完整版三角形全等之倍长中线讲义.docx

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完整版三角形全等之倍长中线讲义

三角形全等之倍长中线（讲义）

Ø课前预习

1.填空

（1）三角形全等的判定有：

三边分别___________的两个三角形全等，即（____）；

两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）；

斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．

（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明．其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．

2.想一想，证一证

已知：

如图，AB与CD相交于点O，且O是AB的中点．

（1）当OC=OD时，求证：

△AOC≌△BOD；

（2）当AC∥BD时，求证：

△AOC≌△BOD．

Ø知识点睛

1.“三角形全等”辅助线：

见中线，要__________，________之后______________．

2.中点的思考方向：

①（类）倍长中线

延长AD到E，使DE=AD，延长MD到E，使DE=MD，

连接BE连接CE

②平行夹中点

延长FE交BC的延长线于点G

Ø精讲精练

1.如图，AD为△ABC的中线．

（1）求证：

AB+AC>2AD．

（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．

2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．

求证：

AB=AC．

3.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．

求证：

①CE=2CD；②CB平分∠DCE．

4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．

求证：

∠AEF=∠EAF．

5.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．

求证：

AD为△ABC的角平分线．

6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．

7.如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．

求证：

EG=CG且EG⊥CG．

【参考答案】

Ø课前预习

1.

（1）相等，SSS；夹角，SAS；夹边，ASA；对边，AAS；

直角，HL

（2）全等，三，边

2.

（1）证明：

如图

∵O是AB的中点

∴AO=BO

在△AOC和△BOD中

∴△AOC≌△BOD（SAS）

（2）证明：

如图

∵O是AB的中点

∴AO=BO

∵AC∥BD

∴∠A=∠B

在△AOC和△BOD中

∴△AOC≌△BOD（ASA）

Ø精讲精练

1.

（1）证明：

如图，

延长AD至E，使DE=AD，连接BE

∴AE=2AD

∵AD是△ABC的中线

∴BD=CD

在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（SAS）

∴BE=AC

在△ABE中，AB+BE>AE

∴AB+AC>2AD

（2）解：

由

（1）可知

AE=2AD，BE=AC

在△ABE中，

AB-BE

∵AC=3，AB=5

∴5-3

∴2<2AD<8

∴1

2.

证明：

如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE

在△ADC和△EDB中

∴△ADC≌△EDB（SAS）

∴AC=EB，∠2=∠E

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

∴∠1=∠E

∴AB=BE

∴AB=AC

3.

证明：

如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF

∴CF=2CD

∵CD是△ABC的中线

∴BD=AD

在△BDF和△ADC中

∴△BDF≌△ADC（SAS）

∴BF=AC，∠1=∠F

∵CB是△AEC的中线

∴BE=AB

∵AC=AB

∴BE=BF

∵∠1=∠F

∴BF∥AC

∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°

又∵AC=AB

∴∠1+∠2=∠5

又∵∠4+∠5=180°

∴∠4=∠5+∠6

即∠CBE=∠CBF

在△CBE和△CBF中

∴△CBE≌△CBF（SAS）

∴CE=CF，∠2=∠3

∴CE=2CD

CB平分∠DCE

4.

证明：

如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM

∵D是BC边的中点

∴BD=CD

在△ADC和△MDB中

∴△ADC≌△MDB（SAS）

∴∠1=∠M，AC=MB

∵BE=AC

∴BE=MB

∴∠M=∠3

∴∠1=∠3

∵∠3=∠2

∴∠1=∠2

即∠AEF=∠EAF

5.

证明：

如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM

∵点E是BC的中点

∴BE=CE

在△CFE和△BME中

∴△CFE≌△BME（SAS）

∴CF=BM，∠F=∠M

∵BG=CF

∴BG=BM

∴∠1=∠M

∴∠1=∠F

∵AD∥EF

∴∠3=∠F，∠1=∠2

∴∠2=∠3

即AD为△ABC的角平分线

6.

解：

如图，延长AF交BC的延长线于点G

∵AD∥BC

∴∠3=∠G

∵点F是CD的中点

∴DF=CF

在△ADF和△GCF中

∴△ADF≌△GCF（AAS）

∴AD=CG

∵AD=2.7

∴CG=2.7

∵AE=BE

∴∠1=∠B

∵AB⊥AF

∴∠1+∠2=90°

∠B+∠G=90°

∴∠2=∠G

∴EG=AE=5

∴CE=EG-CG

=5-2.7

=2.3

7.证明：

如图，延长EG交CD的延长线于点M

由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90°

∴∠DCB+∠FEB=180°

∴EF∥CD

∴∠FEG=∠M

∵点G为FD的中点

∴FG=DG

在△FGE和△DGM中

∴△FGE≌△DGM（AAS）

∴EF=MD，EG=MG

∵△FEB是等腰直角三角形

∴EF=EB

∴BE=MD

在正方形ABCD中，BC=CD

∴BE+BC=MD+CD

即EC=MC

∴△ECM是等腰直角三角形

∵EG=MG

∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°

∴∠2=∠3=45°

∴EG=CG