赵明旺版习题解答现控理论第2章.docx

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赵明旺版习题解答现控理论第2章

习题解答

2-1如题图2-1所示为RLC电路网络，其中S⑴为输入电压，安培表的指示电流0⑴为输出量。

试列写状态空间模型。

UJOC士Uc">0

題图2・1

解：

（1）根据回路电压和节点电流关系，列出各电压和电流所满足的关系式.

□（/）=⑴+U"

=+「（卄C%⑴铠Uc（t）

ata

⑵在这个电路中，只要给定了储能R元件电感L和电容c上的乙和冬的初始值，以及rZb

时刻后的输入量则电路中各部分的电压、电流在r心时刻以后的值就完全确定

了。

也就是说血和乞可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组，因此可选

乙和为&状态变量，即

巧（0=4>马（0=%

（3）将状态变量代入电压电流的关系式，有

dtL■L，

dx.11

T=cA1_^cX2

经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组一状态方程

■■

■■■

-1

■4

・C

RC]

（4）列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,

（5）

将上述状态方程和输出方程列写在一起，即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式

2-2如题图2-2所示为RLC电路网络,其中片⑴为输入电压*2⑴为输出电压。

试列写状态空间模型。

題图2-2

（2）选择状态变量•状态变量的个数应为独立一阶储能元件（如电感和电容）的个数•对本题

（5）将上述状态方程和输出方程列写在一起，即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式

（/?

i+R?

）L

（&+RJC

（R、+RjL

-1

（K+RJC

（/?

]+R2）

&£

（R】+RJa-2

2-3设有一个弹箕-质量■阻尼器系统，安装在一个不计质量的小车上,如题图2-3所示。

"和y为分别为小车和质量体的位移虫、b和山分别为弹箕弹性系数、阻尼器阻尼系数和质量体质量阻尼器。

试建立口为输入y为输出的状态空间模型。

解：

下面推导安装在小车上的弹賛一质量-阻尼器系统的数学模型。

假设/<0时小车静止不动,并且安装在小车上面的弹箕一质量一阻尼器系统这时也处干静止状态（平衡状态）。

在这个系统中上⑴是小车的位移，并且是系统的输入量。

当/=0时,小车以定常速度运动，即〃二常量。

质量的位移y⑴为输出量（该位移是相对干地面的位移）。

在此系统中，加表示质量"表示黏性摩擦系数山表示弹憊刚度。

假设阻尼器的摩擦力与成正比，并且假设弹黄为线性弹馒，即弹黄力与y成正比。

对干平移系统，牛顿第二定律可以表示为：

ma=VF

式中，加为质量,a为质量加速度，工F为沿着加速度。

的方向并作用在该质量上的外力之和。

对该系统应用牛顿第二定律，并且不计小车的质量，我们得到：

d'ydydu

m—=_b—-—一k（y-“）

drdtdt丿

即:

这个方程就是该系统的数学模型。

对这个方程进行拉普拉斯变换，并且令初始条件等于零,得到：

（ms2+bs+k）Y（s）=（bs+k）U（s）

取Y（s）与U（$）之比，求得系统的传递函数为：

U（s）ms'+bs+k

下面我们来求这个系统的状态空间模型。

首先将该系统的微分方程

・・b.kb・k

$—y—y=—uH—u

m'm'mm

与下列标准形式比较:

鲁:

41-

>£ho

ahai2_>h2

A£—a-0-1.?

>=&丄Gs（s

上Hy—zvfHy

X2H*I?

HXI&匸

粤：

■丄10」

2-4题图2-4为登月舱在月球软着陆的示意图。

其中,山为登月舱质量,g为月球表面重力常数,-血力项为反向推力,k为常数,y为登月舱相对干地球表面着陆点的距离。

现指定状态变量组“=y,=y和心=m，输入变量“=加，试列出系统的状态方程。

解：

本题属于由物理系统建立状态空间描述的基本题。

对给定力学系统,储能元件质量的相应变量即位置、速度和质量（本题中他也是随时间改变的），可被取为状态变量组

X]=y,X2=y和尤3=mo

基此，利用力学定律并考虑到输入变量M=m,先来导出

X=y=xi

夬§=m=it

在将此方程组表为向量方程，就得到系统的状态方程:

'010■

—

00—邑

石

000

■4

且由状态方程形式可以看出，给定力学系统为非线性系统。

2-5某磁场控制的直流电动机的简化原理图如题图2-5所示，其中电动机轴上的负栽为阻尼摩擦,其摩擦系数为上电动机轴上的转动惯量为Jo设输入为电枢电压e和激磁电压心输出为电机转角Q试列出系统的状态空间模型。

