新人教版新版高中数学 第二章 随机变量及其分布 24 正态分布学案 新人教A版选修23提分必备.docx

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§2.4 正态分布

学习目标

 1.利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题.

知识点一 正态曲线

思考 函数f(x)=

,x∈R的图象如图所示.试确定函数f(x)的解析式.

答案 由图可知,该曲线关于直线x=72对称,最大值为

,由函数表达式可知,函数图象的对称轴为x=μ,

∴μ=72,且

,∴σ=10.

∴f(x)=

(x∈R).

梳理 

(1)正态曲线

函数φμ,σ(x)=

,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)为参数,我们称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.

(2)正态曲线的性质

①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;

②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;

③曲线在x=μ处达到峰值

④曲线与x轴之间的面积为1;

⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图甲所示;

⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”,总体的分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,总体的分布越集中,如图乙所示:

知识点二 正态分布

一般地,如果对于任何实数a,b(a

φμ,σ(x)dx,则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2),如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).

知识点三 3σ原则

1.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

(1)P(μ-σ

(2)P(μ-2σ

(3)P(μ-3σ

2.通常服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值.

1.函数φμ,σ(x)中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.( × )

2.正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.( × )

3.正态曲线可以关于y轴对称.( √ )

类型一 正态曲线的图象的应用

例1 如图所示是一个正态分布的图象,试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式,求出随机变量总体的均值和方差.

考点 正态分布的概念及性质

题点 求正态分布的均值或方差

解 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是

,所以μ=20.由

,解得σ=

.于是该正态分布密度函数的解析式是f(x)=

,x∈(-∞,+∞),随机变量总体的均值是μ=20,方差是σ2=(

)2=2.

反思与感悟 利用图象求正态分布密度函数的解析式,应抓住图象的两个实质性特点:

一是对称轴为x=μ,二是最大值为

.这两点确定以后,相应参数μ,σ便确定了,代入f(x)中便可求出相应的解析式.

跟踪训练1 某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(  )

A.甲科总体的标准差最小

B.丙科总体的平均数最小

C.乙科总体的标准差及平均数都居中

D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同

考点 正态分布密度函数的概念

题点 正态曲线

答案 A

解析 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越扁平;σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A.

类型二 利用正态分布的对称性求概率

例2 设X~N(1,22),试求:

(1)P(-1

(2)P(35).

考点 正态分布的概念及性质

题点 正态分布下的概率计算

解 因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2.

(1)P(-1

=P(μ-σ

(2)因为P(3

所以P(3

[P(-3

[P(1-4

[P(μ-2σ

×(0.9544-0.6826)=0.1359.

(3)P(X>5)=P(X≤-3)

[1-P(-3

[1-P(1-4

引申探究 

本例条件不变,若P(X>c+1)=P(X

解 因为X服从正态分布N(1,22),所以对应的正态曲线关于x=1对称.又P(X>c+1)=P(X

=1,即c=1.

反思与感悟 利用正态分布求概率的两个方法

(1)对称法:

由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间上概率相等.如:

①P(X

②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).

(2)“3σ”法:

利用X落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]内的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974求解.

跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于(  )

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

考点 正态分布的概念及性质

题点 正态分布下的概率计算

答案 C

解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),

∴μ=2,对称轴是x=2.

∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,

∴P(0<ξ<4)=0.6,

∴P(0<ξ<2)=0.3.故选C.

类型三 正态分布的应用

例3 有一种精密零件,其尺寸X(单位:

mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5000个,试求:

(1)这批零件中尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比;

(2)若规定尺寸在24~26mm间的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个?

考点 正态分布的应用

题点 正态分布的实际应用

解 

(1)∵X~N(20,4),∴μ=20,σ=2,∴μ-σ=18,

μ+σ=22,

于是尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比大约是68.26%.

(2)∵μ-3σ=14,μ+3σ=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24,

∴尺寸在24~26mm间的零件所占的百分比大约是

=2.15%.

因此尺寸在24~26mm间的零件大约有5000×2.15%≈108(个).

反思与感悟 解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]三个区间内的概率,在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.

跟踪训练3 在某次考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知该班同学成绩在80~85分的有17人,该班同学成绩在90分以上的有多少人?

考点 正态分布的应用

题点 正态分布的实际应用

解 ∵成绩服从正态分布N(80,52),

∴μ=80,σ=5,则μ-σ=75,μ+σ=85,

∴成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%,成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%,设该班有x人,则x·34.13%=17,解得x≈50.

