浙教版八年级数学第三章知识点+经典例题+解析Word格式文档下载.docx
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（2）要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；
（3）“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；
如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；
“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；
如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；
（4）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘（除）
同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。
知识点三：
一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。
（1）一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：
①左右两边都是整式（单项式或多项多）；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1。
（2）一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。
相同点：
二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；
不同点：
一元一次不等式表示不等关系（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接），一元一次方程表示相等关系（用“＝”连接）。
知识点四：
一元一次不等式的解法
1.解不等式：
求不等式解的过程叫做解不等式。
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步
骤为：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化为1.
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用。
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。
3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：
有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：
大向右，小向左。
规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）
1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。
（性质2、3要倍加小心）
2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式
是否成立，若成立，就是不等式的解；
若不成立，则就不是不等式的解。
3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原
不等式变为或的形式，其一般步骤是：
（4）合并同项；
（5）化未知数的系数为1。
这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。
但要注意，去
分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。
解一元一次不等式的一般步骤及注意事项
变形名称
具体做法
注意事项
去分母
在不等式两边同乘以分母的最小公倍数
（1）不含分母的项不能漏乘
（2）注意分数线有括号作用，去掉分母后，如分子是多项式，要加括号
（3）不等式两边同乘以的数是个负数，不等号方向改变。
去括号
根据题意，由内而外或由外而内去括号均可
（1）运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项
（2）如果括号前是“—”号，去括号时，括号内的各项要变号
移项
把含未知数的项都移到不等式的一边（通常是左边），不含未知数的项移到不等式的另一边
移项（过桥）变号
合并同类项
把不等式两边的同类项分别合并，把不等式化为
或
的形式
合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及字母的指数不变。
系数化1
在不等式两边同除以未知数的系数
，若
且
，则不等式的解集为
；
若
（1）分子、分母不能颠倒
（2）不等号改不改变由系数
的正负性决定。
（3）计算顺序：
先算数值后定符号
4、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：
一是定边界点，二是定方向，三是定空实。
5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题。
6、常见不等式的基本语言的意义：
（1）
，则x是正数；
（2）
，则x是负数；
（3）
，则x是非正数；
（4）
，则x是非负数；
（5）
，则x大于y；
（6）
，则x小于y；
（7）
，则x不小于y；
（8）
，则x不大于y；
（9）
，则x，y同号；
（10）
，则x，y异号；
（11）x，y都是正数，若
，则
（12）x，y都是负数，若
第三章一元一次不等式
复习总目
1、理解不等式的三个基本性质
2、会用不等式的基本性质解一元一次不等式并掌握不等式的解题步骤
3、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组
知识点概要
一、不等式的概念
1、不等式：
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法
二、不等式基本性质
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：
在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；
三、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念：
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母