解设电动机的铁芯工作在非饱和区。

分析题图2-5所描述的电动机转速控制系统，可以写出电动机的主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动方程为

叫=R上+Ea

d/；

ltf=Rflf

“rd20

M=J—-+f—

drdr

式中，&和M分别为如下电动机电枢电势和电动机转矩，且

式中,q和盒分别为电动机的电枢电势常数和转矩常数；为磁场的磁通量，其正比干励磁回路电流&;山和山〃分别为比例常数。

因此，主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动可记为

对干上述微分方程组，若巳知电枢电流以4、角位移及其导数d&（f）/d/在初始时刻to的值,以及电枢电压心和励磁回路电压冷则方程组有惟一解。

因此,可以选择状态变量为

d&a）

因此，由微分方程组213）可得系统的状态方程为

输出方程为

尸X沁

由上述状态方程和输出方程可得系统的非线性状态空间模型为

V=X2

2-6题图2-6为一化学反应器，它是一个均匀、连续流动单元，其中发生如下反应速率常数为&的一级吸热反应

AJB

该化工反应生产过程为:

温度为常量％,含A物质浓度为常量Q/的料液以Q⑴的流量进入反应器;假定流出的液体的流量也为ao,保持单元液体体积为h为了使化学反应向右进行，用蒸汽对反应器的溶液进行加热,蒸汽加热量为皿几试以料液的流量an和蒸汽加热量mo为输入，容器的液体的温度和物质3的浓度为输出，建立状态空间模型。

题图2-6

参见2.2小节例题

2-7.将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型。

（1）y+2y+6y+3y=5u

（2）2y-3y=u

（3）y+4y+5y+2y=2'u+ii+u+2u

（1）由所求的系统输入输出方程，有

«i=2,他=6,@=3,b=5

当选择输出y及其1阶、2阶导数为状态变量时，可得状态空间模型为

■■

X+

■一3

-6

.5.

j=[l00]x

（2）先将方程变换成y的首项的系数为1,对方程两边除以2,得

...31…1

V一一H

-2-22

由所求的系统输入输出方程，有

內=0,a2=0,&3=-3/2,Z?

0=l/2,h2=0,b3=-l/2,

故由式（2-17）可得

00=久=1/2

01=勺-“屈=002=9-50】一"2几=003=◎-"|02-“201"A,=1/4

因此，当选择状态变量

召=y_0w=y_T“

x3=y-0*'--卩审=y~^

时，可写出状态空间模型为

010

001

X+

3/200

」/4.

（3）由所求的系统输入输出方程，有

6=2、

^1=4,%=5,码=2,h0=2,Z?

i=l,b2=l9

故由式（2-17）可得

0。

=%=2

A=勺_"屈=_7

几=$-也-60<>=19

A=$-绚02-①0]-600=-43

因此，当选择状态变量

pi=y_0（w=y_2H

<兀=y_0w一0/=y+lu一2ii

兀=y_卩、ii一0m一pji=y_i9w+hi一

时，可写出状态空间模型为

■

■■

-7

X+

■一2

-5

-4

-43

j=[100]x+2u

2-8将下列传递函数转换为状态空间模型

解

（1）由系统特征多项式?

+6.v2+11.s+6＞可求得系统的极点为

s2=-2,s3=-3

于是有

其中，

k}=[G（5）（s+1）]|j_1=12k2=[G（$）（s+2）]|_2=T2

心=[G（s）（s+3）]」=2

故当选择状态变量为Gs）分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出，则可得状态空间模型为

（2）对本题，先用长除法求出严格直有理函数如下

$_+2$+]_3s—5孑/、

G（s）=—=1+—=1+C（5）

•T+5s+6广+5s+6

S]=・2,s2=-3

由系统特征多项式+5，+6，可求得系统的极点为

干是有

其中，

kx=[G（s）（s+2川_2i

2=[G（5）（5+3）]|_3=-4

故当选择状态变量为G（s）分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出，则可得状态空间模型为

y=[1一4|x+m

⑶由系统特征多项式＜5+3）2（5+1），可求得系统的极点为

Si=S2=-3>S3=-l

于是有

6（5）=-^+-^+-^-

G_S]广S_S3

其中

心严[G（£）（s+3）川一=一3,«12=£[G（s）（s+3）2||x__2=-3,g=[G（s）（s+l）]|—]=3。

故当选择状态变量为G（s）分式串■并联分解的各个一阶惯性环节的输出，可得状态空间模型为

〔3

•

一3:

•

X+

百…

■

;-1

丿=[一3-33]x

2-9试求题图2-9所示系统的模拟结构图，并建立其状态空间模型。

題图2-9

解：

系统方框图变换成:

中：

x=Ax+Buy=Cx+Du

-kjkp

[kjkp

1/J）

-k」J\

则状态空间表达式＜

2-10给定题图2-10所示的一个系统方框图,输入变量和输出变量分别为"和儿试列出系统的一个状态空间模型。

■图2-10

解：

首先，定出状态方程。

对此,需将给定方块图化为图示规方块图，并按图中所示把每个一阶环节的输出取为状态变量西,x2,xs,x4。

进而，利用每个环节的因果关系，可以导出变换域变量关系式：

£（0=W）一5［禺“）一恳（$）］｝

忌C）=二｛xx（5）一x2（5）+£（s）+X4（•$）｝

為（'）=話｛&（£）一无2（s）+禺（s）+禺C）｝

禺（切=占忆⑶一名（£）｝

基此，可以导出变换域状态变量方程：

戏（5）=-2.Xj（£）—50x2（s）+50xj（$）+10〃（£）

sx2（5）=2x｛（5）-2x2（5）+2x3（5）+2x4（5）

5X3（5）=2xx（£）一2x2（5）+x3（5）+2a4（5）

sx4（5）=2x2（5）一x3（5）一3x4（5）

将上述关系式组取拉普拉斯反变换，并运用4｛巧（$）｝=念，就定义此方块图的状态变量方程：

i,=一2斗一50x2+50x3+10“x2=2召一2x2+2x5+2x4x3=2xj_2x2+x3+2x4

无4=x2一“一3.v4

再将上述方程组表为向量方程,得到此方块图的状态方程：

进而，定出输出方程。

对此，由方块图中相应环节显示的因果关系，可直接导出此方块图的输出方程：

y=[01一10]①

2-11巳知系统的状态空间模型为

现用丘=心进行状态变换，其变换矩阵为

试写出状态变换后的状态方程和输出方程。

解本题的线性变换为3c-Px,因此相应的各个矩阵的变换公式为

A=PAP'\B=PB.

P的逆矩阵为

因此有

■300

「1O'

A=PAP，'=

254/3

P=PB=

031

015

301/3

610

故系统在新的状态变量左下的状态空间模型为

300'

"1O'

254/3

031

015

1/3

2-12求下列各方阵A的特征值、特征向量和广义特征向量。

122

（1）A=

⑵A=212

221

■

（3）A=

（4）A=

一5

-12

-6

解

（1）由特征方程I入人41=0可求得系统的特征值为

Ai=l,A2=2

计算对应于入】=1的特征向量。

按定义有

（入1厶力）刃=0

将力、入]和阳代入上式，有

ro-3]「片」

11=0

L°-山％」

该方程组有无穷组解。

由Tn-rank（"再=1,即特征向量解空间为1维，其通解式为vi=[vn°r=[vu°r

令ni=i,可得如下独立的特征向量

v.=[io]T

再计算对应干重特征值入2=2的特征向量。

按定义有

（入2工力）陀=0

将力、入2和血代入上式，有

由干n-rank（?

厶4）=1,该方程组有特征向量解空间为1维，其通解式为

V2=[V21汀=[3叫2叫2「

因此，令陀2=1,解之得

聲[3if

（2）由特征方程|入人4|=0可求得系统的特征值为A1=A2=-1,入3=5即-1为系统的二重特征值，其代数重数为2o

计算对应于二重特征值-1的特征向量。

按定义有

（入旧4）珂=0将人入1和阳代入上式，有

由干n-rank（】厶4）=2,该方程组有特征向量解空间为2维,故特征向量解空间为2维，独立的特征向量数为2。

解该方程，可得特征向量的通解式为

V1=h>V12V23）=hlV12-（VH+V12）]

因此，令vu=l,r12=0或1,解之得

片=[10-I]'和v2=[lI-2f

即重特征值2有两个线性独立的特征向量，故该重特征值的几何重数亦为2。

再计算对应于重特征值入3=5的特征向量。

按定义有

（入3“）陀=0

将人入3和巧代入上式，有

「4

■

■■

V31

-2

V32

■一2

-2

该方程组有无穷组解。

由于n-rank（/力）=1,即特征向量解空间为1维，其通解式为

V3=[V31V32hs]1=[V31V31^]1

令^1=1,可得如下独立的特征向量

v.=[l11]T

（4）由特征方程|2力|=0可求得系统的特征值为

入1=入2=1,入3=2

由于矩阵为友矩阵，因此对应干入2=1的特征向量和广义特征向量分别为

vu=vi=[）AA2]T=[1i川

v.,2=[012&]「=[012]T

对应于入3=2的特征向量和广义特征向量分别为

卩3=[1入石]T=[l24]'