∵μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90,

∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%,成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%,即有50×2.28%≈1(人),即成绩在90分以上的仅有1人.

1.设两个正态分布N(μ1,σ

)(σ1>0)和N(μ2,σ

)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有(  )

A.μ1<μ2,σ1<σ2B.μ1<μ2,σ1>σ2

C.μ1>μ2,σ1<σ2D.μ1>μ2,σ1>σ2

考点 正态分布密度函数的概念

题点 正态曲线

答案 A

解析 根据正态曲线的特点:

正态分布曲线是一条关于直线x=μ对称,在x=μ处取得最大值的连续曲线:

当μ一定时,σ越大,曲线的最高点越低且较平稳,反过来,σ越小,曲线的最高点越高且较陡峭.故选A.

2.正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率为P1,P2,则二者大小关系为(  )

A.P1=P2B.P1<P2

C.P1>P2D.不确定

考点 正态分布密度函数的概念

题点 正态曲线性质的应用

答案 A

解析 根据正态曲线的特点,图象关于x=0对称,可得在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率P1,P2相等.

3.设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),且二次方程x2+4x+ξ=0无实数根的概率为

,则μ等于(  )

A.1B.2

C.4D.不能确定

考点 正态分布的概念及性质

题点 求正态分布的均值或方差

答案 C

解析 因为方程x2+4x+ξ=0无实数根的概率为

,由Δ=16-4ξ<0,得ξ>4,即P(ξ>4)=

=1-P(ξ≤4),故P(ξ≤4)=

,所以μ=4.

4.已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ]和(μ-3σ,μ+3σ]内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152),则此次考试成绩在区间(60,120]内的学生大约有(  )

A.997人B.972人C.954人D.683人

考点 正态分布的应用

题点 正态分布的实际应用

答案 C

解析 依题意可知μ=90,σ=15,故P(60

5.设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X

(1)求c的值;

(2)求P(-4

考点 正态分布的概念及性质

题点 正态分布下的概率计算

解 

(1)由X~N(2,9)可知,密度函数关于直线x=2对称(如图所示),

又P(X>c+1)=P(X

故有2-(c-1)=(c+1)-2,

∴c=2.

(2)P(-4

1.理解正态分布的概念和正态曲线的性质.

2.正态总体在某个区间内取值的概率求法

(1)熟记P(μ-σ

(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点.

①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.

②P(Xμ+a),

若b<μ,则P(X<μ-b)=

.

一、选择题

1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=φμ,σ(x)=

,则这个正态总体的均值与标准差分别是(  )

A.10与8B.10与2

C.8与10D.2与10

考点 正态分布的概念及性质

题点 求正态分布的均值或方差

答案 B

解析 由正态密度函数的定义可知,总体的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.

2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)等于(  )

A.0.16B.0.32

C.0.68D.0.84

考点 正态分布的概念及性质

题点 正态分布下的概率计算

答案 A

解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2,

∵P(ξ≤4)=0.84,

∴P(ξ≥4)=1-0.84=0.16,

∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.16.

3.已知某批零件的长度误差(单位:

毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6]内的概率为(  )(附:

若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=95.44%)

A.4.56%B.13.59%

C.27.18%D.31.74%

考点 正态分布的概念及性质

题点 正态分布下的概率计算

答案 B

解析 由正态分布的概率公式,知P(-3<ξ≤3)=0.6826,P(-6<ξ≤6)=0.9544,

故P(3<ξ≤6)=

=0.1359=13.59%,故选B.

4.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(  )(附:

若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544)

A.2386B.2718C.4772D.3413

考点 正态分布的应用

题点 正态分布的实际应用

答案 D

解析 由X~N(0,1)知,P(-1<X≤1)=0.6826,

∴P(0≤X≤1)=

×0.6826=0.3413,故S≈0.3413.

∴落在阴影部分的点的个数x的估计值为

,∴x=10000×0.3413=3413,故选D.

