高考数学立体几何分析及备考建议.docx

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高考数学立体几何分析及备考建议

高考数学立体几何分析及备考建议

一、高考立体几何试题分析及得分情况分析

****年湖北高考已落下帷幕。

分析****年全国各省市高考试卷中的立体几何试题，根据试题所涵盖的知识内容以及解决问题所采用的思维方式，可以看出：

****年高考的立体几何试题体现了“基于基础，关注能力，体现文化”的试题特色。

基于基础，体现在对立体几何本质问题的重点考查；关注能力，体现在对立体几何所承载的思想方法的有效考查；体现文化，体现在对数学文化的深入考查。

1.得分情况

****年湖北省高考理科立体几何在第5题和第19题，文科在第7题（同理科第5题）和第20题。

理科第5题我校平均得分3.91分，黄石市平均得分3.43分，第19题我校平均得分9.89分，黄石市平均得分7.70分；文科第7题我校平均得分3.30分，黄石市平均得分2.43分，第20题我校平均得分8.65分，第20题我校平均得分9.89分，黄石市平均得分5.53分.

2.试题综述

****年各省市都把立体几何试题的命题重点放在这一知识板块最基础、最核心的内容上。

高中立体几何的核心问题主要有：

（1）图形辨认（三视图、直观图、展开图、折叠图、图形的割补等）；

（2）定性证明（线线、线面、面面的垂直或平行关系的证明）；（3）定量计算（体积与面积的计算，线线角、线面角、面面角的计算）。

（1）题型设计趋于稳定，知识考查重点突出

立体几何是中学数学重要内容之一，在高考中占有较大比重.从试题数量来看，一般有2道试题，1道选择或填空题，1道解答题，分值在17分左右.从考查的知识点来看，主要涉及三部分内容，一是空间几何体的三视图和基本量（表面积、体积）运算；二是空间点、直线、平面的几何（平行、垂直）位置关系研究；三是空间点、直线、平面的数量（距离、角）关系研究.

在选择、填空题中，以考查基础知识为主，考查形式多样化、知识覆盖面较大、难度适中.选择或填空题有三个常考热点：

一是空间几何体的三视图；二是空间几何体的表面积、体积；三是空间中点、直线、平面之间的位置关系的判定。

与空间几何体的表面积、体积相关的试题经常以三视图为载体进行考差，同时考查空间想象能力、

运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等；考查点、直线、平面之间的位置关系的试题多以命题真假的判定、充要关系的判定等形式出现，主要考查符号语言、图形语言、文字语言三者之间进行转换的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等。

解题时，画直观图的关键是确定直观图的顶点和其他端点，作图时尽量把它们放在轴或与轴平行的直线上；画组合体的三视图，可把立体图形置于长方体中，则它们在长方体的后侧面、右侧面、下底面的投影分别为正视图、侧视图、俯视图，如此即可较容易地作出立体图形的三视图；点、直线、平面之间的位置关系的判定可先结合草图进行判断，并根据定义、定理进行推理证明。

解答题突出知识综合运用，以某一几何体（棱柱、棱锥或其组合体）为载体，考查有关平行、垂直以及角和距离的计算问题等，试题一般起点低、入手容易，多采用小步设问方式，各问之间既相互独立，又有较大关联性.值得指出的是，对新增三视图、空间向量等教学内容的考查越来越得到重视，它们为立体几何试题的命题提供了新的素材和方法.空间向量为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具，同时也为考生解决诸如线面位置关系和有关几何基本量计算问题提供了一个新视角，在运用空间向量求解的过程中，始终把法向量作为重点考查的对象，利用法向量与法向量所成角，法向量与直线夹角和二面角等，解决直线与平面所成角间的关系问题．对于空间直线与平面的探索性问题，更能体现出空间向量的优越性，可利用空间向量将其转化为相应方程的解的存在性问题通过计算得以解决.因此，向量作为研究几何问题的工具和手段，在考查学生空间想象能力的过程中发挥着越来越重要的作用.

