②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)“3σ”法:
利用X落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]内的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974求解.
跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于( )
A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 C
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),
∴μ=2,对称轴是x=2.
∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,
∴P(0<ξ<4)=0.6,
∴P(0<ξ<2)=0.3.故选C.
类型三 正态分布的应用
例3 有一种精密零件,其尺寸X(单位:
mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5000个,试求:
(1)这批零件中尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比;
(2)若规定尺寸在24~26mm间的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个?
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解
(1)∵X~N(20,4),∴μ=20,σ=2,∴μ-σ=18,
μ+σ=22,
于是尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比大约是68.26%.
(2)∵μ-3σ=14,μ+3σ=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24,
∴尺寸在24~26mm间的零件所占的百分比大约是
=2.15%.
因此尺寸在24~26mm间的零件大约有5000×2.15%≈108(个).
反思与感悟 解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]三个区间内的概率,在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.
跟踪训练3 在某次考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知该班同学成绩在80~85分的有17人,该班同学成绩在90分以上的有多少人?
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解 ∵成绩服从正态分布N(80,52),
∴μ=80,σ=5,则μ-σ=75,μ+σ=85,
∴成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%,成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%,设该班有x人,则x·34.13%=17,解得x≈50.
∵μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90,
∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%,成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%,即有50×2.28%≈1(人),即成绩在90分以上的仅有1人.
1.设两个正态分布N(μ1,σ
)(σ1>0)和N(μ2,σ
)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有( )
A.μ1<μ2,σ1<σ2B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2D.μ1>μ2,σ1>σ2
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线
答案 A
解析 根据正态曲线的特点:
正态分布曲线是一条关于直线x=μ对称,在x=μ处取得最大值的连续曲线:
当μ一定时,σ越大,曲线的最高点越低且较平稳,反过来,σ越小,曲线的最高点越高且较陡峭.故选A.
2.正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率为P1,P2,则二者大小关系为( )
A.P1=P2B.P1<P2
C.P1>P2D.不确定
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线性质的应用
答案 A
解析 根据正态曲线的特点,图象关于x=0对称,可得在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率P1,P2相等.
3.设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),且二次方程x2+4x+ξ=0无实数根的概率为
,则μ等于( )
A.1B.2
C.4D.不能确定
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 C
解析 因为方程x2+4x+ξ=0无实数根的概率为
,由Δ=16-4ξ<0,得ξ>4,即P(ξ>4)=
=1-P(ξ≤4),故P(ξ≤4)=
,所以μ=4.
4.已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ]和(μ-3σ,μ+3σ]内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152),则此次考试成绩在区间(60,120]内的学生大约有( )
A.997人B.972人C.954人D.683人
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 C
解析 依题意可知μ=90,σ=15,故P(605.设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X(1)求c的值;
(2)求P(-4考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
解
(1)由X~N(2,9)可知,密度函数关于直线x=2对称(如图所示),
又P(X>c+1)=P(X故有2-(c-1)=(c+1)-2,
∴c=2.
(2)P(-41.理解正态分布的概念和正态曲线的性质.
2.正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ-σ(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点.
①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.
②P(Xμ+a),
若b<μ,则P(X<μ-b)=
.
一、选择题
1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=φμ,σ(x)=
,则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A.10与8B.10与2
C.8与10D.2与10
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 B
解析 由正态密度函数的定义可知,总体的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)等于( )
A.0.16B.0.32
C.0.68D.0.84
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 A
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2,
∵P(ξ≤4)=0.84,
∴P(ξ≥4)=1-0.84=0.16,
∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.16.
3.已知某批零件的长度误差(单位:
毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6]内的概率为( )(附:
若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=95.44%)
A.4.56%B.13.59%
C.27.18%D.31.74%
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 B
解析 由正态分布的概率公式,知P(-3<ξ≤3)=0.6826,P(-6<ξ≤6)=0.9544,
故P(3<ξ≤6)=
=
=0.1359=13.59%,故选B.
4.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附:
若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544)
A.2386B.2718C.4772D.3413
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 D
解析 由X~N(0,1)知,P(-1<X≤1)=0.6826,
∴P(0≤X≤1)=
×0.6826=0.3413,故S≈0.3413.
