浙江高考数学一轮复习 对数与对数函数.docx

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浙江高考数学一轮复习对数与对数函数

第七节

对数与对数函数

1．对数

概念

如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式

性质

对数式与指数式的互化：

ax＝N⇔x＝logaN

loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N

运算法则

loga（M·N）＝logaM＋logaN

a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0

loga＝logaM－logaN

logaMn＝nlogaM（n∈R）

换底公式

换底公式：

logab＝（a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0）

2.对数函数的图象与性质

y＝logax

a＞1

0＜a＜1

图象

性质

定义域为（0，＋∞）

值域为R

过定点（1,0），即x＝1时，y＝0

当x＞1时，y＞0；

当0＜x＜1时，y＜0

当x＞1时，y＜0；

当0＜x＜1时，y＞0

在区间（0，＋∞）上是增函数

在区间（0，＋∞）上是减函数

3．反函数

指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

[小题体验]

1．函数f（x）＝loga（x＋2）－2（a＞0，且a≠1）的图象必过定点________．

答案：

（－1，－2）

2．函数f（x）＝log5（2x＋1）的单调增区间是________．

答案：

3．（2015·浙江高考）计算：

log2＝________，2log23＋log43＝________.

解析：

log2＝log2－log22＝－1＝－；

2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2＝3.

答案：

－　3

1．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMα＝αloga|M|（α∈N*，且α为偶数）．

2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：

（1）务必先研究函数的定义域；

（2）注意对数底数的取值范围．

[小题纠偏]

1．函数y＝的定义域为______．

答案：

2．函数f（x）＝log（x＋1）（2x－1）的单调递增区间是______．

答案：

[题组练透]

1．（易错题）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（　　）

A．logab·logcb＝logca

B．logab·logca＝logcb

C．loga（bc）＝logab·logac

D．loga（b＋c）＝logab＋logac

解析：

选B　利用对数的换底公式进行验证，logab·logca＝·logca＝logcb.

2．（2018·台州模拟）lg－2lg＋lg等于（　　）

A．lg2　　　　B．lg3　　　　　C．4　　　　　D．lg5

解析：

选A　lg－2lg＋lg＝lg－lg＋lg＝lg＝lg2，故选A.

3．计算÷100－＝______.

解析：

原式＝（lg2－2－lg52）×100＝lg×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.

答案：

－20

4．已知函数f（x）＝则f（f

（1））＋f的值是________．

解析：

因为f

（1）＝log21＝0，所以f（f

（1））＝f（0）＝2.

因为log3＜0，所以f＝3－log3＋1

＝3log32＋1＝2＋1＝3.

所以f（f

（1））＋f＝2＋3＝5.

答案：

5

[谨记通法]

对数运算的一般思路

（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；

（2）将同底对数的和、差、倍合并；

（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

[典例引领]

设方程10x＝|lg（－x）|的两个根分别为x1，x2，则（　　）

A．x1x2＜0　　　　　　　B．x1x2＝0

C．x1x2＞1D．0＜x1x2＜1

解析：

选D　作出y＝10x与y＝|lg（－x）|的大致图象，如图．

显然x1＜0，x2＜0.

不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，

所以10x1＝lg（－x1），10x2＝－lg（－x2），

此时10x1＜10x2，

即lg（－x1）＜－lg（－x2），

由此得lg（x1x2）＜0，

所以0＜x1x2＜1，故选D.

[由题悟法]

应用对数型函数的图象可求解的问题

（1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想．

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

[即时应用]

1．函数f（x）＝ln|x－1|的图象大致是（　　）

解析：

选B　当x＞1时，f（x）＝ln（x－1），

又f（x）的图象关于x＝1对称，故选B.

2．（2018·温州适应性训练）若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2（x－1）＝5，则x1＋x2＝（　　）

A.B．3

C.D．4

解析：

选C　2x＝5－2x,2log2（x－1）＝5－2x，即2x－1＝－x，log2（x－1）＝－x，作出y＝2x－1，

y＝－x，y＝log2（x－1）的图象（如图）．

由图知y＝2x－1与y＝log2（x－1）的图象关于y＝x－1对称，它们与y＝－x的交点A，B的中点为y＝－x与y＝x－1的交点C，xC＝＝，

∴x1＋x2＝，故选C.

[锁定考向]

高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．

常见的命题角度有：

（1）比较对数值的大小；

（2）简单对数不等式的解法；

（3）对数函数的综合问题．　　　　

[题点全练]

角度一：

比较对数值的大小

1．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞c　　　　　　　　B．a＞c＞b

C．b＞a＞cD．b＞c＞a

解析：

选A　因为a＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，所以a＞b；又＝＝（log23）2＞1，c＞0，所以b＞c.故a＞b＞c.

角度二：

简单对数不等式的解法

2．设函数f（x）＝若f（a）＞f（－a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（－1,0）∪（0,1）B．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

C．（－1,0）∪（1，＋∞）D．（－∞，－1）∪（0,1）

解析：

选C　由题意得

或

解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.

