数学建模地实验报告材料Word文档格式.docx
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0.1:
20;
y=10./sqrt（（25.+x.^2）^3）+18./sqrt（（36.+（20-x）.^2）.^3）;
plot（x,y）
gridon;
在图中的0-20米范围内可得到路灯在路面照明的最亮点和最暗点
1对Ix求导：
symsx
f=10./sqrt（（25.+x.^2）^3）+18./sqrt（（36.+（20-x）.^2）.^3）
2运用MATLAB求出极值点
s=solve（'
（-30*x）/（（25+x^2）^（5/2））+（54*（20-x））/（（36+（20-x）^2）^（5/2））'
）;
s1=vpa（s,8）
s1=
.28489970e-1
8.5383043+11.615790*i
19.976696
9.3382991
8.5383043-11.615790*i
③根据实际要求，x应为正实数，选择19.9767、9.3383、0.02849三个数值，通过MATLAB计算出相应的I值：
I=10/（25+x^2）^（3/2）+18/（36+（20-x）^2）^（3/2）;
subs（I,x,19.9767）
subs（I,x,9.3383）
subs（I,x,0.02849）
ans=
0.0845
0.0182
1.820
x
0.02849
9.33829
19.9766
I
0.0820
0.0845
综上，在19.3米时有最亮点；
在9.33米时有最暗点
2.当h1=5m，3m<
h2<
9m时：
1对h2求偏导，并令其为0：
②运用MATLAB求出极值点
solve（'
3/（（h^2+（20-x）^2）^（3/2））-3*（3*h^2）/（（h^2+（20-x）^2）^（5/2））=0'
）
ans=
20+2^（1/2）*h
20-2^（1/2）*h
3对x求偏导，并令其为0：
4通过MATLAB，将步骤②中计算出的关于h2的表达式带入上式，并求出h2的值；
-30*（20-2^（1/2）*h）/（（25+（20-2^（1/2）*h）^2）^（5/2））+9*h*（20-（20-2^（1/2）*h））/（（h^2+（20-（20-2^（1/2）*h））^2）^（5/2））=0'
ans=
7.4223928896768612557104509932965
⑤通过MATLAB，利用已求得的h2，计算得到x，并进一步计算得到I
h=7.42239;
x=20-2^（1/2）*h
I=10/（（25+x^2）^（3/2））+（3*h）/（（h^2+（20-x）^2）^（3/2））
x=
9.5032
I=
0.0186
3．当h1，h2均在3m-9m之间时:
①同上，通过MATLAB求解下面的方程组：
p1/（h1^2+x^2）^（3/2）-3*p1*h1^2/（h1^2+x^2）^（5/2）'
）
2^（1/2）*h1
-2^（1/2）*h1
20-2^（1/2）*h
②根据实际，选择x=h1，x=20-h2，带入第三个式中，得：
③利用MATLAB，求得x值：
1/（（20-x）^3）=2/（3*（x^3））'
s1=vpa（s,6）
9.32530
7.33738+17.0093*i
7.33738-17.0093*i
4按照实际需求，选择x=9.32525
5带入求解I，并比较得到亮度最大的最暗点
h1=（1/sqrt
（2））*9.32525
h2=（1/sqrt
（2））*（20-9.32525）
h1=
6.5939
h2=
7.5482
四、计算结果
1.当h1=5m，h2=6m时:
0.028489970
9.3382991
19.976695
20
I（x）
0.08197716
0.08198104
0.01824393
0.08447655
0.08447468
x=9.33m时，为最暗点，I=0.01824393；
x=19.97m时，为最亮点，I=0.08447655。
x=9.5032,h2=7.42239时，路面上最暗点的亮度最大，I=0.0186w。
3.当h1，h2均在3m-9m之间时:
h1=6.5939，h2=7.5482，x=9.32525时，路面上最暗点的亮度最大。
2火箭问题
小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。
火箭竖直向上发射时燃料的燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。
设火箭上升时的空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m。
求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。
解析：
火箭上总共携带燃料1080kg，燃料燃烧率为18kg/s，火箭上升时间t=60s时，燃料全部烧尽。
阻力正比于速度的平方，比例系数0.4kg/m，可知阻力表达式为f=0.4v2。
由于燃料燃烧，火箭的质量是时间的函数，
m（t）=11400-18t
火箭升空速度和加速度变化可分为两个阶段；
第一阶段：
燃料燃烧产生的推力恒定，随着燃料的不断消耗，火箭的质量m降低，可得出火箭的速度v以及加速度a是变化的，由牛顿第二定律，根据速度与时间关系，建立微分方程组。
第二阶段，燃料耗尽，此时火箭的质量m恒定。
引擎关闭的瞬间，火箭剩余质量：
m=1400-1080=320kg，由于火箭运动受到阻力的作用，火箭先加速，后减速。
火箭将达到最高速度。
五、算法与编程
由题目已知条件可设置变量：
加速度a质量m时间t速度v合力f
求出有关于v的微分方程
第一阶段
clear
symsamtvf
m=1400-18*t
f=32000-0.4*v^2-9.8*m
a=f/m
m=
1400-18*t
f=
18280+882/5*t-2/5*v^2
a=
（18280+882/5*t-2/5*v^2）/（1400-18*t）
odefun=@（t,v）（18280+882/5*t-2/5*v^2）/（1400-18*t）;
s=cumsum（v）.*0.1;
subplot（2,2,1）
plot（t,s）;
gridon
xlabel（'
时间'
ylabel（'
高度'
title（'
1.h/t'
）
[t,v]=ode45（odefun,[0:
60],[0]）;
subplot（2,2,2）
plot（t,v）;
速度'
2.v/t'
a=diff（v）/0.1;
t2=[0:
59.9];
subplot（2,2,3）
plot（t2,a）;
加速度'
3.a/t'
第二阶段
火箭由重力作用上升，燃料耗尽后火箭质量为320kg。
由牛顿第二定律
可再次列出微分方程，t>
60s.
记y=（h,v）T
functiondy=Rocket（t,y）
dy=[v;
-9.8-0.4*v.^2/320];
ts=0:
60
x0=[0,0];
[t,x]=ode45（@Rocket,ts,x0）;
[t,x]
forn=1:
2000
T=100-0.01*n;
tss=60:
0.02:
T;
y0=[x（61,1）,x（61,2）];
option=odeset（'
reltol'
1e-3,'
abstol'
1e-6）;
[t2,y]=ode45（@Rocket,tss,y0,option）;
[t2,y];
ify（:
2）>
=0
break
end
plot（t,x（:
1）,'
b'
t2,y（:
r'
）,grid,
图1.高度-时间'
t/s'
h/m'
pause
2）,'
）,grid,
图2.速度-时间'
v/（m/s）'
pause
a=（32000-0.4*x（:
2）.^2）./（1400-18*t）-9.8;
a2=-9.8-0.4*y（:
2）.^2/320;
plot（t,a,'
t2,a2,'
图3.加速度-时间'
a/（m/s^2）'
六、计算结果
由MATLAB求解得：
引擎关闭瞬间引擎关闭瞬间：
火箭的高度为h=12190m，速度v=267.26m/s，加速度a=0.91701m/s2。
引擎关闭后：
当t=71.31s时，火箭上升到最大高度h=13115m，此时火箭的速度v=0.019874，几乎可认为已经停止，加速度a=-9.8m/s2。
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