数学知识要点 2Word格式.docx
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一个数的倍数大于（或等于）这个数的因数，一个数的因数小于（或等于）这个数的倍数。
例如：
15=3×
530=5×
6
=1×
15=3×
10
=2×
15
30
要点：
如果大数是小数的倍数，则小数是大数的因数。
最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
一个数的倍数有无数个。
4、找一个数的倍数方法：
就是用这个数（自然数）和任意一个自然数（零除外）相乘，所得的积就是这个数的倍数。
找3的倍数？
1=33×
4=123×
7=21
3×
2=63×
5=153×
8=24
3=63×
6=183×
9=27等等
5、什么是偶数：
能被2整除的数叫做偶数。
如:
2、4、6、8、10、12、14…
6、什么是寄数：
不能被2整除的数叫做寄数。
1、3、5、7、9、11、13…
7、什么是质数：
一个大于1的自然数,除了1与它自身外,再没有其它的正约数了,这样的自然数叫做质数。
2、3、5、7、11、13、17…。
3=1×
3除1和3没有其它数5=1×
5除1和5没有其它数
偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个。
除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数。
8、什么是合数：
除了1和他本身有其他因数的数叫合数。
4、6、8、10、12、14、16…。
4=1×
4=2×
2除1和4还有其它数2
6=1×
6=2×
3除1和6还有其它数2、3
要特别记住：
1不是质数，也不是合数。
9、什么是小数：
是有小数点的数叫小数例如：
0.1、0.2、5.6、11.7…。
10、什么是分数：
表示把一个“单位1”平均分成若干份，取其中的一份或几份的数，叫做分数。
（表示一个数是另一个数的几分之几叫分数。
）
1/4就是把1个单位等分成4份，其中的一份是1/4…。
11、什么是百分数：
是有百分号的（%），表示一个数是另一数的百分之几。
分母是100的分数叫做百分数。
1/100=1%3/100=3%95/100=95%
12、什么是正数：
是1、2、3、4……。
13、什么是负数：
小于0的数叫负数。
-1、-2、-3……。
0既不是正数也不是负数。
14、什么是质因数：
每个合数都可以写成几个质数相乘的形成，这几个质数就叫做这个合数的质因数，例如：
因为70=2×
5×
7，所以2，5，7是70的质因数。
15、什么叫分解质因数：
把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
60=2×
2×
5=22×
5，把60这个合数用2×
5或22×
5的形式来表示，就是把60分解质因数。
质数的定义：
一个大于1的自然数,除了1与它自身外,再没有其它的正约数了,这样的自然数叫做质数
所谓质数或称素数,就是一个正整数,除了本身和1以外并没有任何其他因子.例如2,3,5,7是质数,而4,6,8,9则不是,后者称为合成数.从这个观点可将整数分为两种,一种叫质数,一种叫合成数.（有人认为数目字1不该称为质数）著名的高斯「唯一分解定理」说,任何一个整数.可以写成一串质数相乘的积.
（例1）,,,,,,这就是说,任何数都由质数构成的.
（例2）2=（1×
2）,3,5,7,11…均为质数.而4,6,8不为质数.（因为最少还有因数2）
由於质数本身的奇异性使人无法一把抓住它出现的规律,抓住它出现的特性甚至不知道它实际分布的情形.简单来说,给你一个正整数,你竟不可知道它是否是一个质数,即使你用尽了方法,证明它不可能是一个质数,但竟无法分解它,举例来说:
211-1=2047可以分解成.267-1呢据说美国代数学家FrankNeloonCole花了三年多才发现的.自然那时「电脑时代」还未来临,只能靠无限的耐心与毅力,再加上一副长於计算数目的训练才弄得出来.但有了电脑似乎好不了多少,数目字加大了,困难依旧.1931年D.H.Lehmar证明了2257-1是一个大合成数.大!
不错.它等於231,584,178,474,632,390,847,141,970,017,375,815,706,
539,969,331,281,128,078,915,168,015,826,259,279,871
一个78位数字的大数,到目前仍未有人或电脑能分解它!
