高中数学选修21第一章 常用逻辑用语导教学案.docx

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高中数学选修21第一章常用逻辑用语导教学案

课型：

课题：

1.4简单的逻辑联结词

（2）

第_2_课时

个人修案

小结　若p是真命题，则非p必是假命题；

若p是假命题，则非p必是真命题．

例1　写出下列命题的否定，并判断其真假．

（1）p：

y＝sinx是周期函数；

（2）p：

3＜2；（3）p：

空集是集合A的子集；

（4）p：

5不是75的约数．

反思与感悟　非p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写非p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”．

跟踪训练1　写出下列命题的否定形式．

（1）面积相等的三角形都是全等三角形；

（2）若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；

（3）若xy＝0，则x＝0或y＝0.

探究点二　命题的否定与否命题

思考1　已知命题p：

平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定．

答　命题p的否命题：

如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；

命题p的否定：

平行四边形的对角线不相等．

小结　命题的否定只否定命题的结论，不能否定命题的条件，也不能将条件和结论都否定，而否命题是对原命题的条件和结论的全盘否定，这就是命题的否定与否命题的区别．

思考2　填写下表中常见词语的否定形式：

正面词语

等于（＝）

大于（>）

小于（<）

能

是

都（全）是

任意的

任意两个

所有

否定词语

不等于（≠）

不大于（≤）

不小于（≥）

不能

不是

不都（全）是

某个

某两个

某些

正面词语

至多一个

至少有一个

至多n个

p或q

p且q

否定词语

至少两个

一个也没有

至少有（n＋1）个

非p且非q

非p或非q

炼·学

小结引导

1．若命题p为真，则“非p”为假；若p为假，则“非p”为真，类比集合知识，“非p”就相当于集合P在全集U中的补集∁UP.因此（非p）且p为假，（非p）或p为真．

2．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．

思·学

拓展引导

已知命题p：

方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：

关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p或q”与“非q”同时为真命题，求实数a的取值范围．

解　命题p：

方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于

⇔

解得a≤－1.

命题q：

关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，等价于a＝0或

由于⇔解得0

因为“p或q”与“非q”同时为真命题，即p真且q假，

所以解得a≤－1.

故实数a的取值范围是（－∞，－1]．

布置作业：

1、《全品作业手册》

2、章节测试题

三

维

目

标

知识与技能

（1）掌握逻辑联结词“或、且”的含义

（2）正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题

（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题

过程与方法

在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．

情感、态度

价值观

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

重点

通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容

难点

1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”.

预·学

学习引导

1．命题的否定

一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”．

2．命题¬p的真假

若p是真命题，则¬p必是假命题；若p是假命题，则¬p必是真命题．

演·学

思考引导

探究点一　非p命题

思考1　观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？

（1）p：

5是25的算术平方根；q：

5不是25的算术平方根．

（2）p：

y＝tanx是偶函数；q：

y＝tanx不是偶函数．

答　两组命题中，命题q都是命题p的否定．

小结　一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作非p，读作“非p”或“p的否定”．

思考2　逻辑联结词“非”的含义是什么？

答　“非”与日常用语中的“非”含义一致，表示“否定”“不是”“问题的反面”等；也可以从集合的角度理解“非”：

若命题p对应集合A，则非p对应集合A在全集U中的补集∁UA.

例2　写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．

（1）若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；

（2）若x2－3x－10＝0，则x＝－2或x＝5.

解　

（1）命题的否定：

若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题；

命题的否命题：

若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题．

（2）命题的否定：

若x2－3x－10＝0，则x≠－2且x≠5，为假命题；

命题的否命题：

若x2－3x－10≠0，则x≠－2且x≠5，为真命题．

反思与感悟　命题的否定是对命题的全盘否定，否定的是命题的结论，其真假性和原命题相反；而否命题对条件、结论均进行否定，其真假性和原命题的真假性没有关系．

跟踪训练2　写出下列各命题的非（否定）．

（1）p：

100既能被4整除，又能被5整除；

（2）q：

三条直线两两相交；

（3）r：

一元二次方程至多有两个解；（4）s：

2

探究点三　p或q、p且q、非p命题的综合应用

思考　对涉及命题的真假且含参数的问题，参数范围怎样确定？

答　已知命题p或q、p且q、非p的真假，可以通过真值表判断命题p、q的真假，然后将命题间的关系转化为集合间的关系，利用解不等式求参数的范围，要注意分各种情况进行讨论．

例3　设命题p：

函数f（x）＝loga|x|在（0，＋∞）上单调递增，命题q：

关于x的方程x2＋2x＋loga＝0的解集只有一个子集．若“p或q”为真，“非p或非q”也为真，求实数a的取值范围．

解　当命题p是真命题时，应有a>1；当命题q是真命题时，关于x的方程x2＋2x＋loga＝0无解，所以Δ＝4－4loga<0，解得1

综上所述，实数a的取值范围是a≥.

