高考数学考前必看基本知识篇文科数学.docx
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高考数学考前必看基本知识篇文科数学
保持平常心，营造好环境，扬起常笑脸，轻松迎高考
郑州一中2020届高考考前必看——数学（文）
一、集合与简易逻辑
1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：
{x|y=lgx}与{y|y=lgx}及{（x,y）|y=lgx}
2.判断命题的真假要以真值表为依据.原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与其否命题是等价命题，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；
3.判断命题充要条件的三种方法：
（1）定义法；
（2）利用集合间的包含关系判断，若A⊆B，则A是B的
充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：
即利用等价关系
"A⇒B⇔B⇒A"判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；
4.
（1）含n个元素的集合的子集个数为2n，真子集（非空子集）个数为2n－1；
（2）A⊆B⇔AB=A⇔AB=B;
（3）CI（AB）=CIACIB,CI（AB）=CIACIB;
二、函数与导数
1.复合函数定义域求法：
若已知f（x）的定义域为［a，b］，其复合函数f[g（x）]的定义域由不等式a≤g（x）≤b
解出即可；若已知f[g（x）]的定义域为[a，b]，求f（x）的定义域，相当于x∈[a，b]时，求g（x）的值域（即的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
2.函数的奇偶性
f（x）
（1）若f（x）是偶函数，那么f（x）=f（－x）=f（x）；
（2）若f（x）是奇函数，0在其定义域内，则f（0）=0（可用于求参数）；
（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：
f（x）±f（-x）=0或f（-x）=±1（f（x）≠0）；
f（x）
（4）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
3.函数图像（或方程曲线的对称性）
（1）曲线C1：
f（x，y）=0，关于y=x+a（y=-x+a）的对称曲线C2的方程为f（y－a，x+a）=0（或f（－y+a，－x+a）=0）；
（2）曲线C1:
f（x，y）=0关于点（a，b）的对称曲线C2方程为：
f（2a－x，2b－y）=0；
（3）若函数y=f（x）对x∈R时，f（a+x）=f（a－x）恒成立，则y=f（x）图像关于直线x=a对称；
（4）函数y=f（x－a）与y=f（b－x）的图像关于直线x=a+b对称；
2
4.函数的周期性与对称性
（1）y=f（x）对x∈R时，f（x+a）=f（x－a）或f（x－2a）=f（x）（a>0）恒成立，则y=f（x）是周期为2a的周期函数；
（2）若y=f（x）是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f（x）是周期为2︱a︱的周期函数；
（3）若y=f（x）奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f（x）是周期为4︱a︱的周期函数；
（4）若y=f（x）关于点（a，0），（b，0）对称，则f（x）是周期为2a-b
的周期函数；
（5）y=f（x）的图象关于直线x=a，x=b（a≠b）对称，则函数y=f（x）是周期为2a-b
的周期函数；
1
f（x）
，则y=f（x）是周期为2a的周期函数；
（6）y=f（x）对x∈R时，f（x+a）=－f（x）（或f（x+a）=
-
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共10页高考数学考前必看--基本知识篇（文科数学）
保持平常心，营造好环境，扬起常笑脸，轻松迎高考
5.方程k=f（x）有解⇔k∈D（D为f（x）的值域）；
恒成立⇔a≥［f（x）］max；
恒成立⇔a≤［f（x）］min；
6.a≥f（x）
a≤f（x）
（2）logaN=logbN
7.
（1）logb=log
bn
（a>0，a≠1，b>0，n∈R+）；
（a>0，a≠1，b>0，b≠1）；
a
an
loga
b
logab的符号由口诀“同正异负”记忆；
（3）
（4）alogaN=N（a>0，a≠1，N>0）；
8.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：
一看开口
方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；
ax+b
b-ac
a
9.掌握函数y=
=a+
（b-ac≠0）;y=x+（a>0）的图象和性质；
x
x+c
x+c
10．实系数一元二次方程f（x）=ax2+bx+c=0（a>0）的两根x,x的分布问题：
12
注意：
若在闭区间[m,n]讨论方程f（x）=0有实数解的情况，可先利用在开区间（m,n）上实根分布的
情况，得出结果，再令x=n和x=m检查端点的情况.
11.函数单调性的判断方法：
定义法，分解成基本函数法（复合，加减），图像法，导数法；求函数单调区间时，你是否写成了区．间．形式，两个单调区间不．能．并．起来.