∴落在阴影部分的点的个数x的估计值为
=
,∴x=10000×0.3413=3413,故选D.
5.设X~N(μ1,σ
),Y~N(μ2,σ
),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)>P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)>P(Y≥t)
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线
答案 C
解析 由题图可知μ1<0<μ2,σ1<σ2,
∴P(Y≥μ2)
P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错;
当t为任意正数时,由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t),
而P(X≤t)=1-P(X≥t),P(Y≤t)=1-P(Y≥t),
∴P(X≥t)
6.如果正态总体的数据落在(-3,-1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的均值是( )
A.0B.1C.2D.3
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 B
解析 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等,说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等,区间(-3,-1)和(3,5)的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的.因为正态曲线关于直线x=μ对称,μ的概率意义就是均值,而区间(-3,-1)和(3,5)关于x=1对称,所以正态总体的均值是1.
7.已知一次考试共有60名学生参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在区间( )
A.(90,110]B.(95,125]
C.(100,120]D.(105,115]
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 C
解析 ∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.
因此考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]上的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试,故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.6826≈41,60×0.9544≈57,60×0.9974≈60.
8.在某市2018年1月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第( )
A.1500名B.1700名
C.4500名D.8000名
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 A
解析 因为理科生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以P(X≥108)=
[1-P(88[1-P(μ-σ×(1-0.6826)=0.1587,所以0.1587×9450≈1500,故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名.
二、填空题
9.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X≤1)=0.5,则实数a的值为.
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 1
解析 ∵X服从正态分布N(a,4),∴正态曲线关于直线x=a对称,又P(X≤1)=0.5,故a=1.
10.设随机变量X~N(4,σ2),且P(4考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 0.2
解析 概率密度曲线关于直线x=4对称,在4右边的概率为0.5,在0左边的概率等于8右边的概率,即0.5-0.3=0.2.
11.某正态分布密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为
,则总体落入区间(0,2]内的概率为.
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 0.4772
解析 正态分布密度函数是f(x)=
,x∈(-∞,+∞),若它是偶函数,则μ=0,
∵f(x)的最大值为f(μ)=
=
,∴σ=1,
∴P(0P(-2P(μ-2σ×0.9544=0.4772.
三、解答题
12.已知随机变量X~N(μ,σ2),且其正态曲线在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上为减函数,且P(72(1)求参数μ,σ的值;
(2)求P(64<X≤72).
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
解
(1)由于正态曲线在(-∞,80)上是增函数,
在(80,+∞)上是减函数,
所以正态曲线关于直线x=80对称,即参数μ=80.
又P(72结合P(μ-σ(2)因为P(μ-2σ=P(64=0.9544.
又因为P(X≤64)=P(X>96),
所以P(X≤64)=
×(1-0.9544)
=
×0.0456=0.0228.
所以P(X>64)=0.9772.
又P(X≤72)=
[1-P(72=
×(1-0.6826)=0.1587,
所以P(X>72)=0.8413,
P(64=P(X>64)-P(X>72)
=0.1359.
13.某人骑自行车上班,第一条路线较短但拥挤,到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1);第二条路线较长不拥挤,X服从正态分布N(6,0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟,问他应选哪一条路线?
若离点名时间还有6.5分钟,问他应选哪一条路线?
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解 还有7分钟时:
若选第一条路线,即X~N(5,1),能及时到达的概率
P1=P(X≤7)
=P(X≤5)+P(5=
+
P(μ-2σ若选第二条路线,即X~N(6,0.16),能及时到达的概率
P2=P(X≤7)
=P(X≤6)+P(6=
+
P(μ-2.5σ因为P1同理,还有6.5分钟时,应选第一条路线.
四、探究与拓展
14.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),
且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约为.
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 683
解析 依题意可知,μ=60.5,σ=2,故P(58.515.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图.
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数
和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数
,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2]的产品件数,利用①的结果,求E(X).
(附:
≈12.2)
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的综合应用
解
(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数
和样本方差s2分别为
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(2)①由
(1)知,Z~N(200,150),
从而P(187.8②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2]的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),
所以E(X)=100×0.6826=68.26.