第63讲 变量间的相关关系统计案例考点精讲学生版Word文件下载.docx

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设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表（2×

2列联表）如下：

y1

y2

总计

x1

a

b

a＋b

x2

c

d

c＋d

a＋c

b＋d

a＋b＋c＋d

（2）独立性检验

利用随机变量K2（也可表示为χ2）的观测值k＝

（其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量）来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．

题型归纳

题型1相关关系的判断

【例1-1】对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1,2，…，10），得散点图如图①，对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1,2，…，10），得散点图如图②.由这两个散点图可以判断（　　）

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

【例1-2】

（2019·

郑州市第一次质量预测）某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：

千元）与利润率统计表如下：

月份

1

2

3

4

5

6

人均销售额

8

7

利润率（%）

12.6

10.4

18.5

3.0

8.1

16.3

根据表中数据，下列说法正确的是（　　）

A．利润率与人均销售额成正相关关系

B．利润率与人均销售额成负相关关系

C．利润率与人均销售额成正比例函数关系

D．利润率与人均销售额成反比例函数关系

【跟踪训练1-1】已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是（　　）

A．x与y正相关，x与z负相关

B．x与y正相关，x与z正相关

C．x与y负相关，x与z负相关

D．x与y负相关，x与z正相关

【跟踪训练1-2】在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1,2，…，n）都在直线y＝

x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　）

A．－1　　　　　　　　B．0

C.

D.1

【跟踪训练1-3】变量X与Y相应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；

变量U与V相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（　　）

A．r2<

r1<

0B．0<

r2<

r1

C．r2<

0<

r1D.r2＝r1

【名师指导】

判断相关关系的2种方法

（1）散点图法：

如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．

（2）相关系数法：

利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强.

题型2回归分析

【例2-1】

四省八校双教研联考）越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：

周数x

正常值y

55

63

72

80

90

99

（1）作出散点图；

（2）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程

（精确到0.01）；

（3）根据经验观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为103，则该学生是否需要进行心理疏导？

其中

，

iyi＝1452，

＝91，

【例2-2】

合肥市第二次质量检测）为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构统计得到如下数据：

年份x

2014

2015

2016

2017

2018

足球特色学校数y/百个

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

（1）根据表中数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：

0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；

0.3≤|r|<

0.75，则认为y与x线性相关性一般；

|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱）；

（2）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）

．

参考公式及数据：

r＝

（xi－

）2＝10，

（yi－

）2＝1.3，

≈3.6056，

【跟踪训练2-1】

长春市质量监测）某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：

厘米），图1为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图2为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为

＝1.16x－30.75，以下结论中不正确的为（　　）

A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系

C．可估计身高为190厘米的人臂展为189.65厘米

D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米

【跟踪训练2-2】

贵阳市第一学期监测）互联网使我们的生活日益便捷络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业（以下简称外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如下表：

1日

2日

3日

4日

5日

外卖甲日接单x/百单

9

11

外卖乙日接单y/百单

10

15

（1）试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；

（2）据统计表明，y与x之间具有线性关系．

①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断（若|r|>

0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系（r值精确到0.001））；

②经计算求得y与x之间的回归方程为

＝1.382x－2.674，假定每单外卖业务，企业平均能获取纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围（x值精确到0.01）．

相关公式：

参考数据：

）（yi－

）＝66，

≈77.

一、线性回归分析问题的类型及解题方法

1．求线性回归方程

（1）利用公式，求出回归系数

（2）待定系数法：

利用回归直线过样本点的中心求系数．

2．利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．

3．利用回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数

二、模型拟合效果的判断

（1）残差平方和越小，模型的拟合效果越好．

（2）相关指数R2越大，模型的拟合效果越好．

（3）回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．

题型3独立性检验

【例3-1】

福州市质量检测）中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入

的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入

的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[0,3），[3,6），[6,9），[9,12），[12,15]（单位：

千元）分组的频率分布直方图如图所示．

乙小区租户的月收入（单位：

千元）的频数分布表如下：

月收入

[0,3）

[3,6）

[6,9）

[9,12）

[12,15]

户数

38

27

24

（1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”，把频率视为概率，求M的概率；

（2）利用频率分布直方图，求所抽取的甲小区100户租户的月收入的中位数；

（3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的2×

2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数与租住的小区”有关.

幸福指数低

幸福指数高

总　计

甲小区租户

乙小区租户

总　　计

附：

临界值表

P（K2≥k）

0.10

0.010

0.001

k

2.706

6.635

10.828

参考公式：

K2＝

【跟踪训练3-1】

（2020·

沧州模拟）某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表：

认为作业量大

认为作业量不大

男生

18

女生

23

26

50

已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025，

P（K2≥6.635）≈0.010.

则________（填“有”或“没有”）97.5%的把握认为“学生的性别与认为作业量大有关”．

【跟踪训练3-2】

郑州市第二次质量预测）为推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”，其设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1.将这200人按年龄（单位：

岁）分组，统计得到通过电子阅读的居民的频率分布直方图如图所示．

（1）求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；

（2）把年龄在[15,45）的居民称为中青年，年龄在[45,65]的居民称为中老年，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面2×

2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关？

电子阅读

纸质阅读

中青年

中老年

P（K2≥k0）

0.150

0.100

0.050

0.025

k0

2.072

3.841

5.024

2个明确

（1）明确两类主体；

（2）明确研究的两个问题

2个关键

（1）准确画出2×

2列联表；

（2）准确求解K2

3个步骤

（1）根据样本数据制成2×

（2）根据公式K2＝

，计算K2的值；

（3）查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断