解答题常以棱柱或棱锥为载体，考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，并在其中渗透考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等。

解答题一般采用分步设问的方式，常见的两个考查热点：

一是定性分析，二是定量分析，不论文科还是理科主要是以平行、垂直的证明为主；定量分析，文科题主要是考查表面积、体积的计算；理科试题主要考查线面角、二面角的计算。

解题时，平行、垂直这两种位置关系的证明一般以考纲要求的判定定理、性质定理为基本依据进行演绎推理；表面积、体积的计算常需进行合理的等积变换、割补转化，并结合表面积、体积公式进行运算；线面角、二面角的求解则常运用空间向量的方式进行求解。

解答题的方法往往不唯一，常用两种或两种以上的解法，试题倡导学生多角度地思考、分析问题，并从中探寻合理、简捷的运算途径。

（2）能力、思想并重，为学生潜能发挥提供广阔空间

从能力考查的角度看，突出空间概念、空间想象能力、推理论证能力和逻辑表达能力的考查.空间概念的理解与运用是基础；空间想象能力体现在对空间形式的观察、分析、判断和抽象概括能力，要求能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象.在问题解决过程中，要求能正确地分析出图形中的基本元素及相互关系，能对图形进行分解、组合与变形；同时，能够对空间图形几何元素关系进行合理判断，实现图形语言、符号语言、文字语言的转化，对空间图形的处理（图形的分割、补全、折叠、展开、添加辅助线、变形等）能力是空间想象能力深化的标志，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方面.高考对推理论证能力的考查主要体现为对演绎推理的考查.在强调推理严密性的同时，还应重视几何直观，注意合情推理与演绎推理的合理运用.试题突出学科内知识的综合、灵活运用，在知识交会处命题是近几年的亮点.在立体几何部分常以向量、三角、函数等为载体进行综合考核，这也为学生能力发挥提供了更为广阔的思维空间.同时，试题突出对思想方法的考查.如化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等.数学思想方法是数学的核心，贯穿于数学学习与数学解题过程之中.例如，在证明垂直问题时，解决问题的关键是“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化，考生需要灵活掌握它们之间的转化条件和转换方式.立体几何注重数形结合思想的运用，注重数形之间的转化.综观全国各套试卷，不同程度上加强了用代数运算方法处理几何问题方面的内容，可以看出，含有代数运算问题的题目占有很大比例，几乎每份试卷几何专题的试题都含有运算问题，主要涉及三角运算、函数求值、函数极值等.

（3）文理考查各有侧重，强调基础知识、基本技能的掌握

立体几何专题的考查，理科和文科试卷，都强调对基础知识和基本能力的考查.文科相对强调几何的直观感知和简单的推理论证；而理科对空间想象、推理论证、运算求解有更高的要求.文、理科通考内容主要是“立体几何初步”相关内容，这些题一般为选择题或填空题，但在试卷设计上略有不同，主要

采取相同题设置在不同位置或“姊妹题”进行区别.文、理科明显不同点体现在解答题，虽然部分试卷利用同一背景设计“姊妹题”，但侧重点有很大差别.首先，在知识上，主要体现在理科选修相关内容上，特别是理科试题一般要涉及到利用“向量法”解题；在能力要求方面，理科更加强调知识综合运用，灵活解决问题，突出逻辑推理能力考查.解答题的第

（1）问通常考查直线与平面平行和垂直关系的论证，文理基本相同，第

（2）问，文理往往不同，理科常常是求二面角或与其他知识综合，一般用空间向量解答试题更为优越；文科则多为求点到平面的距离或计算几何体的体积；对体积的考查，理科则多出现在选择题中，与三视图结合.

3.常见考点例析

（1）空间几何体的直观图与三视图

三视图是高中新课程的新增内容之一。

以三视图为载体的试题是考察空间想象能力的有效载体，高考一般以选择题或填空题出现，常见的题型有：

由几何体判断三视图，利用三视图求几何体的表面积和体积等。

例1（****天津理科第10题）一个儿何体的三视图如图13所示（单位：

m），则该几何体的体积为________m3.