12.根据导数法研究函数单调性时，熟记八个基本函数求导公式，和差积商四则运算的求导公式，复合函数
1
的求导公式.特别提醒内层函数为a-x形式的复合函数，如[ln（1-x）]'=-
.
1-x
f'（x）>0（<0）的解是函数
f（x），不等式
f（x）的递增（减）区间.y=f（x）在给定
13.对于可导函数
区间上单调递增（减）⇔f'（x）≥0（或f'（x）≤0）在区间上恒成立（“=”丢不得）
y=f（x）在给定区间上不单调⇔f'（x）>0（或f'（x）<0）在区间有解（“=”要不得）
14.f'（x0）=0是可导函数y=f（x）在x=x0处有极值的必要条件．若求极值，必须指明极大（小）值，其中极
值点只是一个点．的．横．坐．标．，最值及最值点也是同样的要求哦！
xIf（x）>0恒成立，则f（x）min>0；若∀x∈If（x）<0恒成立，则f（x）max<0；
15.若
若∃x0∈I使得f（x0）>0，则f（x）max>0；若∃x0∈I使得f（x0）<0，则f（x）min<0.
16.设f（x）与g（x）的定义域的交集为D，若∀x∈Df（x）>g（x）恒成立，则有[f（x）-g（x）]
min
>0
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根的情况
x1≥x2>k
mx1等价命题
在（k,+∞）上有两
根
在（m,n）上有两根
在（k,+∞）和（-∞,k）上各有一根
充要条件
⎧
⎪∆≥0
⎪
⎨f（k）>0
⎪b
⎪->k
⎩2a
⎧∆≥0
⎪f（m）>0
⎪
⎨f（n）>0
⎪b
⎪m<-⎩2a
f（k）<0
遇难心不慌，遇易心更细
若对∀x1∈I1、x2∈I2，f（x1）>g（x2）恒成立，则f（x）min>g（x）max.
若对∀x1∈I1，∃x2∈I2，使得f（x1）>g（x2），则f（x）min>g（x）min.
若对∀x1∈I1，∃x2∈I2，使得f（x1）已知f（x）在区间I1上的值域为A，g（x）在区间I2上值域为B，若对∀x1∈I1，∃x2∈I2使得f（x1）=g（x2）
成立，则A⊆B.
17.若三次函数f（x）有三个零点，则方程f'（x）=0有两个不等实根x1,x2
18.证题中常用的不等式:
①lnx≤x-1（x>0）（仅当x=1时取“=”）
②ln（x+1）≤x（x>-1）（仅当x=0时取“=”）
且f（x1）f（x2）<0
③lnx（x>1）④
ex≥1+x⑤e-x≥1-x
x+12
a-b
0,a≠b）
ab<
⑥
lna-lnb2
三、数列
=⎧S1（n=1），
1.由Sn求an，a
注意验证a1是否包含在后面an
的公式中，若不符合要单独列出.
⎨S
n
-S（n≥2,n∈N*）
⎩nn-1
一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式；
2.等差数列｛a｝⇔a
-a=d（d为常数）⇔2a=a
+a（n≥2）⇔a=an+b⇔s=An2+Bn；
n+1n
nn+1n-1
n
n
n
3.等比数列｛a｝⇔an+1
=q（q为常数）⇔a2=aa（n≥2）⇔a
=aqn-1；
nn+1n-1
n1
n
a
n
4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式
⎧an
≥0
⎛
⎧an
≤0
⎫解决；
ç或⎨
⎪
⎨
⎩an+1≤0⎝⎩an+1≥0⎭
6.在等差数列中，a=a+（n-m）d，an-am；在等比数列中，
an
an=amq,q=n-m
n-m
；
d=
nm
n-m
am
7.当m+n=p+q时，对等差数列有am+an=ap+aq；对等比数列有am⋅an=ap⋅aq；
8.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+pbn}（k、p是非零常数）是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、
{anbn}等也是等比数列；
9.若数列{an}为等差（比）数列，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,
也是等差（比）数列；
等差数列{an}中，项数为偶数2n时，S偶－S奇=nd；项数为奇数2n-1时，S奇-S偶=a中（即an）；
10.