（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
四、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的概念：
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组
①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
7、不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式
中考规律盘点及预测
一元一次不等式（组）的解法及其应用，在初中代数中有比较重要的地位，它是继一元一次方程、二元一次方程的学习之后，又一次数学建模思想的学习，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容，在近几年来的考试中会出现此类型的题目
典型分析
例1解不等式组
分析解不等式
（1）得x>
-1,
解不等式
（2）得x≤1,
解不等式（3）得x<
2,
∴
∵在数轴上表示出各个解为：
∴原不等式组解集为-1<
x≤1
注意：
借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列，解集不包括-1而包括1在内，找公共解的图为图
（1），若标出解集应按图
（2）来画。
点评这类题型是常见的解一元一次不等式组，并结合数轴解题，在解题过程中要注意运算的准确性及数轴的表示法
例2求不等式组
的正整数解。
分析解不等式3x-2>
4x-5得：
x<
3，
解不等式
≤1得x≤2，1、先求出不等式组的解集。
∴
2、在解集中找出它所要求的特殊解，正整数解。
∴原不等式组解集为x≤2，
∴这个不等式组的正整数解为x=1或x=2
点评此类题型关键是正整数解，这要结合数轴将其正整数解出来，在运算过程中要注意正负数的运算，这在考试中是会经常出现的题型
例3m为何整数时，方程组
的解是非负数？
分析解方程组
得
∵方程组
的解是非负数，∴
即
解不等式组
∴此不等式组解集为
≤m≤
又∵m为整数，∴m=3或m=4。
点评本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即
。
先解方程组用m的代数式表示x,y,再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。
例4解不等式-3≤3x-1<
5。
分析解法
（1）:
原不等式相当于不等式组
解不等式组得-
≤x<
2，∴原不等式解集为-
2。
解法
（2）:
将原不等式的两边和中间都加上1，得-2≤3x<
6,
将这个不等式的两边和中间都除以3得，
-
2,∴原不等式解集为-
点评这题把不等式拆分成两个不等式并组成不等式组，做题很灵活，解法有两种，在解题过程中要注意正负数移项时的符号
例5有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于20并且小于40，求这个两位数。
分析 解法
（1）:
设十位上的数为x,则个位上的数为（x+2）,原两位数为10x+（x+2）,
由题意可得：
20<
10x+（x+2）<
40,
解这个不等式得，1
<
3
∵x为正整数，∴1
的整数为x=2或x=3，
∴当x=2时，∴10x+（x+2）=24,
当x=3时，∴10x+（x+2）=35,
答：
这个两位数为24或35。
解法
（2）:
设十位上的数为x,个位上的数为y,则两位数为10x+y,
由题意可得
（这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）。
将
（1）代入
（2）得，20<
11x+2<
解不等式得：
1
∵x为正整数，1
的整数为x=2或x=3,
∴当x=2时，y=4，∴10x+y=24,
当x=3时，y=5,∴10x+y=35。
解法（3）:
可通过“心算”直接求解。
方法如下：
既然这个两位数大于20且小于40，所以它十位上的数只能是2和3。
当十位数为2时，个位数为4，当十位数为3时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35。
点评这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。
题目中有两个主要未知数------十位上的数字与个位上的数；
一个相等关系：
个位上的数＝十位上的数+2,一个不等关系：
原两位数<
40。
基础练习
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、a、b、c在数轴上的对应点的位置如图1所示，下列式子中正确的有（）
图1
b+c>
0，
a+b>
a+c，
bc>
ac，
ab>
ac
A.1个；
B.2个；
C.3个；
D.4个.
2、不等式2x－5≤0的正整数解有（）
A．1个；
B．2个；
C．3个；
D．0个．
3、如图2，能表示不等式组
解集的是（）
A．B．
C．D．
图2
4、如图3，不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．C．D．
图3
5、不等式组
的解是（）
A、x≤2B、x≥2C、－1＜x≤2D、x＞－1
6、下面不等式组无解的是（）
A.
B.
C.
D.
.
7、已知
、
为实数，且
，设
，
的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．不确定
8、已知关于x的不等式组
无解，则a的取值范围是（）
A.a≤－1B.a≥2C.－1＜a＜2D.a＜－1，或a＞2
9、小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买钢笔（）．
A.12支；
B.13支；
C.14支；
D.15支．
10、小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,三人的体重一共为150千克,爸爸坐在跷跷板的一端；
体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端.这时,爸爸的那一端仍然着地.请你猜一猜小芳的体重应小于（）
A.49千克B.50千克C.24千克D.25千克
二、填空题（每小题3分，共30分）
11、若a>
b，则
．
12、如果
>
0，那么xy__0．
13、不等式5x－9≤3（x＋1）的解集是______.
14、不等式组
的整数解为______.
15、已知
，则x的最大整数值为_________．
16、在关于x1，x2，x3的方程组
中，已知
，那么将x1，x2，x3从大到小排起来应该是____________.