角度三：

对数函数的综合问题

3．已知函数f（x－3）＝loga（a＞0，a≠1）．

（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间．

解：

令x－3＝u，则x＝u＋3，

于是f（u）＝loga（a＞0，a≠1，－3＜u＜3），

所以f（x）＝loga（a＞0，a≠1，－3＜x＜3）．

（1）因为f（－x）＋f（x）＝loga＋loga＝loga1＝0，

所以f（－x）＝－f（x），

又定义域（－3,3）关于原点对称．

所以f（x）是奇函数．

（2）令t＝＝－1－，

则t在（－3,3）上是增函数，

当0＜a＜1时，函数y＝logat是减函数，

所以f（x）＝loga（0＜a＜1）在（－3,3）上是减函数，

即函数f（x）的单调递减区间是（－3,3）．

[通法在握]

1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

2．比较对数值大小的方法

（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．

（2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．

（3）若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．

[演练冲关]

1．（2019·杭州模拟）已知函数f（x）＝loga（8－ax）（a＞0，且a≠1），若f（x）＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．

解析：

当a＞1时，f（x）＞1等价于8－ax＞a在[1,2]上恒成立，

即a＜min＝，解得1＜a＜.

当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于0＜8－ax＜a在[1,2]上恒成立，即a＞max且a＜min，

解得a＞4且a＜4，故不存在．

综上可知，实数a的取值范围为.

答案：

2．已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）．

（1）若f

（1）＝1，求f（x）的单调区间；

（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？

若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解：

（1）因为f

（1）＝1，所以log4（a＋5）＝1，

因此a＋5＝4，a＝－1，

这时f（x）＝log4（－x2＋2x＋3）．

由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，

函数f（x）的定义域为（－1,3）．

令g（x）＝－x2＋2x＋3，

则g（x）在（－1,1）上递增，在（1,3）上递减．

又y＝log4x在（0，＋∞）上递增，

所以f（x）的单调递增区间是（－1,1），递减区间是（1,3）．

（2）假设存在实数a，使f（x）的最小值为0，

则h（x）＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

因此应有解得a＝.

故存在实数a＝，使f（x）的最小值为0.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．（2018·金华温州台州高三开学联考）若2a＝3b＝6，则（　　）

A.＋＝　　　　　　B.＋＝

C.＋＝D.＋＝

解析：

选A　令2a＝3b＝6＝k，

则a＝，b＝，c＝，

则＋＝＋＝＝.

2．（2019·舟山模拟）设a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．b＜a＜cB．b＜c＜a

C．c＜b＜aD．a＜b＜c

解析：

选B　a＝log50.5＞log50.2＝－1，b＝log20.3＜log20.5＝－1，c＝log0.32＞log0.3＝－1，log0.32＝，log50.5＝＝＝.∵－1＜lg0.2＜lg0.3＜0，∴＜，即c＜a，故b＜c＜a.故选B.

3．（2018·金华名校联考）已知函数f（x）＝，若实数a满足2f（log4a）＋f（loga）＋f

（1）≤0，则a的取值范围是（　　）

A．（0,4]B．

C．D．[1,4]

解析：

选B　∵f（x）＝＝＝＝1－，定义域为R，

f（－x）＝＝－＝－f（x），

∴f（x）是单调递增的奇函数，

又f（loga）＝f（－log4a）＝－f（log4a），

则不等式2f（log4a）＋f（loga）＋f

（1）≤0化为f（log4a）＋f

（1）≤0，即f（log4a）≤－f

（1）＝f（－1），则log4a≤－1＝log4，得0＜a≤.

4．（2016·浙江高考）已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.

解析：

∵logab＋logba＝logab＋＝，∴logab＝2或.

∵a＞b＞1，∴logab＜logaa＝1，∴logab＝，∴a＝b2.

∵ab＝ba，∴（b2）b＝bb2，即b2b＝bb2，

∴2b＝b2，∴b＝2，a＝4.

答案：

4　2

5．（2018·杭州模拟）已知函数y＝log在区间（2，＋∞）上是减函数，则实数a的取值范围是____________．

解析：

令t＝x2－ax＋a，则函数f（x）在区间（2，＋∞）上是减函数，可得函数t在区间（2，＋∞）上是增函数，且t

（2）≥0，所以解得a≤4，所以实数a的取值范围是（－∞，4]．

答案：

（－∞，4]

二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝3x＋m（m为常数），则f（－log35）的值为（　　）

A．4B．－4

C．6D．－6

解析：

选B　∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（0）＝0，即30＋m＝0，解得m＝－1，

∴f（log35）＝3log35－1＝4，

∴f（－log35）＝－f（log35）＝－4.

