数学新学案同步精致讲义选修21苏教版第1章 常用逻辑用语Word版含答案.docx

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数学新学案同步精致讲义选修21苏教版第1章常用逻辑用语Word版含答案

§1.1　命题及其关系

1.1.1　四种命题

学习目标

　1.了解命题的概念和分类.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.4.了解命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．

知识点一　命题的概念

思考　在这些语句中哪些能判断出真假，哪些不能判断出真假．

（1）这幅画真漂亮！

（2）求证

是无理数；

（3）菱形是平行四边形吗？

（4）等腰三角形的两底角相等；

（5）x＞2012；

（6）若x2＝20122，则x＝2012.

答案　

（1）

（2）（3）（5）不能判断真假；（4）（6）能判断真假．

梳理　

（1）命题的概念：

能够判断真假的语句叫做命题．

（2）分类

命题

知识点二　命题的构成形式

1．命题的一般形式为“若p则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

2．确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．

知识点三　四种命题及其关系

思考　初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？

答案　在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．

梳理　

（1）四种命题的概念

名称

形式

原命题

若p则q

逆命题

若q则p（交换原命题的条件和结论）

否命题

若非p则非q（同时否定原命题的条件和结论）

逆否命题

若非q则非p（同时否定原命题的条件和结论后，再交换）

（2）四种命题间的关系

（3）四种命题间的真假关系

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

③四种命题中，真命题都是成对出现，即真命题的个数为0或2或4.

1．命题均能判断其真假．（√）

2．我们所学习过的定理均为命题．（√）

3．命题：

若函数f（x）为区间D上的奇函数，则f（0）＝0，为真命题．（×）

4．命题：

若sinA＞sinB，则A＞B，其逆命题为真命题．（×）

类型一　命题的概念及真假判断

例1　判断下列语句是不是命题，并说明理由．

（1）

是有理数；

（2）3x2≤5；

（3）梯形是不是平面图形呢？

（4）若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；

（5）一个数的算术平方根一定是负数；

（6）若a与b是无理数，则ab是无理数．

考点　命题的定义及分类

题点　命题的定义

解　

（1）“

是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

（2）因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．

（3）“梯形是不是平面图形呢？

”是疑问句，所以它不是命题．

（4）“若x∈R，则x2＋4x＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．

（5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

（6）“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

反思与感悟　判断一个语句是不是命题的三个关键点

（1）一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．

（2）语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．

（3）对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．

跟踪训练1　下列语句是命题的是________．（填序号）

①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x＞2；⑤这座山真险啊！

考点　命题的定义及分类

题点　命题的定义

答案　①②③

解析　依据命题定义，得①②③为命题．

例2　给定下列命题：

①若a>b，则2a>2b；

②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；

③直线x＝

是函数y＝sinx的一条对称轴；

④在△ABC中，若

·

>0，则△ABC是钝角三角形．

其中为真命题的是________．（填序号）

考点　命题的真假判断

题点　命题真假的判断

答案　①③④

解析　结合函数f（x）＝2x的单调性，知①为真命题；而函数y＝sinx的对称轴方程为x＝

＋kπ，k∈Z，故③为真命题；又因为

·

＝|

||

|cos（π－B）＝－|

||

|cosB>0，故得cosB<0，从而得B为钝角，所以④为真命题．

引申探究

1．本例中命题④改为：

若

·

<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？

解　不是真命题，

·

<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．

2．本例中命题④改为：

若

·

＝0，则△ABC是________三角形．

答案　直角

解析　由

·

＝0，得∠B＝90°，故该三角形为直角三角形．

反思与感悟　一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．

跟踪训练2　判断下列语句是否为命题？

若是命题，则判断其真假：

（1）

是无限循环小数；

（2）x2－3x＋2＝0；

（3）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

（4）一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；

（5）当x＝4时，2x＋1＞0.

解　

（1）能判断真假，是命题，是假命题．

（2）不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假（这种语句叫“开语句”）．

（3）不能判断真假，不是命题．

（4）是命题，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．

（5）能判断真假，是命题，是真命题．

类型二　四种命题的关系及真假判断

例3　把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

（1）正数的平方根不等于0；

（2）当x＝2时，x2＋x－6＝0；

（3）对顶角相等．

解　

（1）原命题：

若a是正数，则a的平方根不等于0.

逆命题：

若a的平方根不等于0，则a是正数．

否命题：

若a不是正数，则a的平方根等于0.