17、对于整数a,b,c,d，符号
表示运算ac-bd，已知1<
3，则b+d的值是____________．
18、已知关于x的不等式组
无解，则a的取值范围是_____．
19、已知不等式4x－a≤0的正整数解是1，2，则a的取值范围是_________．
20、为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；
若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．则这个中学共选派值勤学生______人，共有_____个交通路口安排值勤．
三、解答题（每小题7分，共35分）
21、解不等式组
，并写出此不等式组的整数解．
22、已知关于x、y的方程组
的解满足x>
y>
0，化简|a|+|3－a|．
23、有一个两位数，其中十位上的数字比个位上的数字小2，如果这个两位数大于20而小于40，求这个两位数．
24、慧秀中学在防“非典”知识竞赛中，评出一等奖4人，二等奖6人，三等奖20人，学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等次的奖品相同．
（1）若一等奖，二等奖、三等奖的奖品分别是喷壶、口罩和温度计，购买这三种奖品共计花费113元，其中购买喷壶的总钱数比购买口罩的总钱数多9元，而口罩的单价比温度计的单价多2元，求喷壶、口罩和温度计的单价各是多少元？
（2）若三种奖品的单价都是整数，且要求一等奖的单价是二等奖单价的2倍，二等奖的单价是三等奖单价的2倍，在总费用不少于90元而不足150元的前提下，购买一、二、三等奖奖品时它们的单价有几种情况，分别求出每种情况中一、二、三等奖奖品的单价？
25、某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评．结果如下表所示：
表1演讲答辩得分表（单位：
分）
A
B
C
D
E
甲
90
92
94
95
88
乙
89
86
87
91
表2民主测评票数统计表（单位：
张）
“好”票数
“较好”票数
“一般”票数
40
7
42
4
规定：
演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；
民主测评得分＝“好”票数×
2分＋“较好”票数×
1分＋“一般”票数×
0分；
综合得分＝演讲答辩得分×
（1－a）＋民主测评得分×
a（0.5≤a≤0.8）．
⑴当a＝0.6时，甲的综合得分是多少？
⑵a在什么范围时，甲的综合得分高？
a在什么范围时，乙的综合得分高？
四、探索题（第26、27小题，每小题8分，第28小题9分，共25分）
26、马小虎同学在做练习时，有两道不等式组是这样解的：
（1）解不等式组
小虎解法：
由不等式①，得
2
由不等式②，得
x>
所以，原不等式组的解集为
2>
3．
（2）解不等式组
②-①，得不等式组的解集为
-13．
你认为小虎的解法对吗？
为什么？
如果有错误，请予以改正．
27、a克糖水中有b克糖（a>
b>
0），则糖的质量与糖水的质量比为_________；
若再加c克糖（c>
0），则糖的质量与糖水的质量比为___________．生活常识告诉我们：
加的糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列式子及这个生活常识提炼一个不等式．
28、某园林的门票每张10元，一次性使用．考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）.年票分A、B、C三类,A类年票每张120元，持票者进人园林时，无需再购买门票；
B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；
C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元.
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式；
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算
参考答案
一、CBABC，CBBBD．
二、11、<
12、>
13、x≤6；
14、-3，-2；
15、0；
16、x2>
x1>
x3；
17、3或者-3；
18、a≥3；
19、8≤a<
12；
20、158，20．
三、21、不等式①的解是x≤4，
不等式②的解是
所以不等式组的解为
所以它的整数解为1，2，3，4．
22、由方程组
，解得
由x>
0，得
解得
a>
当2<
a≤3时，|a|＋|3－a|＝a＋3－a＝3；
当a>
3时，|a|＋|3－a|＝a＋a－3＝2a－3．
23、设十位上的数字为x，则个位上的数字为x＋2．
根据题意得20<
10x＋x＋2<
40，
以上不等式可化成下列不等式组
由①得
由②得
所以不等式组的解集是
因为x表示的是十位上的数字，
所以x只能是2或3，
则个位上数字是4或5，
所以这个两位数是24或35．
答：
这个两位数是24或35．
24、
（1）设喷壶和口罩的单价分别是y元和z元，根据题意，得
所以，z-2=2.5.
因此，喷壶、口罩和温度计的单价分别是9元、4.5元和2.5元.
（2）设三等奖奖品的单价为x元，则二等奖奖品的单价为2x元，一等奖奖品的单价为4x元.根据题意，得
90≤4×
4x+6×
2x+20x<
150
解得1
因为三种奖品的单价都是整数，所以x=2，或者x=3.
当x=2时，2x=4,4x=8；
当x=3时，2x=6,4x=12.
因此，购买一、二、三等奖奖品时它们的单价有两种情况：
第一种情况中一、二、三等奖奖品的单价分别是8元、4元和2元；
第二种情况中一、二、三等奖奖品的单价分别是12元、6元和3元.
25、⑴甲的演讲答辩得分为
=92（分），
民主评议得分为40×
2+7×
1+3×
0=80+7+0=87（分），
当a＝0.6时，甲的综合得分为92×
（1–0.6）+87×
0.6=36.8+52.2=89（分）.
（2）乙的演讲答辩得分为
=89（分），
民主评议得分为42×
2+4×
1+4×
0=84+4+0=88（分），
甲的综合得分为92×
（1–a）+87×
a=
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