x2=4y2，

∴+x（﹣x）=﹣x，

整理得：

x2﹣（2+2）x+2﹣1=0，

解得x=1+﹣或1+﹣（舍弃），

∴BD=﹣x=﹣1．

故选：

D．

4．解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAC=∠ADB=∠ABD=45°，

由折叠的性质可得：

∠ADE=∠FDE=∠ADB=22.5°，

则∠AEG=90°﹣∠ADE=67.5°，∠AGE=∠ADE+∠DAC=22.5°+45°=67.5°，

∵∠AGE=∠AEG=67.5°，

∴AE=AG，即①正确；

设EF=x，则AE=x，BE=EF=x，AB=AE+BE=（+1）x，

tan∠AGE=tan∠AEG===+1．即②错误；

∵AB=（+1）x，

∴AO=（1+）x，OG=AO﹣AG=AO﹣AE=x，

易得△DOG∽△DFE，

∵=（）2=，

∴可得S△DOG=S四边形EFOG，即③正确；

∵∠AGE=∠FGE（折叠的性质），∠AGE=∠AEG（①已证），

∴∠FGE=∠AEG，

∴GF∥AB，

又∵BF=EF（等腰直角三角形的性质）=AE=AG，

∴四边形ABFG为等腰梯形，即④正确；

由上面的解答可得：

AE=x，OG=x，

故可得BE=2OG，即⑤正确．

综上可得：

①③④⑤正确，共4个．

故选：

C．

5．解：

从左面看易得上面一层左边有1个正方形，下面一层有2个正方形．

故选：

A．

6．解：

根据二次函数的性质，可得函数y=x2﹣x的图象的对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣），开口向上，经过一、二、四象限；

根据反比例函数的性质，可得函数y=的图象在一、三象限．

故函数y=x2﹣x和函数y=的图象只有在第一象限有交点，

则方程的解仅有一正根．故选A．

7．解：

由“E关于y轴的对称点坐标为（﹣，2）”，可得出点E的坐标为（，2），根据ABCO是正方形，那么A点坐标为（0，2），B点坐标为（2，2），C点坐标为（2，0）．