第3页
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遇难心不慌，遇易心更细
11.等比数列（实数范围内）中一定没有0这一项，且奇数项同号，偶数项同号．
12.数列通项的求法：
①公式法：
等差等比数列；②叠加法：
an=an-1+f（n），则
an=（an-an-1）+（an-1-an-2）++（a2-a1）+a1
（n≥2
乘法：
an=an-1⋅g（n），则
）；
③叠
⋅an-1⋅
a
an
⋅⋅a
san
a=
2
（n≥2）．
④待定系数法：
a=pa+q，⑤倒数法：
a
=
，
an-1an-2
a11
n
n-1
n+1
n
ta+s
n
1
an+1
1
an
=t，⑥周期数列，⑦观察法.
-
将递推公式变形为
s
1
=1（1-
1
1
=1（
1
1
）；②
-
13.常见裂项公式：
①
）；
n（n+k）knn+k
（2n+1）（2n-1）22n-12n+1
1
1
1
1
1
1
=（
-
=（
n+k-n）；
）；④
③
n（n+1）（n+2）2n（n+1）（n+1）（n+2）
n+n+k
k
2n
n
1
1
1
1
=-
=
-
⑤
（n+1）!
n!
（n+1）!
；
⑥
；
（2-1）（2
n+1
-1）2-12-1
n+1
n
n
n+1
⑧
n2（n+2）2
sin1
11
1
=tan（n+1）
-tann
=（
4n2
-）；
（n+2）2
⑦
cosncos（n+1）
；
（n+2）
tan（n+1）-tann
1
1
）；⑩tann⋅tan（n+1）=
-1
=4（
-
⑨
n（n+1）⋅2n-2
n⋅2n-1
（n+1）⋅2n+1
tan1
14.数列求和的常用方法：
①公式法；②倒序相加法；③错位相减法；④分组求和法；⑤裂项相消法．
15.数列的单调性与最值问题：
注意数列是特殊的函数.
四、三角函数
1.三角函数中的和、差、倍、降幂公式及其逆用、变形用都掌握了吗？
如cos2θ=cos2θ-sin2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ，cos2θ=1+cos2θ，sin2θ=1-cos2θ．
2
2
a
b
a2+b2sin（x+ϕ）（其中
sinϕ=
cosϕ=
2.辅助角公式：
asinx+bcosx=
，
a2+b2
a2+b2
tanϕ=b．）在求最值、化简时起着重要作用．
a
3.在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．
α+β
=（α-β）-（α-β）等）
（如β=（α+β）-α,β=（α-β）+α,
4.你还记得三角化简的通性通法吗？
2
22
从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：
切化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊
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四分学识智，三心细耐恒，二成应试法，一片平常心
角．异角化同角（角的变换：
和、差、倍、余、补角），异名化同名，高次化低次．
5.你能迅速完成三角函数（正弦、余弦、正切）图像及相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，对称
性：
轴对称及中心对称）的分析吗？
6.会用五点法画y=Asin（ωx+ϕ）的草图吗？
画图需要画哪些关键点（端点、极值点、拐点）？
会根据图
象求参数值吗？
7.在三角函数图象平移时最容易错的是平移多少个单位，你注意到ω的作用吗?
例如y=sin（2x+π）是由
3
π
π
y=sin2x向左平移而不是得到的．谨记：
只变x！
！
！
6
3
8.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？
会用它们解斜三角形吗？
如何实现边角互化？
（别忘
了，正弦定理可以用来求三角形外接圆的半径）
9.在△ABC中，a>b⇔A>B⇔sinA>sinB⇔cosA五、平面向量
1.两个向量平行的充要条件，设a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ为实数.
