全等三角形-辅助线做法讲义.doc
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龙文教育中小学1对1课外辅导专家
全等三角形问题中常见的辅助线的作法
巧添辅助线一——倍长中线
【夯实基础】
例：
中，AD是的平分线，且BD=CD，求证AB=AC
方法1：
作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，证明二次全等
方法2：
辅助线同上，利用面积
方法3：
倍长中线AD
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC中方式1：
延长AD到E，
AD是BC边中线使DE=AD，
连接BE
方式2：
间接倍长
作CF⊥AD于F，延长MD到N，
作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，
连接BE连接CD
【经典例题】
例1：
△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
例2：
已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：
BD=CE
例3：
已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：
AF=EF
提示：
倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA
三角形BEG是等腰三角形
例4：
已知：
如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.
求证：
AE平分
提示：
方法1：
倍长AE至G，连结DG
方法2：
倍长FE至H，连结CH
例5：
已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，
求证：
∠C=∠BAE
提示：
倍长AE至F，连结DF
证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）
进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）
【融会贯通】
1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
提示：
延长AE、DF交于G
证明AB=GC、AF=GF
所以AB=AF+FC
2、如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F.求证：
3、已知：
如图，DABC中，ÐC=90°，CM^AB于M，AT平分ÐBAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：
CT=BE.
提示：
过T作TN⊥AB于N
证明ΔBTN≌ΔECD
截长补短法引辅助线
思路：
当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：
，如直接证不出来，可采用截长法：
在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：
延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。
通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。
例1.如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。
求证：
AB＝AC＋CD
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证法一：
（补短法）
延长AC至点F，使得AF＝AB
在△ABD和△AFD中
∴△ABD≌△AFD（SAS）
∴∠B＝∠F
∵∠ACB＝2∠B
∴∠ACB＝2∠F
而∠ACB＝∠F＋∠FDC
∴∠F＝∠FDC
∴CD＝CF
而AF＝AC＋CF
∴AF＝AC＋CD
∴AB＝AC＋CD
证法二：
（截长法）
在AB上截取AE＝AC，连结DE
在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD（SAS）
例2.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，证明：
BD＝2CE。
分析：
这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长BA，CE交于F，证△BEF≌△BEC，得，再证△ABD≌△ACF，得BD＝CF。
1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：
CD⊥AC
2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，
求证;AB＝AC+BD
3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。
求证：
BQ+AQ=AB+BP
4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，
求证：
5.已知：
如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若∠C=2∠B,证明：
AB=AC+CD.
6.已知：
如图，△ABC中，∠A=60°，∠B与∠C的平分线BE,CF交于点I，求证：
BC=BF+CE.
7.已知：
如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，求证：
BE=CF+AE.
与角平分线有关的辅助线
角平分线具有两条性质：
a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
（1）截取构全等
如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：
BC=AB+CD。
简证：
在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
例2．已知：
如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC
分析：
此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
例3．已知：
如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：
AB-AC=CD
分析：
此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。
练习
1．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：
AB+BD=AC
2．已知：
在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：
AE=2CE
3．已知：
在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。
求证：
BM-CM>AB-AC
4．已知：
D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。
求证：
BD+CD>AB+AC。
（2）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1．如图2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：
∠ADC+∠B=180
分析：
可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC与∠B之和为平角。
例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。
求证：
BC=AB+AD
分析：
过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。
此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。
例3．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证：
∠BAC的平分线也经过点P。
分析：
连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等
练习：
1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥OA，如果PC=4，则PD=（）A4B3C2D1
2．已知在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。
3．已知：
如图2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，
AE=（AB+AD）.求证：
∠D+∠B=180 。
4.已知：
如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC
上的点，∠FAE=∠DAE。
求证：
AF=AD+CF。
5．已知：
如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。
求证CF=BH。
（3）、作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1．已知：
如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。
求证：
DH=（AB-AC）
分析：
延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。
问题可证。
例2．已知：
如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：
BD=2CE。
分析：
给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3．已知：
如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BN垂直AD,交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。
求证：
AM=ME。
分析：
由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。
例4．已知：
如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。
求证：
AM=（AB+AC）
分析：
题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=EC，另外由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。
练习：
1．已知：
在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。
2．已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=BC
（4）、以角分线上一点做角的另一边的平行线
1
2
A
C
D
B
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
如图4-1和图4-2所示。
例4如图，AB>AC,∠1=∠2，求证：
AB－AC>BD－CD。
B
D
C
A
例5如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，
求证：
∠A+∠C=180。
A
B
E
C
D
例6如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：
AD=AB+CD。
C
A
B
练习：
1.已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。
求证：
△ABC是直角三角形。
A
B
D
C
1
2
2．已知：
如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：
DC⊥AC
A
E
B
D
C
3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：
AC=AE+CD
A
B
C
D
4．已知：
如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：
BC=AB+AD
（5）、且垂直一线段，应想到、角平分线等腰三角形的中线
例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：
BD=2CE。
证明：
延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，
∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，
∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和∴ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。
注：
此例中BE是等腰ΔBCF的底边CF的中线。
（六）、借助角平分线造全等
1：
如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：
OE=OD
2：
（06郑州市中考题）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.
总结口诀：
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
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