图13

例2（****福建理科第2题）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（　　）

A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱

（2）空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积问题，常常结合三视图在选择填空题中进行考查。

比较有特色的是全国卷经常结合球体进行考查。

在解答题中，理科较少涉及，二文科则必然有一小问考查几何体的表面积和体积。

例3（****山东理科第13题）三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则

＝________．

例4（****江西文科第19题）如图11所示，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1.

（1）求证：

A1C⊥CC1；

（2）若AB＝2，AC＝

，BC＝

，问AA1为何值时，三棱柱ABCA1B1C1体积最大，并求此最大值．

图11

（3）空间中点线面位置关系的判定与证明

点线面位置关系的判断、推理证明是历年高考的热点。

除了在选择题、填空题进行考查，也常在解答题中进行考查，其题型一般是易空间几何体为载体，考查其中的线线、线面、面面的平行于证明。

例5（****辽宁文科第4题）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

例6（****江苏第16题）如图14所示，在三棱锥PABC中，

D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，

BC＝8，DF＝5.

求证：

（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC.

（4）空间角度的度量

考纲要求能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在一年就几何问题中额应用。

****年各地的理科试卷均以一道解答题的形式考查用向量法证明线面位

置关系、求空间角或距离等问题。

这些试题多数都可以用几何法和向量法进行求解，为学生提供了广阔的思考空间。

例7（****福建理科第17题）在平面四边形ABCD中，AB＝BD

＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥

平面BCD，如图15所示．

（1）求证：

AB⊥CD；

（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

例8（****新课程全国二理科第18题）如图13，四棱锥PABCD中，

底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（1）证明：

PB∥平面AEC；

（2）设二面角DAEC为60°，AP＝1，AD＝＝

，求三棱锥EACD的体积．

4.能力考查分析

《考试大纲》指出：

数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。

知识是能力的载体，能力是知识的体现。

随着高考改革的不断深入，高考的命题思路更加强调能力立意。

教材上的公式、定理等是知识，如何去理解、内化、应用则是一种能力，以能力立意的命题更侧重于考查分析问题、解决问题的过程。

《考试大纲》所规定的能力—空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识等在立体几何中基本上都得到了体现，其中侧重考查了空间想象能力、推理论证能力与运算求解能力。

（1）考查空间想象能力

识图、画图和对图形的想象是考查空间想象能力的主要表现。

与三视图相关问题的解决，需要把直观图和三视图进行有机结合，从而数形结合地解题。

因此立体几何试题是考查空间想象能力的重要阵地。

例9（****湖北文科第7题、理科第5题）在如图11所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（　　）

图11

A．①和②B．①和③C．③和②D．④和②

（2）考查推理论证能力

推理论证是数学思维的基本形式之一，是数学理性精神的重要体现。

立体几何试题中“线线、线面、面面的平行于垂直的证明”都需要经历严格的逻辑推理，才能得到正确的结论，是考查推理论证能力的最佳载体。

例10（****四川文科第18题）在如图14所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．

（1）若AC⊥BC，证明：

直线BC⊥平面ACC1A1.

（2）设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？

请证明你的结论．

图14

（3）考查运算求解能力

运算求解能力是思维能力和运算技能的结合。

不论是求解空间几何体的表面积、体积的问题，还是应用空间向量的方法求解空间角度的问题，其解答过程都需要经历大量的计算，对运算求解能力提出了较高的要求。

例11（****天津理科第17题）如图14所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．

（1）证明：

BE⊥DC；

（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（3）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角FABP的余弦值．

图14

（4）考查应用意识

立体几何的研究对象是空间中的点线面。

点线面作为空间的基本组成元素，在现实生活中也随处可见。

因此，在试题中编制设计立体几何知识的实际问题是有意义的。

例12（****浙江文科第10题）如图13，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是（　　）

图13

A.

B.

C.

D.