逆否命题：

若a的平方根等于0，则a不是正数．

（2）原命题：

若x＝2，则x2＋x－6＝0.

逆命题：

若x2＋x－6＝0，则x＝2.

否命题：

若x≠2，则x2＋x－6≠0.

逆否命题：

若x2＋x－6≠0，则x≠2.

（3）原命题：

若两个角是对顶角，则它们相等．

逆命题：

若两个角相等，则它们是对顶角．

否命题：

若两个角不是对顶角，则它们不相等．

逆否命题：

若两个角不相等，则它们不是对顶角．

反思与感悟　由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．

跟踪训练3　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．

（1）实数的平方是非负数；

（2）等底等高的两个三角形是全等三角形．

解　

（1）逆命题：

若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．

否命题：

若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．

逆否命题：

若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．

（2）逆命题：

若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．

否命题：

若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．

逆否命题：

若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．

例4　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

（1）若a>b，则ac2>bc2；

（2）若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．

解　

（1）逆命题：

若ac2>bc2，则a>b.真命题．

否命题：

若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．

逆否命题：

若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．

（2）逆命题：

若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．

否命题：

若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．

逆否命题：

若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．

反思与感悟　1.若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．

2．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．

3．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.

跟踪训练4　下列命题中为真命题的是________．（填序号）

①“正三角形都相似”的逆命题；

②“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

③“若x－

是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

答案　②③

解析　①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题．

②原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0，∴m<－

<0.故为真命题．

③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－

不是有理数”．

∵x不是无理数，∴x是有理数．

又

是无理数，∴x－

是无理数，不是有理数．故为真命题．

所以真命题是②③.

类型三　等价命题的应用

例5　证明：

已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a，b∈R，若f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），则a＋b≥0.

证明　原命题的逆否命题为“已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f（a）＋f（b）

若a＋b<0，则a<－b，b<－a.

又∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，

∴f（a）

∴f（a）＋f（b）

即原命题的逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

反思与感悟　因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．

跟踪训练5　证明：

若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

证明　“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1＝（2b＋1）2－4b2－2（2b＋1）＋1

＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.

∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．

1．下列语句：

①12>5；②3是12的约数；③0.5是整数；④x是偶数；⑤x<2.

其中是命题的为________．（填序号）

答案　①②③

解析　依据命题的定义知只有①②③为命题．

2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________________________．

考点　四种命题的概念

题点　按要求写出命题

答案　若|a|＝|b|，则a＝－b

3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．

答案　若x>0，则x>1　若x≤0，则x≤1

4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．

答案　4

解析　逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；

否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；

逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，

全为真命题．

5．已知命题p：

“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．

（1）写出命题p的否命题；

（2）判断命题p的否命题的真假．

解　

（1）命题p的否命题为“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．

（2）命题p的否命题是真命题．

判断如下：

因为ac<0，

所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，

所以该命题是真命题．

1．根据命题的定义，可以判断真假的语句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．

3．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．

若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p则q”为真；确定“若p则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．

一、填空题

1．给出下列命题

①若a>b，则a3>b3；

②若a>1，则

<1；

③一元二次方程x2－x＋1＝0无实数解；

④若a≥b，则ac2≥bc2.

其中为真命题的是________．（填序号）

答案　①②③④

解析　显然①成立，②成立；而对于③：

判别式Δ＝（－1）2－4＝－3<0，故该方程无实数解；对于④：

结合不等式性质，可知该命题为真命题．

2．命题“若α＝

，则tanα＝1”的逆否命题是________．

答案　若tanα≠1，则α≠

3．下列命题：

①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．

其中假命题的个数是________．

答案　4

解析　①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④矩形的对角线不一定垂直．

4．给出下列命题：

①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“若{an}既是等差数列，又是等比数列，则an＝an＋1（n∈N*）”的逆命题；

③“若m＞1，则不等式x2＋2x＋m＞0的解集为R”的逆否命题．

其中所有真命题的序号是________．

答案　①③

解析　①的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”是真命题；②的逆命题为“数列{an}中，若an＝an＋1（n∈N*），则数列{an}既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0…；对于③，当m＞1时，Δ＝4－4m＜0恒成立，x2＋2x＋m＞0的解集为R是真命题．因此逆否命题是真命题．

5．已知命题“若m－1

答案　[1，2]

解析　由已知得若1

∴

∴1≤m≤2.