因此,虽然知道一个数目是否质数也许没有多大用处,但仍是很有趣味,最少在找它的过程中会引起很多方法论的问题.
质数的特性
1质数除了2之外,必为奇数.（换句话说,2是最小的质数,也是唯一的偶数）
2「1」不算是质数.
3「算术基本定理」:
比1大的任何整数,必可分解为质因数的乘积,且表示的方法是唯一的.
质数的个数与求法
为什麼要找质数
「既然质数有无限多个,那麼为什麼数学家要投入那麼多的心力一直寻找更大的质数呢」
简单的说,数学家就和一般人一样,「你有收藏东西的兴趣习惯吗」「喜欢在比赛中得到名次吗」这个都是理由之一.回答这个问题,可以用几个方向来说明,
六,了解质数分布的情形!
虽然数学不是实验的科学,但是在我们会用例子去检验我们的猜测,当例子愈来愈多时,我们也会更了解事实,而质数的分布情形这是如此,例如高斯在看过质数表之后猜测了质数定理（primenumbertheorem）,这个定理在1896由哈达玛（Hadamard）及普辛（Pouusin）分别证得:
质数是自然数的一部份,有趣的是,它却与自然数的个数一样多,也有无穷多个.两千多年前,古希腊数学家就从理论上证明了这一点.不过,质数看上去要比自然数少的多.有人统计过,在1到1000之间,有168个质数;
在1000到2000之间,有135个质数;
在2000到3000之间,有127个质数;
而在3000到4000之间,就只有120个质数了,越往后,质数就会越稀少.那麼,怎样从自然数里把质数给找出来呢公元前三世纪,古希腊数学家埃拉托塞尼（Eratosthenes）发明了一种很有趣的方法.埃拉托塞尼常把数表写在涂了白腊的木板上,遇到需要划去的数,就在那个数的位置刺一个孔;
随著合数逐一被划掉,木板上变得千疮百孔,像是一个神奇的筛子,筛掉了合数,留下了质数.所以,人们将这种求质数的方法叫做"
埃拉托塞尼筛法"
.
1.我们把1~100的自然数,按照顺序列成一张百数表.（如下表）
2.首先把1划掉,因为1既不是质数,也不是合数.
3.接下来一个数是2,它是最小的质数,应予保留.但2的倍数一定不是质数,应该全部划掉;
也就是从2起,每隔1个数就划掉1个数.
4.在剩下的数中,3是第一个未被划掉的数,它是个质数,应予保留.但3的倍数一定不是质数,应该全部划掉;
也就是从3起,每隔2个数就划掉1个数.
5.在剩下的数中,4已被划掉了,其余的数,5成为第一个未被划掉的数,它是质数,也应予以保留.但5的倍数一定不是质数,应该全部划掉;
也就是从5起,每隔4个数就划掉1个数.
6.仿照步骤1～5,继续划下去,数表上最后剩下的就是1~100之间的质数了.
素数也叫质数，定义是一个整数它的约数只有1和它本身。
例：
2=1×
2（2它本身）13=1×
13（13它本身）所以2和13是素数。
还有23、43、53、111————————都是素数
合数的定义是一个整数它的约数只有1和它本身外还有别的约数。
4=1×
2
16=1×
16=2×
8=4×
4
24=1×
24=2×
12=3×
6
---------------------------所以4、16、24是合数。
还有6、10、1998、20000--------都是合数。
最小的素数是2，最小的合数是4，1不是素数也不是合数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形成，这几个质数就叫做这个合数的质因数，例如，因为70=2×
把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
一整数被另一整数整除,后者即是前者的因数,如1,2,4都为8的因数
A除法里，如果被除数除以除数，所得的商都是自然数而没有余数，就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数.
