高中数学必修正态分布.docx

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高中数学必修正态分布

2．4　正态分布

1．问题导航

（1）什么是正态曲线和正态分布？

（2）正态曲线有什么特点？

曲线所表示的意义是什么？

（3）怎样求随机变量在某一区间范围内的概率？

2．例题导读

请试做教材P74练习1题．

1．正态曲线

函数φμ，σ（x）＝

e－

，x∈（－∞，＋∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，φμ，σ（x）的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线．

2．正态分布

一般地，如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝

φμ，σ（x）dx，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作____________N（μ，σ2），如果随机变量X服从正态分布，则记为________X～N（μ，σ2）．

3．正态曲线的性质

正态曲线φμ，σ（x）＝

e－

，x∈R有以下性质：

（1）曲线位于x轴________上方，与x轴________不相交；

（2）曲线是单峰的，它关于直线________x＝μ对称；

（3）曲线在________x＝μ处达到峰值________

；

（4）曲线与x轴之间的面积为________1；

（5）当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；

（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.

4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝________0.682_________6；

P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝________0.954_________4；

P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）＝________0.997_________4．

1．判断（对的打“√”，错的打“×”）

（1）函数φμ，σ（x）中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．（　　）

（2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．（　　）

（3）正态曲线可以关于y轴对称．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）√

2．设随机变量X～N（μ，σ2），且P（X≤C）＝P（X＞C），则C＝（　　）

A．0B．σ

C．－μD．μ

答案：

D

3．已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），则P（X＜3）＝（　　）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

4．已知正态分布密度函数为f（x）＝

e－

，x∈（－∞，＋∞），则该正态分布的均值为________，标准差为________．

答案：

0　

正态分布的再认识

（1）参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布．

（2）正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在（a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．

（3）从正态曲线可以看出，对于固定的μ而言，随机变量在（μ－σ，μ＋σ）上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X取值落在区间（μ－σ，μ＋σ）的概率越大，即X集中在μ周围的概率越大．对于固定的μ和σ，随机变量X取值区间越大，所对应的概率就越大，即3σ原则．

正态分布密度曲线

如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．

[解]　从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为

，

所以μ＝20，

＝

，

∴σ＝

.

于是φμ，σ（x）＝

·e－

，x∈（－∞，＋∞），总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝（

）2＝2.

利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：

一是对称轴x＝μ，另一是最值

，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．

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正态分布密度曲线

1．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为

.求该正态分布的概率密度函数的解析式．

解：

由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.

由于

＝

，得σ＝4，

故该正态分布的概率密度函数的解析式是

φμ，σ（x）＝

e－

，x∈（－∞，＋∞）．

　　　　　　　求正态分布下的概率

设X～N（1，22），试求：

（1）P（－1＜X≤3）；

（2）P（3＜X≤5）．

[解]　因为X～N（1，22），所以μ＝1，σ＝2.

（1）P（－1＜X≤3）＝P（1－2＜X≤1＋2）

＝P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0.6826.

（2）因为P（3＜X≤5）＝P（－3≤X＜－1），

所以P（3＜X≤5）

＝

[P（－3＜X≤5）－P（－1＜X≤3）]

＝

[P（1－4＜X≤1＋4）－P（1－2＜X≤1＋2）]

＝

[P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）－P（μ－σ＜X≤μ＋σ）]

＝

（0.9544－0.6826）＝0.1359.

[互动探究]　在本例条件下，试求P（X≥5）．

解：

因为P（X≥5）＝P（X≤－3），

所以P（X≥5）＝

[1－P（－3＜X≤5）]

＝

[1－P（1－4＜X≤1＋4）]

＝

[1－P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）]

＝

（1－0.9544）＝0.0228.