（1）向量式：
a∥b（b≠0）⇔a=λb；
（2）坐标式：
a∥b（b≠0）⇔x1y2－x2y1=0；
（1）向量式：
a⊥b（b≠0）⇔a⋅b=0；
（2）
2.两个向量垂直的充要条件，
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），
坐标式：
a⊥b⇔x1x2+y1y2=0；
3.设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a⋅b=abcosθ=x1x2+y1y2；其几何意义是a⋅b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；
4.设A（x1，x2）、B（x2，y2），则S⊿AOB＝1
2
5.常用结论
y-xy
；
x
1221
（1）向量共线的充要条件：
O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是→＝
→→
OPλOA
＋
λOB（
其中
1
2
λ1＋λ2＝1）．
（2）三角形中线向量公式：
若P为△OAB的边AB的中点，则向量→与向量→，→的关系是→
1
→＋
OP
OAOB
OP＝2（OA
→
OB）．
⎛
x＋x＋x
ABCyA＋yB＋yC⎫．
→
→
→
（3）三角形重心坐标的求法：
G为△ABC的重心⇔
GA
＋
GB
＋
GC
＝0⇔G
，
⎝3
3⎭
（4）奔驰定理：
已知O是∆ABC
内的一点，∆BOC,∆AOC,∆AOB的面积分别为SASB
SC，则：
，，
SA∙OA+SB∙OB+SC∙OC=0
推论：
O是∆ABC内的一点，且x∙OA+y∙OB+z∙OC=0，则S∆BOC:
S∆COA:
S∆AOB=x:
y:
z
（5）三角形中的心
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四分学识智，三心细耐恒，二成应试法，一片平常心
O是∆ABC的重心⇔OA+OB+OC=0
O是∆ABC的内心⇔a∙OA+b∙OB+c∙OC=0
O是∆ABC的外心⇔sin2A∙OA+sin2B∙OB+sin2C∙OC=0⇔OA=OB=OC
222
O是∆ABC的垂心⇔tanA∙OA+tanB∙OB+tanC∙OC=0
⇔OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA⇔
2
OA+
2222
BC=OB+CA=OC+
2
AB
欧拉定理：
设O,G,H分别是∆ABC的外心，重心，垂心，则OG=1OH.
3
（6）极化恒等式：
a⋅b＝1⎡（a+b）2-（a-b）2⎤
4⎢⎣
⎥⎦
几何意义：
向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
1.即：
a⋅b=1[AC2-
DB2]（平行四边形模式）
4
4
2-1
4
DB2（三角形模式）
在∆ABD中，M为BD的中点，则a⋅b=
AM
六、直线和圆的方程
1.直线l1:
A1x+B1y+C1=0与l2:
A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0；
C1-C2
2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是d=
；
A2+B2
3.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件：
A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；
4.过圆x2+y2=r2上的点M（x0，y0）的切线方程为：
x0x+y0y=r2；若M（x0，y0）在圆外，此方程为切点弦所在直线方程.
5.以A（x1，y2）、B（x2，y2）为直径的圆的方程是（x－x1）（x－x2）+（y－y1）（y－y2）=0；
6．
（1）直线与圆的位置关系：
（d表示圆心到直线的距离）
①d=R⇔相切；②dR⇔相离.
（2）圆与圆的位置关系：
（d表示圆心距，R,r表示两圆半径，且R>r）
①d>R+r⇔相离；②d=R+r⇔外切；③R-r④d=R-r⇔内切；⑤07．直线与圆相交所得弦长|AB|=2r2-d2
七、圆锥曲线方程
2
y2
x
1.椭圆焦半径公式：
设P（x，y）为椭圆
（a>b>0）上任一点，焦点为F（-c，0），F（c，0），则
+=1
00
1
2
a2b2
=a+ex0,PF2
=a-ex0（e为离心率）；
PF1
第6页
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意气风发，时光如梭看我少年学子六月追风去；风华正茂，云帆直挂令那美丽人生明朝入眼来
2双曲线x2
2
-y
（a>0，b>0）的渐近线方程为x2
2
-y
=1
=0
；
a2b2
a2b2
=x+p；y2=2px（p
3.抛物线焦半径公式：
设P（x0，y0）为抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，F为焦点，则PF
0
2
p
=-x0+2；
PF
＜0）上任意一点，F为焦点，则
4.涉及圆锥曲线的最值问题勿忘用定义解题；
5.共渐进线y=±bx的双曲线标准方程为x2
2
-y
为参数，λ≠0）；
=λ（λ
a
a2b2
6.弦长公式：
若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，
A、B两点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
∆
|a|
则弦长
=1+k2⋅
x-x
=
（1+k2）[（x+x）2-4xx]=
AB
21
12
12
1
k2
=（1+1）⋅[（y
]，体现了解析几何“设而不求”的解题思想；
=1+
⋅
y-y
+y）2-4yy
21
1
2
12
k2
7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为2b2，抛物线的通径为2p，焦准距为p；双曲线x2
2
-y
（a>0，
=1
a2b2
a
b>0）的焦点到渐进线的距离为b；
8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx2＝1；
9.抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1，y1）、
B（x2，y2），则有如下结论：
2p
sin2θ
．
（2）yy=－p2，xx=；（3）+=2.
1
1
p2
＝x+x+p=
AB
（1）
12
12
12
|AF||BF|p
4
2
y2
x
10.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法，设A（x，y）、B（x，y）为椭圆
（a>b>0）
+=1
11
22
a2b2
b2
x2y2
上不同的两点，M（x0，y
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