2．（2018·丽水月考）函数f（x）＝lg（4x－2x＋1＋11）的最小值是（　　）

A．10B．1

C．11D．lg11

解析：

选B　令2x＝t，t＞0，则4x－2x＋1＋11＝t2－2t＋11＝（t－1）2＋10≥10，所以lg（4x－2x＋1＋11）≥1，即所求函数的最小值为1.故选B.

3．（2019·丽水模拟）已知对数函数f（x）＝logax是增函数，则函数f（|x|＋1）的图象大致是（　　）

解析：

选B　由函数f（x）＝logax是增函数知，a＞1.

f（|x|＋1）＝loga（|x|＋1）＝

由对数函数性质知选B.

4．（2018·金华模拟）已知函数f（x）＝lg，若f（a）＝，则f（－a）＝（　　）

A．2B．－2

C.D．－

解析：

选D　∵f（x）＝lg的定义域为－1＜x＜1，

∴f（－x）＝lg＝－lg＝－f（x），

∴f（x）为奇函数，

∴f（－a）＝－f（a）＝－.

5．（2016·浙江高考）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（　　）

A．（a－1）（b－1）＜0B．（a－1）（a－b）＞0

C．（b－1）（b－a）＜0D．（b－1）（b－a）＞0

解析：

选D　∵a，b＞0且a≠1，b≠1，

∴当a＞1，即a－1＞0时，不等式logab＞1可化为alogab＞a1，即b＞a＞1，

∴（a－1）（a－b）＜0，（b－1）（a－1）＞0，（b－1）（b－a）＞0.当0＜a＜1，

即a－1＜0时，不等式logab＞1可化为alogab＜a1，

即0＜b＜a＜1，

∴（a－1）（a－b）＜0，（b－1）（a－1）＞0，（b－1）（b－a）＞0.

综上可知，选D.

6．（2018·杭二月考）已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是________．

解析：

由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98.

又A＞0，故A＝＝7.

答案：

7

7．若方程2log2x－log2（x－1）＝m＋1有两个不同的解，则实数m的取值范围是________．

解析：

由题意知即x＞1，方程化简为log2＝m＋1，故＝2m＋1，即x2－2m＋1x＋2m＋1＝0，当x＞1时，此方程有两个不同的解，所以解得m＞1.

答案：

（1，＋∞）

8．已知函数f（x）＝|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f（m）＝f（n），若f（x）在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.

解析：

因为f（x）＝|log3x|＝所以f（x）在（0,1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，由0＜m＜n且f（m）＝f（n），可得则所以0＜m2＜m＜1，则f（x）在[m2,1）上单调递减，在（1，n]上单调递增，所以f（m2）＞f（m）＝f（n），则f（x）在[m2，n]上的最大值为f（m2）＝－log3m2＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9.

答案：

9

9．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝loga（x＋1）（a＞0，且a≠1）．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若－1＜f

（1）＜1，求实数a的取值范围．

解：

（1）当x＜0时，－x＞0，

由题意知f（－x）＝loga（－x＋1），

又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（－x）＝f（x）．

∴当x＜0时，f（x）＝loga（－x＋1），

∴函数f（x）的解析式为f（x）＝

（2）∵－1＜f

（1）＜1，∴－1＜loga2＜1，

∴loga＜loga2＜logaa.

①当a＞1时，原不等式等价于解得a＞2；

②当0＜a＜1时，原不等式等价于

解得0＜a＜.

综上，实数a的取值范围为∪（2，＋∞）．

10．设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，a≠1），且f

（1）＝2.

（1）求a的值及f（x）的定义域；

（2）求f（x）在区间上的最大值．

解：

（1）∵f

（1）＝2，

∴loga4＝2（a＞0，a≠1），

∴a＝2.

由得x∈（－1,3），

∴函数f（x）的定义域为（－1,3）．

（2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）

＝log2（1＋x）（3－x）

＝log2[－（x－1）2＋4]，

∴当x∈（－1,1]时，f（x）是增函数；

当x∈（1,3）时，f（x）是减函数，

故函数f（x）在上的最大值是f

（1）＝log24＝2.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．（2018·杭州五校联考）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋1）＝f（－x），当x∈（0,1）时，f（x）＝则f（x）在区间内是（　　）

A．增函数且f（x）＞0B．增函数且f（x）＜0

C．减函数且f（x）＞0D．减函数且f（x）＜0

解析：

选D　由f（x）为奇函数，f（x＋1）＝f（－x）得，

f（x）＝－f（x＋1）＝f（x＋2）；

∴f（x）＝f（x＋2），

∴f（x）是周期为2的周期函数．

根据条件，x∈时，f（x）＝log，

∴x－2∈，－（x－2）∈，

∴f（x）＝f（x－2）＝－f（2－x）＝log.

设2－x＝t，t∈，x＝2－t，

∴－f（t）＝log，

∴f（t）＝－log，

∴f（x）＝－log，x∈，

可以看出x增大时，－x减小，log增大，f（x）减小，

∴在区间内，f（x）是减函数，

而由1＜x＜得0＜－x＜，