5.设X~N(μ1,σ

),Y~N(μ2,σ

),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(  )

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C.对任意正数t,P(X≤t)>P(Y≤t)

D.对任意正数t,P(X≥t)>P(Y≥t)

考点 正态分布密度函数的概念

题点 正态曲线

答案 C

解析 由题图可知μ1<0<μ2,σ1<σ2,

∴P(Y≥μ2)

P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错;

当t为任意正数时,由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t),

而P(X≤t)=1-P(X≥t),P(Y≤t)=1-P(Y≥t),

∴P(X≥t)

6.如果正态总体的数据落在(-3,-1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的均值是(  )

A.0B.1C.2D.3

考点 正态分布的概念及性质

题点 求正态分布的均值或方差

答案 B

解析 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等,说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等,区间(-3,-1)和(3,5)的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的.因为正态曲线关于直线x=μ对称,μ的概率意义就是均值,而区间(-3,-1)和(3,5)关于x=1对称,所以正态总体的均值是1.

7.已知一次考试共有60名学生参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在区间(  )

A.(90,110]B.(95,125]

C.(100,120]D.(105,115]

考点 正态分布的应用

题点 正态分布的实际应用

答案 C

解析 ∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.

因此考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]上的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试,故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.6826≈41,60×0.9544≈57,60×0.9974≈60.

8.在某市2018年1月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第(  )

A.1500名B.1700名

C.4500名D.8000名

考点 正态分布的应用

题点 正态分布的实际应用

答案 A

解析 因为理科生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以P(X≥108)=

[1-P(88

[1-P(μ-σ

×(1-0.6826)=0.1587,所以0.1587×9450≈1500,故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名.

二、填空题

9.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X≤1)=0.5,则实数a的值为.

考点 正态分布的概念及性质

题点 求正态分布的均值或方差

答案 1

解析 ∵X服从正态分布N(a,4),∴正态曲线关于直线x=a对称,又P(X≤1)=0.5,故a=1.

10.设随机变量X~N(4,σ2),且P(4

考点 正态分布的概念及性质

题点 正态分布下的概率计算

答案 0.2

解析 概率密度曲线关于直线x=4对称,在4右边的概率为0.5,在0左边的概率等于8右边的概率,即0.5-0.3=0.2.

11.某正态分布密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为

,则总体落入区间(0,2]内的概率为.

考点 正态分布的概念及性质

题点 正态分布下的概率计算

答案 0.4772

解析 正态分布密度函数是f(x)=

,x∈(-∞,+∞),若它是偶函数,则μ=0,

∵f(x)的最大值为f(μ)=

,∴σ=1,

∴P(0

P(-2

P(μ-2σ

×0.9544=0.4772.

三、解答题

12.已知随机变量X~N(μ,σ2),且其正态曲线在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上为减函数,且P(72

(1)求参数μ,σ的值;

(2)求P(64<X≤72).

考点 正态分布的概念及性质

题点 求正态分布的均值或方差

解 

(1)由于正态曲线在(-∞,80)上是增函数,

在(80,+∞)上是减函数,

所以正态曲线关于直线x=80对称,即参数μ=80.

又P(72

结合P(μ-σ

(2)因为P(μ-2σ

=P(64

=0.9544.

又因为P(X≤64)=P(X>96),

所以P(X≤64)=

×(1-0.9544)

×0.0456=0.0228.

所以P(X>64)=0.9772.

又P(X≤72)=

[1-P(72

×(1-0.6826)=0.1587,

所以P(X>72)=0.8413,

P(64

=P(X>64)-P(X>72)

=0.1359.

13.某人骑自行车上班,第一条路线较短但拥挤,到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1);第二条路线较长不拥挤,X服从正态分布N(6,0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟,问他应选哪一条路线?

若离点名时间还有6.5分钟,问他应选哪一条路线?

考点 正态分布的应用

题点 正态分布的实际应用

解 还有7分钟时:

若选第一条路线,即X~N(5,1),能及时到达的概率

P1=P(X≤7)

=P(X≤5)+P(5

P(μ-2σ

若选第二条路线,即X~N(6,0.16),能及时到达的概率

P2=P(X≤7)

=P(X≤6)+P(6

P(μ-2.5σ

因为P1

同理,还有6.5分钟时,应选第一条路线.

四、探究与拓展

14.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),

且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约为.

考点 正态分布的应用

题点 正态分布的实际应用

答案 683

解析 依题意可知,μ=60.5,σ=2,故P(58.5

15.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图.

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数

和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数

,σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布,求P(187.8

②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2]的产品件数,利用①的结果,求E(X).

(附:

≈12.2)

考点 正态分布的应用

题点 正态分布的综合应用

解 

(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数

和样本方差s2分别为

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,

s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.

(2)①由

(1)知,Z~N(200,150),

从而P(187.8

②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2]的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),

所以E(X)=100×0.6826=68.26.

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