（1）求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率．这一转化过程中体现了数形结合思想及转化化归思想的应用．

（2）常用结论有

①对任意的a，有P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）；

②P（X＜x0）＝1－P（X≥x0）；

③P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）．

2．

（1）（2015·高考山东卷）已知某批零件的长度误差（单位：

毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　）

（附：

若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）＝68.26%，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）＝95.44%.）

A．4.56%B．13.59%

C．27.18%D．31.74%

解析：

选B.由正态分布的概率公式知P（－3＜ξ＜3）＝0.6826，P（－6＜ξ＜6）＝0.9544，故P（3＜ξ＜6）＝

＝

＝0.1359＝13.59%，故选B.

（2）设随机变量X～N（4，σ2），且P（4＜X＜8）＝0.3，则P（X＜0）＝________．

解析：

概率密度曲线关于直线x＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于在8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.

答案：

0.2

（3）设随机变量X～N（2，9），若P（X＞c＋1）＝P（X＜c－1）．

①求c的值；②求P（－4＜X＜8）．

解：

①由X～N（2，9）可知，密度函数曲线关于直线x＝2对称（如图所示），

又P（X＞c＋1）＝P（X＜c－1），

故有2－（c－1）＝（c＋1）－2，

∴c＝2.

②P（－4＜X＜8）＝P（2－2×3＜X＜2＋2×3）＝0.9544.

正态分布的实际应用

某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N（70，102），如果规定低于60分的学生为不及格学生．

（1）成绩不及格的人数占多少？

（2）成绩在80～90之间的学生占多少？

[解]　

（1）设学生的得分情况为随机变量X，

则X～N（70，102），其中μ＝70，σ＝10.

在60到80之间的学生占的比为P（70－10

∴不及格的学生所占的比为

×（1－0.6826）＝0.1587＝15.87%.

（2）成绩在80到90之间的学生所占的比为

×[P（70－2×10

×（0.9544－0.6826）＝13.59%.

正态曲线的应用及求解策略：

解答此类题目的关键在于将待求的问题向（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．

3．（2015·杭州质检）某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X（单位：

分）近似服从正态分布X～N（50，102），求他在（30，60]分内赶到火车站的概率．

解：

∵X～N（50，102），∴μ＝50，σ＝10.

∴P（30＜X≤60）＝P（30＜X≤50）＋P（50＜X≤60）

＝

P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＋

P（μ－σ＜X≤μ＋σ）

＝

×0.9544＋

×0.6826＝0.8185.

即他在（30，60]分内赶到火车站的概率是0.8185.

数学思想

正态分布中的化归与转化思想

已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X>4）＝（　　）

A．0.1588　　　　　　　　　B．0.1587

C．0.1586D．0.1585

[解析]　由于X服从正态分布N（3，1），故正态分布曲线的对称轴为x＝3.

所以P（X>4）＝P（X<2），

故P（X>4）＝

＝

＝0.1587.

[答案]　B

[感悟提高]　化归与转化思想是中学数学思想中的重要思想之一，在解决正态分布的应用问题时，化归与转化思想起着不可忽视的作用．

本小题考查正态分布的有关知识，求解时应根据P（X>4）＋P（X<2）＋P（2≤X≤4）＝1将问题转化．

1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝φμ，σ（x）＝

e－

，则这个正态总体的均值与标准差分别是（　　）

A．10与8B．10与2

C．8与10D．2与10

解析：

选B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.

2.（2015·高考湖南卷）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（　　）

A．2386B．2718

C．3413D．4772

附：

若X～N（μ，σ2），

则P（μ－σ

P（μ－2σ

解析：

选C.由P（－1

＝3413，故选C.

3．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若X在（0，1）内取值的概率为0.4，则X在（0，2）内取值的概率为________．

解析：

如图，易得P（0＜X＜1）＝P（1＜X＜2），

故P（0＜X＜2）＝2P（0＜X＜1）＝2×0.4＝0.8.

答案：

0.8

4．设X～N（5，1），求P（6

解：

由已知得P（4

P（3

又∵正态曲线关于直线x＝5对称，

∴P（3

＝0.2718.

