三年高考数学文真题分类解析专题12平面向量Word格式.docx

三年高考数学文真题分类解析专题12平面向量Word格式.docx

《三年高考数学文真题分类解析专题12平面向量Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三年高考数学文真题分类解析专题12平面向量Word格式.docx（27页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

（1）平面向量的数量积

①理解平面向量数量积的含义及其物理意义;

②了解平面向量的数量积与向量投影的关系;

③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;

④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

（2）向量的应用

①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;

②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题

理解

★★★

2.平面向量的

长度问题

3.平面向量的夹角、

两向量垂直及数

量积的应用

分析解读1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;

掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.

2018年高考全景展示

1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·

b+3=0，则|a−b|的最小值是

A.

−1B.

+1C.2D.2−

【答案】A

【解析】分析:

先确定向量

所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.

点睛：

以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.

2．【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，已知

则

的值为

B.

C.

D.0

【答案】C

【解析】分析：

连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.

详解：

如图所示，连结MN，由

可知点

分别为线段

上靠近点

的三等分点，

，由题意可知：

，

结合数量积的运算法则可得：

.

本题选择C选项.

求两个向量的数量积有三种方法：

利用定义；

利用向量的坐标运算；

利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

3．【2018年文北京卷】设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若

，则m=_________.

【答案】

此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：

设

，则①

；

②

4．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系

中，A为直线

上在第一象限内的点，

，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若

，则点A的横坐标为________．

【答案】3

先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.

以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.

2017年高考全景展示

1.【2017北京，文7】设m,n为非零向量，则“存在负数

，使得m=λn”是“m·

n<

0”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

【解析】

试题分析：

若

，使

，即两向量反向，夹角是

，那么

T，若

，那么两向量的夹角为

，并不一定反向，即不一定存在负数

，使得

，所以是充分不必要条件，故选A.

【考点】1.向量；

2.充分必要条件.

【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：

1.根据定义，若

是

的充分不必要，同时

的必要不充分条件，若

，那互为充要条件，若

，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若

若

的充分必要条件，同时

，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将

条件的判断，转化为

条件的判断.

2.【2017课标II，文4】设非零向量

满足

A.

⊥

∥

D.

【考点】向量数量积

【名师点睛】

（1）向量平行：

（2）向量垂直：

（3）向量加减乘：

3.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记

，则

A．

B．

C．

D．

因为

，所以

选C．

【考点】平面向量数量积运算

【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得

，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求

，进而解得

．

4.【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=

若a||b,则

.

【考点】向量共线与向量的坐标运算

【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略

（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝（x1,y1）,b＝（x2,y2）,则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．

（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa（λ∈R）,然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

（3）三点共线问题．A,B,C三点共线等价于与共线.

5.【2017北京，文12】已知点P在圆

上，点A的坐标为（-2,0），O为原点，则

的最大值为_________．

【答案】6

所以最大值是6.

【考点】1.向量数量积；

2.向量与平面几何

【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为

是确定的，所以根据向量数量积的几何意义若

最大，即向量

在

方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点

在圆与

轴的右侧交点处时最大，根据几何意义直接得到运算结果

6.【2017课标3，文13】已知向量

，且

，则m=.

【答案】2

【解析】由题意可得：

7.【2017浙江，14】已知向量a，b满足

的最小值是________，最大值是_______．

【答案】4，

【考点】平面向量模长运算

【名师点睛】本题通过设入向量

的夹角

，结合模长公式，解得

，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．

8.【2017天津，文14】在△ABC中，

，AB=3，AC=2.若

（

），且

的值为.

【答案】

【考点】1.平面向量基本定理；

2.向量数量积.

【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量

，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.

9.【2017课标1，文13】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．

【答案】7

由题得

，因为

，解得

【考点】平面向量的坐标运算，垂直向量

【名师点睛】如果a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（b≠0），则a

b的充要条件是x1x2+y1y2＝0．

10.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量

的模分别为1,1,

与

的夹角为

且tan

=7,

的夹角为45°

.若

则

▲.

【答案】3

【解析】由

可得

，根据向量的分解，

易得

，即

，即得

所以

【考点】向量表示

（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.

（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.

（3）向量的两个作用：

①载体作用：

关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；

②工具作用：

利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

11.【2017江苏，16】已知向量

（1）若a∥b,求x的值；

（2）记

求

的最大值和最小值以及对应的

的值.

（1）

（2）

时，

取得最大值，为3；

取得最小值，为

【考点】向量共线，数量积

2016年高考全景展示

1.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知向量

则

（）

（A）300（B）450（C）600（D）1200

考点：

向量夹角公式．

【思维拓展】

（1）平面向量

的数量积为

，其中

的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：

（2）由向量的数量积的性质有

，

，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．

2.【2016高考天津文数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点

分别是边

的中点，连接

并延长到点

的值为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

【答案】B

，∴

，故选B.

向量数量积

【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；

二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．

3.【2016高考四川文科】已知正三角形ABC的边长为

，平面ABC内的动点P，M满足

的最大值是（）

（B）

（C）

（D）

1.向量的数量积运算；

2.向量的夹角；

3.解析几何中与圆有关的最值问题.

【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出

，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出

坐标，同时动点

的轨迹是圆，

，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．

4.【2016高考新课标2文数】已知向量a=（m,4），b=（3,-2），且a∥b，则m=___________.

平面向量的坐标运算，平行向量.

【名师点睛】如果a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（b≠0），则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.

5.【2016高考北京文数】已知向量

，则a与b夹角的大小为_________.

两向量夹角为

，且两个向量夹角范围是

，所以夹角为

，故填：

平面向量数量积

【名师点睛】由向量数量积的定义

为

的夹角）可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.

6.【2016高考新课标1文数】设向量a=（x,x+1）,b=（1,2）,且a

b,则x=.

由题意,

向量的数量积及坐标运算

【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：

则

7.【2016高考浙江文数】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·

b=1．若e为平面单位向量，则|a·

e|+|b·

e|的最大值是______．

平面向量的数量积和模.

【思路点睛】先设

和

的坐标，再将

转化为三角函数，进而用辅助角公式将三角函数进行化简，最后用三角函数的性质可得三角函数的最大值，进而可得

的最大值．

8.【2016高考山东文数】已知向量

，则实数t的值为________．

平面向量的数量积

【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从

出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.