绕任意轴旋转.docx
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绕任意轴旋转
几何变换详解
在三维图形学中，几何变换大致分为三种，平移变换（Translation），缩放变换（Scaling），旋转变换（Rotation）。
以下讨论皆针对DirectX，所以使用左手坐标系。
平移变换
将三维空间中的一个点[x,y,z,1]移动到另外一个点[x',y',z',1]，三个坐标轴的移动分量分别为dx=Tx,dy=Ty,dz=Tz,即
x'=x+Tx
y'=y+Ty
z'=z+Tz
平移变换的矩阵如下。
缩放变换
将模型放大或者缩小，本质也是对模型上每个顶点进行放大和缩小（顶点坐标值变大或变小），假设变换前的点是[x,y,z,1]，变换后的点是[x',y',z',1]，那么
x'=x*Sx
y'=y*Sy
z'=z*Sz
缩放变换的矩阵如下。
旋转变换
这是三种变换中最复杂的变换，这里只讨论最简单的情况，绕坐标轴旋转，关于绕任意轴旋转，在后续的随笔中介绍。
绕X轴旋转
绕X轴旋转时，顶点的x坐标不发生变化，y坐标和z坐标绕X轴旋转θ度，旋转的正方向为顺时针方向（沿着旋转轴负方向向原点看）。
[x,y,z,1]表示变换前的点，[x',y',z',1]表示变换后的点。
变换矩阵如下。
关于旋转的正方向，OpenGL与多数图形学书籍规定旋转正方向为逆时针方向（沿着坐标轴负方向向原点看），比如ComputerGraphicsCVersion，p409。
绕Y轴旋转
绕Y轴旋转时，顶点的y坐标不发生变化，x坐标和z坐标绕Y轴旋转θ度。
[x,y,z,1]表示变换前的点，[x',y',z',1]表示变换后的点。
变换矩阵如下。
绕Z轴旋转
绕Z轴旋转时，顶点的z坐标不发生变化，x坐标和y坐标绕Z轴旋转θ度。
[x,y,z,1]表示变换前的点，[x',y',z',1]表示变换后的点。
变换矩阵如下。
绕坐标轴旋转的矩阵推导
上面三个旋转矩阵是如何得来的呢？
我们推导一下，首先看一下二维的情况，再扩展到三维即可。
实际上上面三种绕坐标轴旋转的情况属于特殊的二维旋转，比如绕Z轴旋转，相当于在与XOY平面上绕原点做二维旋转。
假设点P（x,y）是平面直角坐标系内一点，其到原点的距离为r，其与X轴的夹角为A，现将点P绕原点旋转θ度，得到点P'（x',y'），P'与X轴的夹角为B，则A=B-θ。
（注意，在二维坐标中，逆时针旋转时角度为正，顺时针旋转时角度为负，下图中由P旋转到P'，角度为θ，若是由P'转到P，则角度为-θ）。
于是可得下面的转换方程
（式一）
写成矩阵的形式就是
求得旋转矩阵为
由于这里使用齐次坐标，所以还需加上一维，最终变成如下形式
绕Z轴旋转矩阵
和前面给出的绕Z轴旋转矩阵完全吻合。
对于绕X轴旋转的情况，我们只需将式一中的x用y替换，y用z替换，z用x替换即可。
替换后得到
（式二）
对应的旋转矩阵为
绕X轴旋转矩阵
对于绕Y轴旋转的情况，只需对式二做一次同样的替换即可，的到的变换方程为
对应的变换矩阵为
绕Y轴旋转矩阵
逆矩阵
平移变换矩阵的逆矩阵与原来的平移量相同，但是方向相反。
旋转变换矩阵的逆矩阵与原来的旋转轴相同但是角度相反。
缩放变换的逆矩阵正好和原来的效果相反，如果原来是放大，则逆矩阵是缩小，如果原来是缩小，则逆矩阵是放大。
==HappyCoding==
作者：
zdd
出处：
绕任意轴旋转
绕任意轴旋转的情况比较复杂，主要分为两种情况，一种是平行于坐标轴的，一种是不平行于坐标轴的，对于平行于坐标轴的，我们首先将旋转轴平移至与坐标轴重合，然后进行旋转，最后再平移回去。
∙将旋转轴平移至与坐标轴重合，对应平移操作
∙旋转，对应操作
∙步骤1的逆过程，对应操作
整个过程就是
对于不平行于坐标轴的，可按如下方法处理。
（该方法实际上涵盖了上面的情况）
1将旋转轴平移至原点
2将旋转轴旋转至YOZ平面
3将旋转轴旋转至于Z轴重合
4绕Z轴旋转θ度
5执行步骤3的逆过程
6执行步骤2的逆过程
7执行步骤1的逆过程
假设用v1（a1,b2,c2）和v2（a2,b2,c2）来表示旋转轴，θ表示旋转角度。
为了方便推导，暂时使用右手系并使用列向量，待得出矩阵后转置一下即可，上面步骤对应的流程图如下。
步骤1是一个平移操作，将v1v2平移至原点，对应的矩阵为
步骤2是一个旋转操作，将p（p=v2-v1）旋转至XOZ平面，步骤3也是一个旋转操作，将p旋转至与Z轴重合，这两个操作对应的图如下。
做点p在平面YOZ上的投影点q。
再过q做Z轴垂线，则r是p绕X轴旋转所得，且旋转角度为α，且
于是旋转矩阵为
现在将r绕Y轴旋转至与Z轴重合，旋转的角度为-beta（方向为顺时针），且
于是得到旋转矩阵为
最后是绕Z轴旋转，对应的矩阵如下
如果旋转轴是过原点的，那么第一步和最后一步的平移操作可以省略，也就是把中间五个矩阵连乘起来，再转置一下，得到下面的绕任意轴旋转的矩阵