∵AB∥OC，

∴∠BAC=∠OCA，

又∵DA=DC，∠ADE=∠CDF，

∴△ADE≌△CDF，

∴S△ADE=S△CDF，

∴阴影部分的面积=三角形OCB的面积，即为：

2×2÷2=2．

故选：

B．

8．解：

设树形图第n层增加的高度为an，则，

树形图第10层的最高点到水平线的距离为

，

=，

=．

故选：

C．

9．解：

首先要能组成三角形，易得1＜x＜5

下面求该三角形为直角三角形的边长情况（此为临界情况），显然长度为2的边对应的角必为锐角（2＜3，短边对小角）则只要考虑3或者x为斜边的情况．

3为斜边时，由勾股定理，22+x2=32，得x=√5作出图形，固定2边，旋转3边易知当1＜x＜√5时，该三角形是以3为最大边的钝角三角形；

x为斜边时，由勾股定理，22+32=x2，得x=√13，同样作图可得当√13＜x＜5时，该三角形是以x为最大边的钝角三角形．

综上可知，当√5＜x＜√13时，原三角形为锐角三角形．

故选：

B．

10．解：

设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，

由题意得，，

①×2﹣②得，z﹣x=20，

所以，难题比容易题多20道．

故选：

B．

二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

11．解：

原式=xy﹣x+y﹣1

=xy﹣（x﹣y）﹣1，

∵xy=﹣，x﹣y=5﹣1，

∴原式=﹣﹣5+1﹣1

=﹣6．

故答案为：

﹣6．

12．解：

无盖长方体盒子的高为c=1cm，

∴AG=DF=1cm，

∴AD=b﹣2c=4﹣2=2cm，

∵BH=BC=AD=2cm，

∴CD=a﹣c﹣BH=7﹣1﹣2=4cm，

∴无盖长方体盒子的长为4cm，宽为2cm，高为1cm，

∴这个无盖长方体盒子的容积为：

4×2×1=8cm3，

故答案为：

8cm3，

13．解：

过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，

∵∠AMB=45°，

∴∠AOB=2∠AMB=90°，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴AB=OA=2，

∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，

∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，

即M点运动到D点，N点运动到E点，

此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．

故答案为：

4．

14．解：

函数y1=（x﹣x1）（x﹣x2）与x轴的两个交点分别为x1，x2，

函数y2=（x﹣x1）（x﹣x2）﹣2012与x轴的两个交点分别为a，b，

分别作出两个函数的图象，

如右图：

两函数的开口相同，对称轴相同，

结合图形可以看出a＜x1＜x2＜b，

故答案为a＜x1＜x2＜b．

15．解：

如图，根据题意设光速为tm/s，

则一秒内，m与l移动的距离为0.2tm，

过A'作CA'⊥AC于A'，

在Rt△ACA'中，∠A'AC1=10°÷2=5°，A'C=0.2tm，

∴AA'=CA'÷sin5°≈2.3，

∴A移动的距离约为2.3tm；

故交点A的移动速度是光速的2.3倍．

16．解：

投掷这个正六面体一次，向上的一面有6种情况，

向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的有2、3、4、6共4种情况，故其概率是=．

17．解：

分别作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如图，

∵半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线L相切，

∴O1A=r1，O2B=r2，O3C=r3，

∵∠AOO1=30°，

∴OO1=2O1A=2r1=2，

在Rt△OO2B中，OO2=2O2B，即2+1+r2=2r2，

∴r2=3，

在Rt△OO2C中，OO3=2O2C，即2+1+2×3++r3=2r3，

∴r3=9=32，

同理可得r4=27=33，

所以r2018=32017．

故答案为：

32017．

18．解：

∵3n+1≤2017，

∴n≤672，

∵n为正整数，

∴0＜n≤672（n为整数），

设5n+1=a2（a为正整数），

∴n=，

∵n为正整数，

∴为正整数，

∴a+1或a﹣1是5的倍数，

①当a+1是5的倍数时，

∵0＜n≤672（n为整数），

∴4≤a＜58（a+1最小是5，得出a≥4）

设a+1=5k（k为正整数），

∴k=，

∴1≤＜，

∴1≤k＜=11.8，

∵k为正整数，

∴k共有11个，

∴满足条件的正整数n有11个，

②当a﹣1是5的倍数时，

∵0＜n≤672（n为整数），

∴6≤a＜58（a﹣1最小是5，得出a≥6），

设a﹣1=5m（m为正整数），

∴m=，

∴1≤＜，

∴1≤m＜11.4，

∵m为正整数，

∴m共有11个，

∴满足条件的正整数n有11个，

即：

满足条件的正整数n有22个，

故答案为22．

三．解答题（共6小题，满分48分）

19．解：

原式=•=•=，

当a=﹣1时，原式=．

20．解：

小红的年龄是2m﹣4岁，

小华的年龄是（2m﹣4）+1=m﹣1岁，

∴后年这三个年龄的和为（m+2）+（2m﹣4+2）+（m﹣1+2）=4m+1．

21．解：

作DE⊥AB于E，如图，

∵△ACB为等腰直角三角形，∠C=90°，

∴BC=AC=3，∠A=45°，

∴AB=AC=3，

在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，

在Rt△BED中，tan∠DBE=tan∠DBA==，

∴BE=5x，

∴AB=AE+BE=x+5x=3，解得x=，

∴AD=×=1．

故AD的值为1．

22．解：

（1）设45座客车每天租金x元，60座客车每天租金y元，

则

解得

故45座客车每天租金200元，60座客车每天租金300元；

（2）设学生的总数是a人，

则=+2

解得：

a=240

所以租45座客车4辆、60座客车1辆，费用1100元，比较经济．

23．解：

（1）∵直线l：

y=x+m经过点B（0，﹣1），

∴m=﹣1，

∴直线l的解析式为y=x﹣1，

∵直线l：

y=x﹣1经过点C（4，n），

∴n=×4﹣1=2，

∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；

（2）令y=0，则x﹣1=0，

解得x=，

∴点A的坐标为（，0），

∴OA=，

在Rt△OAB中，OB=1，

∴AB===，

∵DE∥y轴，

∴∠ABO=∠DEF，

在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，

DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，

∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，

∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），

∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），

∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，

∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，

∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，

∴当t=2时，p有最大值；

（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，

∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，

①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，

∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，

解得x=，

②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，

∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，

解得x=﹣，

综上所述，点A1的横坐标为或﹣．

24．解：

∵方程由两个不相等的实数根，

所以△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）

=﹣4m+4＞0，

所以m＜1，又∵m是不小于﹣1的实数，

∴﹣1≤m＜1

∴x1+x2=﹣2（m﹣2）=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；

（1）∵x12+x22=6，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6，

即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）=6

整理，得m2﹣5m+2=0

解得m=；

∵﹣1≤m＜1

所以m=．

（2）T=+

=

=

=

=

=2﹣2m．

∵﹣1≤m＜1且m≠0

所以0＜2﹣2m≤4且m≠0

即0＜T≤4且T≠2．