B我们将一个合数分成几个质数相乘的形式，这样的几个质数叫做这个合数的质因数。
C约数和因数的区别有三点：
1数域不同。
约数只能是自然数，而因数可以是任何数。
2关系不同。
约数是对两个自然数的整除关系而言，只要两个数是自然数，就能确定它们之间是否存在约数关系，如：
40÷
5=8，40能被5整除，5就是40的约数，12÷
10=1.2，12不能被10整除，10不是12的约数。
因数是两个或两个以上的数对它们的乘积关系而言的。
8×
0.2=1.6，8和0.2都是积1.6的因数，离开乘积算式就没有因数了。
3大小关系不同.当数a是数b的约数时，a不能大于b，当a是b的因数时，a可以大于b，也可以小于b。
例如，5是6什么是因数？
60的因数有多少个，分别是那些
所谓因数就是乘数和被乘数,两个数的积是60,它的因数有无数个,看在什么范围内,
在整数范围内,那么它的因数是有限的
1*60=60则1和60是60的因数
同样2*30=60则2和30是60的因数
3*20=60……………………共有
1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，60都是60的因数。
同样当是小数时，那么它的因数无限
1.2*50=60，那么1.2和50都是60的因数。
0的约数，5<
60，8是4.8的因数，8>
4.8
什么是非负整数、正整数、整数、有理数、实数？
非负整数：
0和正整数
正整数：
大于0的整数
整数：
自然数（例如1、2、3）、负的自然数（例如?
1、?
2、?
3）与零合起来统称为整数。
有理数：
数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比（ratio），通常写作a/b，故又称作分数。
希腊文称为λογο?
，原意为“成比例的数”（rationalnumber），但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。
不是有理数的实数遂称为无理数。
有理数的小数部分有限或为循环。
实数：
数学上，实数直观地定义为和数线上的点一一对应的数。
本来实数只唤作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。
实数集合通常用字母R或表示。
而Rn表示n维实数空间。
实数是不可数的。
实数是实分析的核心研究对象。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。
实数的定义：
从有理数构造实数
实数可以不同方式从有理数构造出来。
这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。
公理的方法
设R是所有实数的集合，则：
集合R是一个域：
可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。
域R是个有序域，即存在全序关系≥，对所有实数x,y和z：
若x≥y则x+z≥y+z；
若x≥0且y≥0则xy≥0。
集合R满足戴德金完备性，即任意R的非空子集S（S属于R，S不等于0），若S在R内有上界，那幺S在R内有上确界。
最后一条是区分实数和有理数的关键。
例如所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上界，如1.5；
但是不存在有理数上确界（因为√２不是有理数）。
实数通过上述性质唯一确定。
更准确的说，给定任意两个戴德金完备的有序域R1和R2，存在从R1到R2的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。
自然数：
简单说就是大于等于零的整数.
整数包括自然数和零。
（在整数系中,自然数为正整数,称0为零,称-1,-2,-3,…,-n,…为负整数.正整数,零与负整数构成整数系）
分数：
1/4就是把1个单位等分成4份，其中的一份是1/4，分数就是把1个单位等分成分母所给出的份数，然后取分子数那么多份。
如3/8:
分8份，取其中3份那么长就是了。
1/4就是把1个单位等分成4份，其中的一份是1/4。
百分数：
百分数有两种不同的定义。
（1）分母是100的分数叫做百分数。
这种定义着眼于形式，把百分数作为分数的一种特殊形式。
（2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数叫做百分数。