（5）考查创新意识

有一些立体几何为背景的创新试题中，解题者需要经历从平面到空间的类比推理，并创造性地迁移应用平面中的结论与解题方法，才能解决问题。

立体几何创新试题极富思考性和挑战性，具有很好的区分和选拔功能，是考查学生数学素养和能力的极好素材。

例13（****江西理科第10题）如图14所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝11，AD＝7，AA1＝12.一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i－1次到第i次反射点之间的线段记为Li（i＝2，3，4），L1＝AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（　　）

　A　　　　　　　　B　C　　　　　　　　D

图15

二、立体几何复习建议

1.注重基础，回归教材

立体几何在整套试卷中大约17分，特点是起点低，容易入手，非常多地考查了三视图、简单组合体、几何体的表面积和体积、点线面的位置关系、空间角和空间距离等基础知识．教学过程的重心应落在基础知识、基本能力和基本方法上，应以教材为最基本的复习资料，切忌脱离教材，让各种复习资料制约了复习计划、进度和重难点的把握．这并不仅仅是因为许多高考题目源于教材，而是因为教材结构、内容最为经典，学生已有知识和知识基本结构也来源于对教材的学习，所以一定要吃透教材，体会立体几何的本质．在处理立体几何问题时，最基本的方法是传统方法（综合法）和向量法（代数法）两种，一定要注意两种方法同等重要，在教学过程中要齐头并进，最好是一题多解．学生已经体会到了空间向量解决立体几何问题的方便快捷，但一定要注意并非所有的几何问题都能用空间向量很方便地解决，如浙江卷文科的第4题，广东卷理科的第6题，这两个试题用空间向量是不好解决的，这类题目在将来的高考试题中还会出现，就是因为它突出考查了学生的空间想象能力和推理论证能力．

2.构建网络，培养能力

试题的设置多以考查基础知识、基本能力和基本方法为出发点，以考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力为落脚点．能力是以知识是为基础的，能否以点带面，“牵一发而动全身”，完整的知识体系就显得非常重要．立体几何是建立在四个公理基础之上的知识体系，首先，要明确公理的重要性和应用的范围；其次，以柱体、锥体、台体、球为载体来研究点线面的位置关系，核心是平行与垂直两

种特殊的位置状态，要注意线线、线面、面面平行和垂直之间的相互转化．识图、作图、用图、想图是立体几何对图形处理提出的四个不同层次的要求．首先，我们要认识给出的图形，包括认识的方法问题，如三视图.如何将三视图还原为直观图，可以采用把俯视图直升为直观图．就具体题目而言，不一定必须画出直观图，如广东卷文科第6题，俯视图是三角形，其他两个视图也都是三角形，就可以知道这是一个三棱锥，再由“长对正，高平齐，宽相等”得出三个维度上的数据，就可计算出体积，虽然没有直接画出图形，但要时刻“心中有图”．作图要准确、大方、实用、美观，用图是最终的目的，想图是立体几何的最高境界，要逐步培养学生的空间想象能力．

3.良好习惯，提高成绩

良好的学习习惯是学生进一步学习的关键，在教学过程中应加强这方面的教育与培养．首先，教师的引领作用很重要，尤其是在学生刚起步的时候，教师的一举一动都是学生模仿的典范．其次，对学生要严格要求，书写不规范不行，字迹潦草不行，符号不准确不行，表达不清楚不行，格式不严密不行．学生良好学习习惯的养成是非常重要的．良好的学习习惯利于提高学习质量，它也是解决“会而不对，对而不全”的良方.

4.复习必修内容要适当注重“推理论证”

新课程对立体几何的处理方式与以往相比有很大的变化，大纲版教材以点、线、面的位置关系为主线，从局部到整体的方式展开立体几何内容，而新课程教材则以图形特征为主线，从整体到局部的方式展开，先以三视图和直观图认识空闯几何俸，再以长方体为载体直观认识和理解空间点、线、面的位置

关系，强调“直观感知和操作确认”，淡化了推理论证的几何证明技巧．为此，复习教学时可让学生重温“实物模型、三视图、直观图”之间相互转换的过程，进一步加深对空间几何体的认识，了解主视图（正视图）、左视图（侧视图）和俯视图的相对摆放位置，以及“主、俯长对正，主、左高平齐，俯、左宽相等”

