初中数学章节专项《四边形》教案.docx

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初中数学章节专项《四边形》教案

四边形

一、本章学习目标

1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系。

2.探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识精心有关的证明和计算。

3.探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心的物理意义。

4.通过经历特殊四边形性质的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验和体会，进一步培养学生的合情推理能力；结合特殊四边形性质和判定方法以及相关问题的证明，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。

5.通过分析四边形与特殊四边形，以及平行四边形与各种特殊平行四边形概念之间的联系与区别，使学生认识到特殊与一般的关系，从而体会事物之间总是相互联系而又相互区别的，进一步培养学生的辩证唯物主义观点。

二、本章知识结构

基础知识

平行四边形定义：

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用“”表示

平行四边形性质：

①平行四边形的两组对边分别平行

②平行四边形的对边相等

③平行四边形的对角相等

④平行四边形的对角线互相平分

平行四边形的判定：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形

③对角线互相平分的四边形是平行四边形

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形

⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

三角形的中位线定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形的中位线定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半

矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

矩形性质:

矩形具有平行四边形的所有性质

矩形特有的性质①矩形的四个角都是直角

②矩形的对角线相等

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

矩形的判定

矩形判定定理1：

有一个角是直角的平行四边形是矩形

矩形判定定理2：

对角线相等的平行四边形是矩形

矩形判定定理3：

有三个角是直角的四边形是矩形

菱形的定义及其性质

定义：

有一组邻边相等的平行四边形

性质：

菱形具有平行四边形的所有性质

菱形特有的性质①菱形的四条边都相等

②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

菱形的判定

判定：

①一组邻边相等的平行四边形是菱形

②对角边互相垂直的平行四边形是菱形

③四边相等的四边形是菱形

正方形

（1）正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

（2）正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以正方形既具有矩形的性质，也具有菱形的性质

性质：

①（边）对边平行，四条边都相等

②（角）四个角都是直角

③（对角线）相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角

④（对称性）既是中心对称图形，又是轴对称图形．

梯形的定义及其分类

（1）定义：

一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形

平行的两边叫做梯形的底

不平行的两边叫做梯形的腰

夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高

（2）分类：

等腰梯形：

两腰相等的梯形

直角梯形：

有一个角是直角的梯形

等腰梯形的性质及其判定

性质：

①等腰梯形同一底边上的两个角相等.

②等腰梯形的两条对角线相等。

③等腰梯形是轴对称图形

判定①（边）两腰相等的梯形是等腰梯形

判定②（角）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

三、本章重点难点

1、本章内容的重点是平行四边形的定义、性质和判定。

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质和判定都是在平行四边形的基础上扩充的。

它们的探索方法，也都与平行四边形的有关定理为依据的，是平行四边形知识的综合应用。

另外，平行四边形的有关定理，也常常是证明两条线段相等、两角相等、两直线平行或垂直的重要依据，所以掌握平行四边形的概念、性质和判定，并能应用这些知识解决问题，是学好本章的关键

2、本大节的难点是平行四边形和各种特殊平行四边形之间的区别和联系，因为它们的概念之间重叠交错，容易混淆。

学生往往搞不清楚它们的共性、特性及其从属关系，有时掌握了它们的特殊性质，而忽视了共同性质。

如有的学生不知道正方形既是矩形，又是菱形，也是平行四边形，应用时常犯多用或少用条件的错误。

教学时不仅要讲清矩形、菱形、正方形的特殊性质，尤其要强调它们与平行四边形的从属关系和共同性质。

也就是在讲清每个概念特征的同时，要强调它们的从属概念。

所以解决这个难点的关键是抓好概念教学，弄清这些概念之间的关系的图形，研究正方形时也给出了它与矩形、菱形之间包含关系的图形。

教学中要重视这些图形的使用，使学生弄清这些图形之间的关系

四、本章中考内容及中考要求

1、对于平行四边形其基本要求是会识别平行四边形；了解线段、平行四边形的重心及物理意义。

其略高要求是掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题。

其较高要求是会用平行四边形的知识解决有关问题。

2、对于矩形，其基本要求是会识别矩形；略高要求是掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单问题；较高要求是会用矩形的知识解决有关问题。

3、对于菱形，其基本要求是会识别菱形；略高要求是掌握菱形的概念、判定和性质，会用菱形的性质和判定解决简单问题；较高要求是会用菱形的知识解决有关问题。

4、对于正方形，其基本要求是会识别正方形；略高要求是掌握正方形的概念、判定和性质，会用正方形的性质和判定解决简单问题；较高要求是会用正方形的知识解决有关问题。

5、对于梯形，其基本要求是会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形是性质和判定。

略高要求是掌握梯形的概念，会计算梯形的周长及面积；会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题。