这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。
所以百分数又叫百分比或百分率。
正数：
就是自然数。
负数：
小于0的数字，通常用-N表示，如负十，写作：
-10。
小数：
当测量物体时往往会得到不是整数的数,古人就发明了小数来补充整数小数是十进分数的一种特殊表现形式。
所有分数都可以表示成小数，小数中除无限不循环小数外都可以表示成分数。
无理数为无限不循环小数。
自然数包括0、1、2、3……。
整数是0、1、2、3、4…………。
小数是有小数点的数叫小数例如：
0.1、0.2…………。
分数是表示一个数是另一个数的几分之几叫分数，例如：
9／2…………。
百分数是有百分号的，百分数表示一个数是另一数的百分之几。
正数是1、2、3、4……。
负数是-1、-2、-3……。
小学数学的基础知识、基本概念
零和自然数叫做整数。
（这里仅对小学范围内而言）
先弄清什么是“十进分数”。
分母是10n的（n为自然数）分数叫做“十进分数”。
由于任何一个“十进分数”都能写成小数的形式，例如：
7/10＝0.7，7/10^2＝0.07等等，所以一般而言，小数是特殊形式的分数。
但是不能说小数就是分数！
混小数（带小数）：
小数的整数部分不为零的小数叫混小数，也叫带小数。
纯小数：
小数的整数部分为零的小数，叫做纯小数。
循环小数：
小数部分有规律地重复出现一个或几个数字，例如：
0.333……，1.2470470470……都是循环小数。
纯循环小数：
与纯小数有实质性的区别，指循环节从十分位就开始的循环小数，叫做纯循环小数。
，。
混循环小数：
与纯循环小数有唯一区别：
不是从十分位开始循环的循环小数，叫混循环小数。
例如，，。
有限小数：
小数的小数部分只有有限个数字的小数（不全为零）叫做有限小数。
无限小数：
小数的小数部分有无数个数字（不包含全为零）的小数，叫做无限小数。
循环小数都属于无限小数的范围，但不是仅指循环小数而言。
例如，圆周率π也是无限小数（就现阶段而言，还没有发现其规律性）。
（分成零份在此不讨论）
真分数：
分子比分母小的分数叫真分数。
假分数：
分子比分母大，或者分子等于分母的分数叫做假分数。
（分母、分子为零在此不讨论）
带分数：
一个整数（零除外）和一个真分数组合在一起的数，叫做带分数。
带分数也是假分数的另一种表示形式，相互之间可以互化。
关于（n表示自然数）是否是分数：
是分数，但不能用分数的意义去解释它，它既不属于真分数，也不属于假分数，而是一个特殊分数。
数字（也就是数码）：
数：
在整数系中,自然数为正整数,称0为零,称-1,-2,-3,…,-n,…为负整数.正整数,零与负整数构成整数系.
大于0的是正数如1，2，3……
小于0的是负数如-1，-2，-3……
0既不是正数也不是负数
分数单位：
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。
表示这样的一份的数叫分数单位
一、教学目标
1使学生理解小数的意义，认识小数的计数单位，会读、写小数，会比较小数的大小。
2使学生掌握小数的性质和小数点位置移动引起小数大小变化的规律。
3使学生会进行小数和十进复名数的相互改写。
4使学生能够根据要求会用“四舍五入法”保留一定的小数数位，求出小数的近似数，并能把较大的数改写成用万或亿作单位的小数。
二、教学内容
本单元内容是在三年级“分数的初步认识”和“小数的初步认识”的基础上教学的，是学生系统学习小数的开始。
通过这部分内容的教学，使学生进一步理解小数的意义和性质，为今后学习小数四则运算打好基础。
具体安排如下表。
三、编排特点
1简化小数的意义的叙述。
小数实质上是十进分数的另一种表示形式，其依据是十进制位值原则。
但考虑到学生的接受能力，教材淡化十进分数为什么可以依照整数的写法用小数来表示的道理，着重从“小数是十进分数的另一种表示形式”来说明小数的意义，使学生明确“分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。
”如果有学生问起为什么十进分数可以用小数来表示，教师可以依其理解能力加以说明。
2注意给学生创设自主探索的空间。
本单元一些内容与前面的知识有一定的联系，教材在编排这些内容时，注意给学生创设自主探索的空间。