6．命题“函数y＝log2（x2－mx＋4）的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________________．

考点　命题的定义及分类

题点　由命题的真假求参数的取值范围

答案　（－∞，－4]∪[4，＋∞）

解析　由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即（－m）2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.

7．命题“当a＞0，a≠1时，若函数f（x）＝logax在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是________________________________________________________________________

________________________________________________________________________.

考点　四种命题的概念

题点　按要求写命题

答案　当a＞0，a≠1时，若loga2≥0，则函数f（x）＝logax在其定义域内不是减函数．

8．已知命题“函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点”为真命题，则实数b的取值范围是________．

答案　（0,2）

解析　函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点等价于函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|及y＝b的图象，如图．由图可知b∈（0,2）．

9．已知p：

关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，q：

函数f（x）＝－（5－2a）x是减函数，若p，q中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是________．

考点　命题的真假判断

题点　由命题的真假求参数的取值范围

答案　（－∞，－2]

解析　p为真命题时，Δ＝4a2－16＜0，

解得－2＜a＜2.

q为真命题时，5－2a＞1，

解得a＜2.

当p真q假时，

a∈∅.

当p假q真时，

即a≤－2.

故实数a的取值范围为（－∞，－2]．

10．命题“对于正数a，若a＞1，则lga＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．

答案　4

解析　逆命题：

对于正数a，若lga＞0，则a＞1，否命题：

对于正数a，若a≤1，则lga≤0.逆否命题：

对于正数a，若lga≤0，则a≤1.根据对数的性质可知都是真命题．

二、解答题

11．把下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断命题的真假．

（1）当ac>bc时，a>b；

（2）当m>

时，mx2－x＋1＝0无实根；

（3）当ab＝0时，a＝0或b＝0.

解　

（1）若ac>bc，则a>b.

∵当ac>bc，c<0时，a

（2）若m>

，则mx2－x＋1＝0无实根．

∵Δ＝1－4m<0，∴该命题是真命题．

（3）若ab＝0，则a＝0或b＝0，∴该命题是真命题．

12．已知命题p：

lg（x2－2x－2）≥0，命题q：

1－x＋

<1，若命题p，q至少有一个是真命题，求实数x的取值范围．

解　由lg（x2－2x－2）≥0，得x2－2x－2≥1，

解得x≤－1或x≥3.

由1－x＋

<1，得x2－4x<0，解得0

若命题p，q至少有一个是真命题，则有以下三种情形：

①p真q假；②p假q真；③p真q真．

当p真q假时，有

解得x≤－1或x≥4.

当p假q真时，有

解得0

当p真q真时，有

解得3≤x<4.

综上，满足条件的实数x的取值范围为以上三种情况的并集，即（－∞，－1]∪（0，＋∞）．

13．判断命题：

“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．

解　方法一　（利用原命题）因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．

方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．

方法二　（利用逆否命题）原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．

三、探究与拓展

14．命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是________．

考点　命题的真假判断

题点　由命题的真假求参数的取值范围

答案　（－∞，0）∪[3，＋∞）

解析　若命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是真命题，当a＝0时，3>0符合题意，当a≠0时，则a>0且Δ<0，解得00恒成立”是真命题，故当a<0或a≥3时，命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题．

15．写出命题“当2m＋1＞0时，如果

＞0，那么m2－5m＋6＜0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别指出四种命题的真假．

考点　四种命题的概念

题点　判断四种命题的真假

解　由2m＋1＞0，得m＞－

.

由

＞0，得m＜－3或m＞

，

又m＞－

，所以m＞

.

由m2－5m＋6＜0，得2＜m＜3，

又m＞－

，所以2＜m＜3.

由此可知，原命题可变为“如果m＞

，那么2＜m＜3”，

显然原命题是假命题．

逆命题为“当2m＋1＞0时，如果m2－5m＋6＜0，

那么

＞0”，

即“如果2＜m＜3，那么m＞

”，它是真命题．

否命题为“当2m＋1＞0时，如果

≤0，

那么m2－5m＋6≥0”，

因为

所以

所以－

＜m＜

，

由

得

即－

＜m≤2或m≥3，

所以否命题可表述为“如果－

＜m＜

，

那么－

＜m≤2或m≥3”，它是真命题．

逆否命题为“当2m＋1＞0时，如果m2－5m＋6≥0，

那么

≤0”，

则逆否命题可表述为“如果－

＜m≤2或m≥3，

那么－

＜m＜

”，它是假命题．