（4）由特征方程|入人41=0可求得系统的特征值为

入1=入2=入3=・2

由于矩阵为友矩阵，因此对应TX1=A2=A3=-2的特征向量和广义特征向量分别为

VL1=V]=DAA2]T=[1一24]r%=[012Af=[01-4]t%=[00l]T=[001]T

2-13试将下列状态方程变换为约旦规形（对角线规形）

解⑴先求力的特征值。

由特征方程|入厶4|=0可求得系统的特征值为

求特征值所对应的状态向量。

由前述方法可求得特征值入1,入2,和入3所对应的特征向量分别为

Pi=[oi-i],qHioi|,p3=[-ioo]

取系统的特征向量组成线性变换矩阵P并求逆矩阵即有

「01

'010'

100

p-'=

011

-110

一111

'-I0O'

'2'

A=P^lAP=

010

B=P'lB=

002

-2

故系统在新的状态变量左下的状态空间模型为

-10o'

'2'

010

002

-2

-1

⑵先求力的特征值。

由特征方程1入人4|=0可求得系统的特征值为

求特征值所对应的状态向量。

由前述方法可求得特征值入"d,和入3所对应的特征向量分别为

Pi=[-4-3-2],p2=[321],°3=[211]

取系统的特征向量组成线性变换矩阵P并求逆矩阵即有

"-4

■

'1-1

■

p-l=

-2

1一2

'10O'

■-6-3'

020

B=P'lB=

-121

003

7-6

故系统在新的状态变量左下的状态空间模型为

'10O'

■■

-6一3

020

-121

003

7-6

2・14状态空间模型为

-2

-3

-1

_3.

y=[00\]x

（1）画出其模拟结构图;

（2）求系统的传递函数。

解：

（i）系统的模拟结构图如下:

（ii）传递函数G（s）由下式给出:

G（s）=C（sl-AY1B+D

'010'

-2-30

-11-3

对干该问题，矩阵A,B,C和D为:

C=[001],£）=0

因此：

2s2+7s+3

53+6s2+115+6

2-15巳知两系统的传递函数阵叩可和比⑴分别为

5+1$+2

0凹

$+2

试求两子系统串联联结和并联朕结时,系统的传递函数阵。

解：

串联朕结时,

W（s）=W2（s）W{（s）

5+35+4

S+1

5+2

1八

5+1

.5+1_

5*+2-

・]

+5$+7

s'+9/+26s+24]

"+4s+3]

+3s+2

并朕联结时,

W（s）=W]（5）+\V2（5）

5+15+2

5+35+4

S+1

0——

Ls+2]

_s+l

/+4s+3

+6s+8

s+1

5+2

2-16给定题图2-16所示的动态输出反馈系统,其中,

■»

■

q（5）=

5+1

5+2

5+1

5+2.

'。

2（$）=

s+3

-5+1

5+4

试定出反馈系统的传递函数矩阵G（$）。

題图2・16

解：

计算所依据的关系式为

G（S）=G（£”+G2（g（£）『或G（5）=[Z+G1（5）G2«，G1（5）

采用前一个计算公式。

对此，先行计算

6（X（$）=

L$+l

S+45+1

5+2

5+1

5+2.

（s+lX$+3）

5"+5s+7

（s+2X$+3Xs+4）

（S+厅

（s+1）（5+2）

s'+45+4

[/+G2（g（s）]=（$+1Xs+3）

52+55+7

（s+2）（$+3Xs+4）

+3s+3（s+lX$+2）

52+45+4[Z+G2（5）G1（5）]-1=（s+f+3）

+5s+7

（s+2Xs+3X$+4）

$~+3s+3

（s+1）（5+2）

（"+3s+3）（5+3\s+4）

54+1053+3752+625+41

（s+2X$+3X$+4）

（s+1治4+102+37“+62S+41）

（52+55+7^4-1）

$4+102+37“+62s+41

（52+4s+4）（5+2X$+4）

54+1053+37?

+625+41

基此，求得

G（s）=G«）[/+G2（$）G（s）『

5+2

s+1

S4-2.

+3s+3）（5+3）（5+4）

54+1053+37s2+625+41

（s+2）（S+3Xf+4）

（$+1）（s4+102+37s2+62s+41）

（厂+5j+7）（5+1）

"+10$'+37“+62$+41

（52+4s+4）（5+2X$+4）

54+1053+37j2+625+41

（y+2Xs+3X$+4）

“+10/+37”+62s+41

（$+3X$+4）

_s4+10

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