由对称性知P（3

所以P（6

＝0.1359.

[A.基础达标]

1．设随机变量ξ～N（2，2），则D（

ξ）＝（　　）

A．1　　　　　　　　B．2

C.

D．4

解析：

选C.∵ξ～N（2，2），∴D（ξ）＝2.

∴D（

ξ）＝

D（ξ）＝

×2＝

.

2．下列函数是正态密度函数的是（　　）

A．f（x）＝

e

，μ，σ（σ＞0）都是实数

B．f（x）＝

e－

C．f（x）＝

e－

D．f（x）＝

e

解析：

选B.对于A：

函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A错误；对于B：

符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B正确；对于C：

从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝

，故C不正确；对于D：

指数部分缺少一个负号，故D不正确．

3．（2015·高考湖北卷）设X～N（μ1，σ

），Y～N（μ2，σ

），这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）

B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）

C．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）

D．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）

解析：

选D.由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P（Y≥μ2）＝

，P（Y≥μ1）>

，故P（Y≥μ2）

因为σ1＜σ2，所以P（X≤σ2）>P（X≤σ1），故B错；

对任意正数t，P（X≥t）

对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）是正确的，故选D.

4．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）＝（　　）

A．0.6B．0.4

C．0.3D．0.2

解析：

选C.如图，正态分布的密度函数图象关于直线x＝2对称，所以P（ξ＜2）＝0.5，并且P（0＜ξ＜2）＝P（2＜ξ＜4），则P（0＜ξ＜2）＝P（ξ＜4）－P（ξ＜2）＝0.8－0.5＝0.3.

5．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），函数f（x）＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是

，则μ＝（　　）

A．1B．4

C．2D．不能确定

解析：

选B.根据题意，函数f（x）＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根据正态分布密度曲线的对称性，当函数f（x）＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是

时，μ＝4.

6．如果ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＞3）＝P（ξ＜1）成立，则μ＝________．

解析：

∵ξ～N（μ，σ2），故概率密度函数关于直线x＝μ对称，又P（ξ＜1）＝P（ξ＞3），从而μ＝

＝2，即μ的值为2.

答案：

2

7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（2，＋∞）上取值的概率为________．

解析：

由正态分布的特征易得P（ξ>2）＝

×[1－2P（0<ξ<1）]＝

×（1－0.8）＝0.1.

答案：

0.1

8．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X（kg）服从正态分布N（μ，22），且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为________．

解析：

依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P（58.5＜X≤62.5）＝P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0.6826，从而属于正常情况的人数为1000×0.6826≈683.

答案：

683

9．（2015·苏州高二检测）某个工厂的工人月收入服从正态分布N（2500，202），该工厂共有1200名工人，试估计月收入在2440元以下和2560元以上的工人大约有多少人？

解：

设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N（2500，202），

所以μ＝2500，σ＝20，

所以月收入在区间（2500－3×20，2500＋3×20）内取值的概率是0.9974，该区间即（2440，2560）．

因此月收入在2440元以下和2560元以上的工人大约有1200×（1－0.9974）＝1200×0.0026≈3（人）．

10．（2015·漳州高二检测）某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布N（50，102）；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N（60，42）．

（1）若只有70分钟可用，问应走哪条路线？

（2）若只有65分钟可用，又应走哪条路线？

解：

由已知X～N（50，102），Y～N（60，42）．由正态分布的2σ区间性质P（μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ）＝0.9544.然后解决问题的关键是：

根据上述性质得到如下结果：

对X：

μ＝50；σ＝10，2σ区间为（30，70），

对Y：

μ＝60；σ＝4，2σ区间为（52，68），

要尽量保证用时在X?

（30，70），Y?

