王明慈概率论与数理统计第二版习题解答习题五六Word格式文档下载.docx

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sxxn

xxnσ

==×

+×

=

=−=−×

++−×

=−=×

3.略

4.从总体中抽取容量为n的样本，设c为任意常数，k为任意正数，作变换

,

n

XX…

（）,1,2,,.

YkXcin=−=⋯

证明：

（1）

（2）其中及分别是的样本均值及样本;

Y

Xc

k

=+

;

y

x

=X

方差；

及分别是的样本均值及样本方差。

Y

YY…

证明

（1）由得

XX

=∑（）

YkXc=−

111

nn

YY

XcYncc

nkknnk

==

∴=+=+⋅=+

⋅

∑∑

观测值

123456

频数

15212520127

（2）

（）（）

yii

iix

SYYkXckXkc

kXkXkXXkS

⎡⎤=−=−−−

⎣⎦

=−=⋅−=⋅

∴=

5.从总体中抽取两组样本，其容量分别为及，设两组的样本均值分别为及，

X

样本方差分别为及，把这两组样本合并为一组容量为的联合样本。

12

nn+

证明：

（1）.联合样本的样本均值；

1122

nXnX

+

（2）.联合样本的样本方差

（）（）（）

（）（）

1212

11222

121212

nnXXnSnS

nnnnnn

−−+−

+−++−

（1）

111222

121122

umum

SnXSnX

SSnXnX

nnnn

++

211

XXXX

XXXXXXXX

−+−

+−

−+−+−+−

（）（）（）（）

111111

1111

（）0

XXnXX

nSnXX

⎡⎤

=−+−+−−

=−+−+

=−+−

又

1111122222

nXXnXX

nXXXXnXXXX

nXnXXnXnXnXXnX

=−++−+

∑同理

而

1111221122121122

1112222

nXnXnXnXnXnXnXnX

nXnnnX

+++

∴=−++⋅+−

化简得

nnXX

−

∴=+

6设随机变量X,Y,Z相互独立，都服从标准正态分布N.（0,1）,求随机变量函数

的分布函数与概率密度；

并验证§

5.4定理1当k=3时成立，即U～

UXYZ=++

3χ

X,Y,Z相互独立且都服从N（0,1）,则U～显然（）

3

0

u

U

Ueu

fuP

ou

−−⎧

>

⎪

⎛⎞

⎨⎜⎟

⎝⎠

≤

⎩

不然，直接求U的分布函数

0,0

0,

xyzu

xyz

PUuPXYZu

fxyzdxdydz

fxfyfzdxdydz

uPUu

uPUuedxdydz

π

++≤

≤=++≤

≤≤=

≤=

⎜⎟

∫∫∫

当

利用三重积分的性质（略）也可得到结论。

7.设随机变量X服从自由度为k的t分布，证明：

随机变量服从自由度为（1，k）

YX=

的F分布。

X～,则可将X记为～N（0,1）,V～（）tk,

XU

V

=其中（）

kχ

则其中～，V～

21

VV

kk

χ==

χ（）1

χ（）k

由F分布的定义知Y=～F（1,k）.

χ

8.设随机变量X服从自由度为的F分布，证明：

随机变量服从自由度为（）

1,2

的F分布；

从而证明等式（5.33）：

（）1,2

11,2

2,1

Fkk

α

X～F,则X可写成（）1,2

kk（）

Uk

χ∼其中（）

Vkχ∼

其中，，由F分布定义知

UX

==（）

Ukχ∼（）

Vkχ∼

YFkk

PXFkk

P

XFkk

=−

⎜⎟<

（）11,2

1

（1）P

αα

⎜⎟∴>

=−−=

PYPYFkk

=>

即＝

9.设总体X服从正态分布（）

5Nµ

（1）从总体中抽取容量为64的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值小于1Xµ

的概率（）

1;