五、本章教学计划

课时

讲课内容

约授课时间/分钟

约练习时间/分钟

第一课时

平行四边形

平行四边形定义及其性质例1

平行四边形性质例2

平行四边形判定例1

平行四边形判定例2

平行四边形判定例3

三角形的中位线

四边形阶段测试

（一）

第二课时

矩形

矩形的定义及其性质例1

矩形性质例2

矩形性质例3

矩形的判定例1

矩形判定例2

矩形判定例3

四边形阶段测试

（二）

第三课时

菱形

菱形的性质例1

菱形的性质例2

菱形的判定例1

菱形的判定例2

菱形的判定例3

正方形

正方形的定义及其性质

正方形的判定

四边形阶段测试（三）

第四课时

梯形

梯形的定义及其分类

等腰梯形的性质

等腰梯形的判定例1

等腰梯形的判定例2

四边形综合测试

六、本章教学过程

第一部分：

平行四边形

（一）、平行四边形的定义及其性质

（1）定义：

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用“”表示

（2）平行四边形性质：

①平行四边形的两组对边分别平行

②平行四边形的对边相等

③平行四边形的对角相等

④平行四边形的对角线互相平分

例1：

（1）已知ABCD，周长为36，相邻两边的差为4，

则相邻两边的长分别为多少？

（2）平行四边形的一个内角比它相邻的内角小15°，

则另外两个内角的度数分别为多少？

（3）如右图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，

AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积

解：

（1）设相邻两边分别为a，b（a>b）

由平行四边形的性质中，平行四边形的对边相等得

又由题意得

所以，有

，可以解得a=11，b=7

所以，相邻两边的长分别为11，7

（2）设平行四边形的两内角分别为

，由已知得

①

而易知四边形内角和为

所以由平行四边形的性质中平行四边形的对角相等得

②

由①和②可以解得

（3）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=8，CD=AB=10

∵AC⊥BC，

∴△ABC是直角三角形，∴

又OA=OC，∴

，

练习题一：

1、平行四边形的周长为60cm，若相邻的边差为6cm，则这个平行四边形相邻的两边长分别为多少？

2、平行四边形的周长等于64，两邻边长之比为3：

5，则这个平行四边形较长边的长度为多少？

3、

在ABCD中，∠B=50°,求∠D，∠A的度数

4、

在ABCD中，∠A=36°,求∠C，∠B的度数

5、

如右图，ABCD的对角线相交于O，两条对角线的和为36cm，AB的长为5cm，求△OCD的周长

例2：

如图所示，已知

ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F.求证：

OE=OF．

解：

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AD//BC,OB=OD,

≌

（AAS）

所以OE=OF

练习题二：

1、

如右图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD相交于点O，EF过点O与AB、

CD分别相交于点E、F.求证OE=OF.

2、如图所示，已知

ABCD和

EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上，求证：

AE=CF．

3、如图所示，在

ABCD中，AB=10cm，AB边上的高DH=4cm，BC=6cm，求BC边上的高DF的长．

4、如图所示，在

ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．若AE=3cm，AF=4cm，AD=8cm，求CD的长．

5、张大伯承包了一个呈四边形的池塘：

如图19-1-29所示，它的四个角A，B，C，D处均有一棵核桃树，张大伯今年养鱼喜获丰收，明年准备把池塘面积扩大一倍，但又不想毁掉这四棵大树，并且扩建后的池塘呈平行四边形形状．张大伯这一设想是否能实现？

请你帮助他解决一下，并画出草图．

（二）、平行四边形的判定

（1）平行四边形的判定：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形

③对角线互相平分的四边形是平行四边形

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形

⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

例1：

已知：

如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：

四边形BFDE是平行四边形

证法一：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC.