（52，68）才能保证有95%以上的概率准时到达．

（1）时间只有70分钟可用，应该走第二条路线．

（2）时间只有65分钟可用，两种方案都能保证有95%以上的概率准时到达，但是走市区平均用时比路线二少了10分钟，应该走第一条路线．

[B.能力提升]

1．设随机变量X～N（μ，σ2），则随着σ的增大，P（|X－μ|＜3σ）将会（　　）

A．单调增加　　　　　　　B．单调减少

C．保持不变D．增减不定

解析：

选C.对于服从正态分布的随机变量X，不论μ，σ怎么变化，P（|X－μ|＜3σ）总等于0.9974.

2．设正态总体落在区间（－∞，－1）和区间（3，＋∞）的概率相等，落在区间（－2，4）内的概率为99.7%，则该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标为（　　）

A．（1，

）B．（1，

）

C．（

，1）D．（1，1）

解析：

选A.正态总体落在区间（－∞，－1）和（3，＋∞）的概率相等，说明正态曲线关于x＝1对称，所以μ＝1.

又在区间（－2，4）内的概率为99.7%，

∴1－3σ＝－2，1＋3σ＝4，∴σ＝1.

∴f（x）＝

e－

，x∈R，

∴最高点的坐标为

.

3．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），则下列结论正确的是________．

①P（|ξ|＜a）＝P（ξ＜a）＋P（ξ＞－a）（a＞0）；

②P（|ξ|＜a）＝2P（ξ＜a）－1（a＞0）；

③P（|ξ|＜a）＝1－2P（ξ＜a）（a＞0）；

④P（|ξ|＜a）＝1－P（|ξ|＞a）（a＞0）．

解析：

因为P（|ξ|＜a）＝P（－a＜ξ＜a），所以①不正确；

因为P（|ξ|＜a）＝P（－a＜ξ＜a）＝P（ξ＜a）－P（ξ＜－a）＝P（ξ＜a）－P（ξ＞a）＝P（ξ＜a）－（1－P（ξ＜a））＝2P（ξ＜a）－1，所以②正确，③不正确；

因为P（|ξ|＜a）＋P（|ξ|＞a）＝1，

所以P（|ξ|＜a）＝1－P（|ξ|＞a）（a＞0），所以④正确．

答案：

②④

4．设随机变量X～N（1，22），则Y＝3X－1服从的总体分布可记为________．

解析：

因为X～N（1，22），所以μ＝1，σ＝2.

又Y＝3X－1，所以E（Y）＝3E（X）－1＝3μ－1＝2，

D（Y）＝9D（X）＝62，

所以Y～N（2，62）．

答案：

Y～N（2，62）

5．（2014·高考课标全国卷Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布，求P（187.8

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用①的结果，求E（X）．

附：

≈12.2.

若Z～N（μ，σ2），则P（μ－σ

解：

（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为

x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，

s2＝（－30）2×0.02＋（－20）2×0.09＋（－10）2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

（2）①由

（1）知，Z～N（200，150），从而P（187.8

②由①知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以E（X）＝100×0.6826＝68.26.

6．请仔细阅读下面这段文字，然后解决后面的问题．

在实际生活中，常用统计中假设检验的思想检验产品是否合格，方法是：

（1）提出统计假设：

某种指标服从正态分布N（μ，σ2）；

（2）确定一次试验中的取值a；

（3）作出统计推断：

若a∈（μ－3σ，μ＋3σ），则接受假设，若a?

（μ－3σ，μ＋3σ），则拒绝假设．

问题：

某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”ξ服从正态分布N（30，0.82），质检人员从该厂某一天生产的1000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为27.5kg/cm2，你认为该厂这天生产的这批砖是否合格？

为什么？

解：

由于在一次试验中ξ落在区间（μ－3σ，μ＋3σ）上的概率为0.997，故ξ几乎必然落在上述区间内．把μ＝30，σ＝0.8代入，得区间（μ－3σ，μ＋3σ）＝（27.6，32.4），而27.5?

（27.6，32.4），∴据此认为这批砖不合格．