如，小数的读、写，学生在三年级下学期初步认识小数时已学习过，这里只是小数的数位增加了，读、写方法没有变。
因此，教材先出示一些小数，让学生试着读、写，在读、写过程中进一步明确小数读、写的方法。
3重视对小数意义的理解。
对小数意义的理解要涉及到十进分数，由于学生没有系统学习分数的知识，理解分数的十进关系有困难，为此教材除了在正式教学小数的意义时，借助计量单位的十进关系（如，长度单位）来帮助学生理解外，在练习中还安排了很多根据十进制计量单位理解小数的实际意义的练习。
如教科书第61页第4题“用手势比划下面的长度”，第63页第10题“说说下面小数的实际含义”等。
4加强与实际生活的联系。
小数在实际生活中的应用非常广泛，为了让学生体会这一点，教材单设一小节“生活中的小数”将生活中的小数、单名数与复名数的互化合并在一起进行教学。
其中，单名数与复名数的互化还是从解决问题的角度来编排，使学生体会到单名数与复名数的互化是解决实际问题的需要。
5改变了“小数点位置移动引起小数大小变化规律”中“扩大……倍”“缩小……倍”的说法。
“扩大……倍”与“缩小……倍”在小学数学阶段约定俗成的理解是：
扩大几倍就是乘几。
缩小几倍就是除以几。
但是一些人对此有不同的看法，有人认为：
数a扩大n倍，应是a+na倍，而不是na。
也有人认为：
“倍”只适用于数的扩大，不适用于数的缩小。
考虑到上述问题以及与中学的衔接，我们在本套教材中进行了尝试性的改变。
在“小数点位置移动引起小数大小变化规律”中，将“扩大……倍”“缩小……倍”修改为“扩大到……倍”“缩小到……分之一”。
四、具体编排
第一小节小数的意义和读写法
1小数的产生和意义。
（1）主题图。
简要地呈现了“小数产生”的过程。
（2）例1。
①选用了米尺作为教学小数意义的直观教具，以长度单位为例说明小数实质上是十进分数的另一种表示形式。
②分三个层次编排：
先通过分米数改写成米数，说明十分之几的数用一位小数来表示；
再通过厘米数改写成米数，说明百分之几的数用两位小数来表示；
然后通过毫米数改写成米数，说明千分之几的数用三位小数来表示。
三个层次的内容共同说明，把低级单位的数改写成高级单位的数可以用分母是10、100、1000……的分数表示，再进一步用小数表示。
③在上面的基础上抽象、概括出小数的意义。
使学生明确：
分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。
最后教材说明小数的计数单位，单位间的进率由学生自己填出。
2小数的读法和写法。
（1）小数数位顺序表的整理。
由三个具体的不同位数的小数，说明小数由整数部分、小数点、小数部分构成；
然后说明小数各数位上的数的含义。
在此基础上，整理出小数的数位顺序表。
通过表的形式很直观地把小数的数位名称和相应的计数单位分别对应起来，同时也把整数部分和小数部分的数位关系表示出来，使学生熟悉每个小数数位的位置和所表示的数是多少。
完成数位顺序表。
（2）例2，教学小数的读法。
小数的读法有两种，一种是直接读法，即整数部分按整数的读法来读，小数部分要顺次读出每一位上的数。
这种方法简便易学，且便于写出小数。
另一种读法是按分数意义读，这与十进分数一致，有利于理解小数的意义。
考虑到目前学生的分数知识较少，教材中只教学小数的直接读法。
注意强调：
①整数部分是0的小数，整数部分就读“零”。
②小数部分有几个0就读出几个零。
这可以通过创设不同形式的练习让学生理解、巩固。
（3）例3，小数的写法，环保教育。
由广播的形式说明在实际生活中有时需要将听到的小数记录下来，引出写小数。
在每种情况中，教材只给出了第一个小数的写法，其余的小数由学生自己写。
既给学生提供了模仿的样板，同时也留有探究的空间。
通过学生的讨论突出了整数部分是0的小数的写法，在此基础上，使学生进一步明确小数的写法。
第二小节小数的性质和大小比较
1小数的性质。
例1小数的性质
例2、例3小数性质的应用
（1）例1探究小数的性质。
通过让学生量出01米、010米、0100米的三段纸条，看能发现什么，由此引导学生探究小数的性质。
教材通过米尺图把它们分别表示出来，并联系分数说明它们所表示的长度是相同的，所以它们是相等的。
最后通过观察01米＝010米＝0100米，使学生初步知道小数末尾添上“0”或去掉“0”小数的大小不变。
（2）例2、例3。
例2说明应用
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