∵E是AD的中点，F是BC的中点

∴

∴AF=CF

∴△ABE≌△CDF

∴∠AEB=∠CFD

∴AD∥BC

∴∠AEB=∠EBC

∴∠EBC=∠DFC

∴BE∥DF

∴四边形BFDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

证法二：

由证法一可知△ABE≌△CDF，

∴BE=DF

∴E、F分别是AD、BC的中点

∴

∴四边形BFDE是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

证法三：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC

∵E、F分别是AD、BC的中点

∴

即DE∥BF

∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

练习题三：

1、

如图，ABCD中，E、F分别是AB、DC上的点，BE＝DF，求证：

四边形AECF是平行四边形（用三种方法证）

2、

如图，ABCD中，E、F分别是CD、AB上的点，BF＝DE，求证：

四边形AFCE是平行四边形

（用三种方法证）

3、如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE,DF∥BE.求证：

四边形ABCD是平行四边形（用两种方法证）

4、

如图，ABCD中，P1，P2分别是对角线BD的三等分点，求证：

四边形AP1CP2是平行四边形

5、

如图，以△ABC的三条边为边向BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ，等边△BCR，求证：

四边形PAQR为平行四边形。

例2：

已知：

如图，E、F是ABCD的对角线AC上的两点，且AF=CE，求证：

DE=BF

证明：

连结BD交AC于O点

在ABCD中，DO=OB，AO=OC.

又∵AF=EC，∴AF-AO=CE-OC

即OE=OF.

∴四边形DEBF是平行四边形（对角线互相平

分的四边形是平行四边形）

∴DE=BF

练习题四：

1、如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证:

四边形EFGH是平行四边形

2、如图，已知ABCD中，E、F在BD上，且BE=DF，点G、H在AD、CB上，且有AG=CH，GH与BD交于点O，连接EH、FG，求证：

EHFG是平行四边形

3、如图，已知AC是□ABCD的对角线，△ACP和△ACQ都是等边三角形，求证：

四边形BPDQ是平行四边形。

4、如图，在

ABCD中，E、F是对角线AC的两个三等分点，求证：

四边形BFDE是平行四边形．

例3：

如图，已知ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线.求证：

四边形AFCE是平行四边形

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，而AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线

∴∠DAB=∠DCB即∠1+∠2=∠3+∠4，∠B=∠D，∠1=∠2，∠3=∠4

∴∠1=∠4，∠2=∠3

∵∠AED=180°－∠1－∠D=180°－∠4－∠B=∠BFC

∴∠AEC=∠AFC

∴四边形AFCE是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）

练习题五：

1、已知，如图，AE⊥BC，CF⊥AD，∠BAE=∠DCF，BE=DF，∠EAD=∠FCB

求证：

四边形ABCD是平行四边形

2、已知：

如图，四边形EFGH为平行四边形，BE=DG，∠BEH=∠DGF，∠A=∠C.

求证：

四边形ABCD是平行四边形

（三）三角形的中位线

（1）定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

（2）三角形的中位线定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半

例：

三角形的三条中位线长是3cm、4cm、5cm，则这个三角形的周长是多少？

解：

由三角形的中位线定理，可得三角形三条边长分别为6cm、8cm、10cm

所以三角形的周长为6+8+10=24（cm）

练习题六：

1、如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到F，使AB=10，BC=8，求四边形BCFD的周长.

2、已知：

如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的点求证：

四边形EFGH是平行四边形

3、如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求△DEF的面积．

4、如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：

MN∥AD且MN=

AD．

5、如图所示，已知E为

ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：

AB=2OF．

四边形阶段测试

（一）

1、__________________________________的四边形叫做平行四边形。

__________________________叫做平行四边形的对角线.平行四边形的对角线把它分成的两个三角形______________.平行四边形对边___________，对角____________

2、如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=6cm,BC=8cm，∠B=70°,则AD=________,CD=______,∠D=__________,∠A=_________,

∠C=__________.平行四边形得周长为:

_________________

3、如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，边AB可以看成由_____________平移得来的，△ABC可以看成由__________绕点O旋转______________得来。

4、平行四边形ABCD中∠A=50°，AB=a，BC=b.则：

∠B=____，∠C=____，平行四边形ABCD的周长=_______.

5、.如图：

平行四边形ABCD中∠A+∠C=200°.

则：

∠A=_______，∠B=_________.

6、如图

（1）,在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则图中相等的角有（）对.

（A）8（B）6（C）4（D）2

7、.如图：

平行四边形ABCD的周长为36，AB=8，BC=________

8、得周长为50cm，两邻边之差为5cm,AB=_______,BC=________.AD=________,CD=______,

9、在

ABCD中，已知AB：

BC=3：

5，且周长等于48，则AB=_______,BC=________.AD=________,CD=______,

10、在

ABCD中，若∠A－∠B=70°，求∠D=______,∠A=______,∠C=______.∠B=_______的度数。

11、平行四边形ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D可以是（）

A、1︰2︰2︰1B、2︰1︰1︰2

C、2︰2︰1︰1D、2︰1︰2︰1

12、平行四边形ABCD的周长是10㎝，⊿ABC的周长是8㎝，则对角线AC的长是（）

A、2㎝B、3㎝C、4㎝D、5㎝

13、.平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB,∠DAE=20°,则∠C=_________,∠B_________.