即
对应的函数代码如下。
voidRotateArbitraryAxis（D3DXMATRIX*pOut,D3DXVECTOR3*axis,floattheta）
{
D3DXVec3Normalize（axis,axis）;
floatu=axis->x;
floatv=axis->y;
floatw=axis->z;
pOut->m[0][0]=cosf（theta）+（u*u）*（1-cosf（theta））;
pOut->m[0][1]=u*v*（1-cosf（theta））+w*sinf（theta）;
pOut->m[0][2]=u*w*（1-cosf（theta））-v*sinf（theta）;
pOut->m[0][3]=0;
pOut->m[1][0]=u*v*（1-cosf（theta））-w*sinf（theta）;
pOut->m[1][1]=cosf（theta）+v*v*（1-cosf（theta））;
pOut->m[1][2]=w*v*（1-cosf（theta））+u*sinf（theta）;
pOut->m[1][3]=0;
pOut->m[2][0]=u*w*（1-cosf（theta））+v*sinf（theta）;
pOut->m[2][1]=v*w*（1-cosf（theta））-u*sinf（theta）;
pOut->m[2][2]=cosf（theta）+w*w*（1-cosf（theta））;
pOut->m[2][3]=0;
pOut->m[3][0]=0;
pOut->m[3][1]=0;
pOut->m[3][2]=0;
pOut->m[3][3]=1;
如果旋转轴是不过原点的，那么第一步和最后一步就不能省略，将所有七个矩阵连乘起来，得到如下变换矩阵
对应如下这个超长的矩阵，在这里（u,v,w）=（a2,b2,c2）-（a1,b1,c1），且是单位向量，a,b,c分别表示（a1,b1,c1）
将上面的过程写成函数，该函数接受四个参数，第一个参数是一个输出参数，用来保存得到的旋转矩阵，第二个和第三个参数是旋转轴的两个端点，最后一个参数是旋转角度θ，注意，在函数中我们已经将上面的矩阵转置了，因为上面是按照列向量计算的。
voidRotateArbitraryLine（D3DXMATRIX*pOut,D3DXVECTOR3*v1,D3DXVECTOR3*v2,floattheta）
{
floata=v1->x;
floatb=v1->y;
floatc=v1->z;
D3DXVECTOR3p=*v2-*v1;
D3DXVec3Normalize（&p,&p）;
floatu=p.x;
floatv=p.y;
floatw=p.z;
floatuu=u*u;
floatuv=u*v;
floatuw=u*w;
floatvv=v*v;
floatvw=v*w;
floatww=w*w;
floatau=a*u;
floatav=a*v;
floataw=a*w;
floatbu=b*u;
floatbv=b*v;
floatbw=b*w;
floatcu=c*u;
floatcv=c*v;
floatcw=c*w;
floatcostheta=cosf（theta）;
floatsintheta=sinf（theta）;
pOut->m[0][0]=uu+（vv+ww）*costheta;
pOut->m[0][1]=uv*（1-costheta）+w*sintheta;
pOut->m[0][2]=uw*（1-costheta）-v*sintheta;
pOut->m[0][3]=0;
pOut->m[1][0]=uv*（1-costheta）-w*sintheta;
pOut->m[1][1]=vv+（uu+ww）*costheta;
pOut->m[1][2]=vw*（1-costheta）+u*sintheta;
pOut->m[1][3]=0;
pOut->m[2][0]=uw*（1-costheta）+v*sintheta;
pOut->m[2][1]=vw*（1-costheta）-u*sintheta;
pOut->m[2][2]=ww+（uu+vv）*costheta;
pOut->m[2][3]=0;
pOut->m[3][0]=（a*（vv+ww）-u*（bv+cw））*（1-costheta）+（bw-cv）*sintheta;
pOut->m[3][1]=（b*（uu+ww）-v*（au+cw））*（1-costheta）+（cu-aw）*sintheta;
pOut->m[3][2]=（c*（uu+vv）-w*（au+bv））*（1-costheta）+（av-bu）*sintheta;
pOut->m[3][3]=1;
}
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