PXµ

−<

（2）抽取样本容量n多大时，才能使概率达到0.95？

（）1PXµ

（1）（）0,1

N

µ

σ

∵∼

（）（）111PXPXµ

µ

∴−<

=−<

555

646464

−−

=<

<

⎜⎟

888

⎛⎞⎛⎞⎛⎞

=Φ−Φ−=Φ−

⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠⎝⎠

20.945210.8904=×

−=

nXn

σσσ

210.95

=Φ−=

0.975

5

1.969.896

∴Φ=⎜⎟

∴===

10.从正态总体N中抽取容量为10的样本，（）

0.5µ

1210

,XXX…

（1）已知，求的概率。

0µ

4

≥∑

（2）未知，求的概率。

（）2.85

−<

∑

44

0.50.5

PXPX

⎛⎞⎛⎞

≥=≥⋅

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

又（P133，定理3）

0.5

∑（）

10χ∼

10160.10Pχ∴≥=原式＝

（）2.85（）2.85

PXXPXX

×

又（定理4P133）

−∑（）

9χ∼

（）（）（）（）

911.41911.4PPχχ∴<

原式＝

10.250.75=−=

11.设总体，总体，从总体X中抽取容量为10的样本，（）

50,6XN∼（）

46,4YN∼

从总体Y中抽取容量为8的样本，求下列概率：

（1）

（2）（）08PXY<

8.28

<

（1）（）（）（）（）（）0805046504685046PXYPXY<

=−−<

−−−<

−−

222222

05046504685046

646464

108108108

XY

−−−−−−−

+++⎜⎟

有136定理6知，

5046

0,1

64

108

−−−

504644

5.65.6

−−−−

∴<

+⎜⎟

原式＝

210.909

5.6

又由P139，（）

101,81

F

−−∼

9,73.68

19,73.6810.050.95

∴=<

=−<

=−=

原式

12.设总体，抽取样本，样本均值为，样本方差为。

若（）

XNµ

σ∼

XX…X

再抽取一个样本，证明：

1n

统计量与相互独立。

（）

XXn

tn

nS

∼X

,,,,

XNXNXXNo

σµ

σ

⎛⎞+⎛⎞

∼∼∼

XXnn

nSnS

−+

⋅⋅

＝

SnSnS

σσ

⋅==

0,1,11334

nSXX

NnPTh

∴−

∼∼分子

∴（）

13.设总体，抽取样本，求下列概率：

8,2XN∼

12,10

（1）（）

max,,10PXXX⎡⎤>

（2）（）

min,,5PXXX⎡⎤≤

（1）＝1－（）

…（）

max,,10PXXX⎡⎤<

110,10,,10

1101010

8108

1（）

10.84130.8224

PXXX

PXPXPX

−−⎡⎤

⎢⎥

=−Φ⎡⎤

=−=

（2）（）（）

12,1012,10

min,,51min,,5PXXXPXXX⎡⎤⎡⎤≤=−>

⎣⎦⎣⎦

……

15,5,,5

115

858

11（）

111.5

11.50.4991

PPX

=−>

>

=−−<

⎡⎤

=−−Φ−⎡⎤

=−Φ=

14.设总体X服从泊松分布，抽取样本，求：

（）Pλ

（1）样本均值的期望与方差；

X

（2）样本均值的概率分布。

解：

（1）X

nnn

iii

XXX

DXDXn

λλ

λ

=Ε=Ε==

==⋅=

∑∑∑

（2）由泊松分布的可加性有：

12n

YXXXPPnλλλλ=+++++…∼⋯

�������

个

，则

∴=（）

0,1,2,

!

yn

PXPYyey

ny

=====

⋯

15.设总体X服从指数分布，抽取样本，求：

（）eλ

（2）样本方差的数学期望。

DXDX

Ε=Ε=

）

SXX

XnX

XnX

Ε=Ε−

=Ε−

=Ε−Ε

112

1211

iiii

DXXXX

XDXX

Sn

λλλ

∴=Ε−Ε∴Ε=+=

Ε=+Ε=+

⎡⎤⎛⎞

∴Ε=−⋅+

⎜⎟⎢⎥

−⎝⎠⎣⎦

−⎝⎠

第六章参数估计

2.设总体的概率密度为X

⎨

⎧<

.,0

10,

）;

（

其它

xf

θ

其中，若样本观测值为，求参数的矩估计值与最大似然估计值。

0>

θ

xxx,,,

⋯θ

（1）先求总体一阶矩：

10

（）（

∞+

∞−

∫∫

θθ

xdxxxdxxxfXE

样本一