14、如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，AB与CD相等吗？

试说明理由。

15、如图，AC∥ED，点B在AC上且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形,并说明理由

第二部分：

矩形

（四）、矩形的定义及其性质

（1）定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

（2）性质:

矩形具有平行四边形的所有性质

矩形特有的性质①矩形的四个角都是直角

②矩形的对角线相等

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例1：

如图，在矩形ABCD中，AF=BE，求证：

DE=CF

证明：

∵AF=BE，EF=EF，

∴AE=BF

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，AD=BC，

∴△DAE≌△CBF，

∴DE=CF

练习题七：

1、在矩形ABCD中，BE=DF.求证：

AF=CE

2、如图，BD是矩形ABCD的对角线，AE⊥BD于E，AB=2，

，求AE的长.

3、已知，在矩形ABCD中，O为矩形内一点，若OB=OC，求证：

OA=OD

4、已知：

如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠BAE，求∠CAE为多少度？

5、

如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F，若DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF，求AE的长．

例2：

如图矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：

BE=CF.

证明：

∵四边形ABCD是矩形

∴BD=AC，

∴BO=CO

又∵BE⊥AC，CF⊥BD

∴∠BEO=∠CFO=90°

又∵∠BOE=∠COF

∴△BOE≌△COF（AAS）

∴BE=CF

练习题八：

1、在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,若∠AOB=110°，则∠OAB=_____________

2、已知：

如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E.若∠CAE=15°，求证：

△AOB是等边三角形

3、已知：

如图，矩形ABCD中，E为BC中点，DE延长线与AB延长线交于F点,M为CF中点.求证：

2BM=AC

例3：

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长

解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC于BD相等且互相平分

∴OA=OB

又∠AOB=60°

∴△OAB是等边三角形

∴OA=AB=4（cm）

∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=8（cm）

练习题九：

1、矩形的一条对角线是矩形一条边长的2倍，求矩形两条对角线所成是锐角是60°，求矩形较短的边长

2、矩形一条对角线长8cm，两条对角线所乘的锐角是60°.求矩形较短的边长

3、已知：

矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOB=4∠BAO，若对角线AC=18cm，则AD=________

4、在矩形ABCD中，E为CD上一点，AE=AB，若∠AEB=90°，则AB：

BC=______________

5、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：

四边形DECF为平行四边形．

6、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，求证：

DE=DF．

（五）、矩形的判定

矩形判定定理1：

有一个角是直角的平行四边形是矩形

矩形判定定理2：

对角线相等的平行四边形是矩形

矩形判定定理3：

有三个角是直角的四边形是矩形

例1：

如图，已知ABCD中，AE=CF，AF⊥DE于G，CE⊥BF于H，试证明四边形EHFG为矩形

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AE∥CF，

又AE=CF

∴四边形AECF是平行四边形

∴FH∥GE

又∵AB∥CD

∴BE∥DF

∴四边形EHFG为平行四边形

又∵∠BHG=90°

∴平行四边形EHFG是矩形

练习题十：

1、已知：

如图如图M、N分别是

的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，试证明四边形PMQN为矩形

2、如图，M是

的中点，且MB=MC,求证：

这个平行四边形是矩形

例2：

如图,四边形ABCD是平行四边形.AC、BD交于点O,

∠1=∠2.求证:

四边形ABCD是矩形.

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴OA=OC,OB=OD

∵∠1=∠2

∴0B=OC

∴OA=OC=OB=OD

∴AC=BD

∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）

练习题十一：

1、已知：

如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，若∠OAB=∠OBA.求证：

四边形ABCDA为矩形

2、如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，AE是∠BAC外角平分线，DE∥AB交AE于E，求证：

四边形ADCE是矩形

3、已知，如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点.求证：

四边形EFGH是矩形

4、

已知：

如图，在四边形ABCD中，AC、BD互相平分于点O，∠AEC=∠BED=90°，求证：

四边形ABCD是矩形

例3：

求证:

四个角都相等的四边形是矩形.

已知:

如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D,求证:

四边形是矩形.

证明:

∵在四边形ABCD中

∠A+∠B+∠C+∠D=360°

又∵∠A=∠B=∠C=∠D

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°

∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）

练习题十二：