的要求，可结合全国各地最新的高考真题，以练促学。

对于线线、线面、面面位置关系的教学复习，依然要充分使用长方体模型，降低学习难度，加强“直观感知和操作确认的过程，重点放在线面平行和垂直的判定定理和应用上适当加强线面、面面平行或垂直的逻辑推理证明，但要把握好度，且不可也没有必要搞得“过分”，因为这些问题可用“向量坐标法”方便快捷地处理．

5.复习要强化“向量坐标法”

《普通高中数学课程标准（实验）》对选修“空间向量与立体几何”有明确的要求：

“能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．”空间向量的弓l入为处理立体几何问题提供了新的思路和方法．“向量坐标法”以定量计算替代定性分析，以程序化的算法

替代繁难的推理论证征服了广大考生．从阅卷统计看，“向量坐标法”成为绝大多数考生的首选，对新课教学和高三复习产生了革命性的影响，因此，复习选修内容重点应放在空间向量的概念及其运算和空间向量基本定理上，理解并掌握线面、面面平行或垂直的向量表示法，务必掌握“向量坐标法”解决立体几何问题的一般方法：

建系一找量一计算一“翻译”。

这中间，恰当地建立空问直角坐标系、准确表示出相关点的坐标及相应向量的坐标是关键对于求解线面角或二面角问题掌握用鳃方程的方法求出面的法向量是必需的．值得再次提起的是存在的小题中的“画龙不点睛”，计算出两法向量夹角的余弦值后，判断两法向量的夹角与二面角的平面角之间到底是“相等”还是“互补”的关系应有针对性地重点练习+

6.正视文科和理科的差异

《考试说明》对文、理科考生的要求有着明显的不同，对于立体几何解答题，文科突出考查直观感知和简单的推理论证，比如证明线面平行或垂直，计算几何体的表面积或体积等，不涉及二面角，不要求“向量法；丽理科更注重对空间想象能力和推理论证能力的考查，平行和垂直关系以及二面角是重头戏，同时，题目的设计兼顾“几何法”和“向量法”，在题圣上基本采用文、理“姊妹题”或“同题不同序”的形式，文科重简单推理和适当计算，理科重推理论证或计算证明，探索性问题也是理科的一大亮点，

7.掌握必要的答题技巧

所谓答题技巧就是要规范答题，不能随心所欲，最忌讳的是想当然答题，习惯性地漏掉一些得分点和关键点。

养成一个好习惯终身受益，做数学题也一样．除了扎实的基础知识和深厚的审题基本功，并注意以上列举的以外，下面的一些小细节也相当重要，平时做题像对待高考一样认真，高考时就像平时做题一样轻松。

（1）最起码的要求．

必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，在题号所指示的答题区作答，字体工整、笔迹清晰。

作图题用铅笔绘出后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．

（2）步步有依据．

仔细审题后，一般要写“解”或“证明”字样，表示从这里开始答题．作答时尽可能地分步书写，切勿跳步，这样即使后面错了也不会扣上面“关键点”的分．比如“线线平行则线面平行”，那“线线平行”中的三个条件缺一不可，否则要扣除“过程分”，只给可怜的“结论分”．另外，特别要小心笔误，阅卷时遇到很多笔误现象，题目明明要证“线面垂直”，可是通过正确的论述之后却得出“线线垂直”、“线面平行”等，这样“结论分”也没了，实在可惜．

（3）卷面整洁很重要．

考试答卷时字体工整，书写匀称，不能太大，更不能太小；答错的直接用笔“杠”掉（画一两条横线）即可，切勿涂抹粘贴；答题前要做到心中有数，大致能写多少，标清楚小题号，可模仿教科书中的答题排版模式，即使做不到赏心悦目，也要尽可能一目了然．

（4）坐标向量法值得信赖．

目前的高考是从大纲版向新课程版的过渡期，所以许多立体几何解答题兼顾综合几何法和向量法，考题大多具备垂直关系，比较容易建立空间直角坐标系．高考时不妨倾向于选择坐标向量法，建好空间直角坐标系后一定要准确快速地求出点的坐标、向量和法向量的坐标．在繁琐的运算中要做到细心、准确、迅速．