反思与感悟　由真值表可判断p或q、p且q、非p命题的真假，反之，由p或q，p且q，非p命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．

课型：

课题：

章节复习

第__课时

个人修案

例如当x＝－，＝<3.

故否命题为假．

（3）原命题：

a，b为非零向量，a⊥b⇒a·b＝0为真命题．

逆命题：

若a，b为非零向量，a·b＝0⇒a⊥b为真命题．

否命题：

设a，b为非零向量，a不垂直b⇒a·b≠0也为真．

知识点二　充要条件及其应用

充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：

（1）定义法

（2）传递法：

对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．

（3）等价命题法：

对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．

（4）集合法：

与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．

例2

　指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）．

（1）在△ABC中，p：

∠A＝∠B，q：

sinA＝sinB；

（2）对于实数x、y，p：

x＋y≠8，q：

x≠2或y≠6；

（3）非空集合A、B中，p：

x∈A∪B，q：

x∈B；

（4）已知x、y∈R，p：

（x－1）2＋（y－2）2＝0，

q：

（x－1）（y－2）＝0.

解　

（1）在△ABC中，∠A＝∠B⇒sinA＝sinB，反之，若sinA＝sinB，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180°），所以只有A＝B.故p是q的充要条件．

（2）易知，非p：

x＋y＝8，非q：

x＝2且y＝6，显然非q⇒非p，但非p

非q，即非q是非p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．

（3）显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．

（4）条件p：

x＝1且y＝2，条件q：

x＝1或y＝2，

所以p⇒q但q

p，故p是q的充分不必要条件．

例3

　设p：

实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.

q：

实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.

且非p是非q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

解：

设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a

B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}

＝{x|x<－4或x≥－2}．

∵非p是非q的必要不充分条件，

∴q是p的必要不充分条件．

∴A

B，∴或，

解得－≤a<0或a≤－4.故实数a的取值范围为（－∞，－4]∪.

炼·学

小结引导

引导学生自己总结本节课内容

思·学

拓展引导

已知函数f（x）＝x2－2x＋5.

（1）是否存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．

（2）若存在一个实数x0，使不等式m－f（x0）>0成立，求实数m的取值范围．

解　

（1）不等式m＋f（x）>0可化为m>－f（x），

即m>－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.

要使m>－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，

只需m>－4即可．

故存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.

（2）不等式m－f（x0）>0可化为m>f（x0），若存在一个实数x0，使不等式m>f（x0）成立，

只需m>f（x）min.

又f（x）＝（x－1）2＋4，

∴f（x）min＝4，∴m>4.

所以，所求实数m的取值范围是（4，＋∞）．

布置作业：

1、课本总复习参考题

2、《全品作业手册》

三

维

目

标

知识与技能

1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

3．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

4．理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

过程与方法

通过学习，正确使用逻辑用语，准确理解与表达数学内容，同时，不断地体会到逻辑用语在表述和论证中的作用.

情感、态度

价值观

通过整理所学知识，形成对知识的网络化认识，培养学生严谨、求实的学习态度和科学人生观.

重点

理解充分条件、必要条件和充要条件的意义，并会进行判断.

难点

对充分条件、必要条件和充要条件的理解

预·学

演·学

思考引导

知识点一　四种命题间的关系

命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．

例1

　判断下列命题的真假．

（1）若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；

（2）若0

（3）设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．

解　

（1）若x∈A∪B，则x∈B是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x∈B，则x∈A∪B，为真命题．

（2）∵0

原命题为真，故其逆否命题为真．

否命题：

若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.

知识点三　逻辑联结词的应用

对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．

利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．

例4

　判断下列命题的真假．

（1）对于任意x，若x－3＝0，则x－3≤0；

（2）若x＝3或x＝5，则（x－3）（x－6）＝0.

解　

（1）∵x－3＝0，有x－3≤0，∴命题为真；

（2）∵当x＝5时，（x－3）（x－6）≠0，

∴命题为假．

例5

　设命题p：

函数f（x）＝lg的定义域为R；命题q：

不等式<1＋ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．

解　p：

由ax2－x＋a>0恒成立得

，∴a>2.

q：

由<1＋ax对一切正实数均成立，

令t＝>1，则x＝，

∴t<1＋a·，

∴2（t－1）1均成立．

∴2，∴a≥1.

∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假．

若p真q假，a>2且a<1不存在．

若p假q真，则a≤2且a≥1，∴1≤a≤2.

故a的取值范围为1≤a≤2.

知识点四　全称命题与特称命题

全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．

全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．

全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．

特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．

例6

　写出下列命题的否定，并判断其真假．

（1）3＝2；

（2）5>4；（3）对任意实数x，x>0；

（4）有些质数是奇数．

解　

（1）3≠2，真命题；

（2）5≤4，假命题；

（3）存在一个实数x，x≤0，真命题；

（4）所有质数都不是奇数，假命题．

课型：

课题：

章节复习

（2）

第_2_课时

个人修案

炼·学

小结引导

思·学

拓展引导

三

维

目

标

知识与技能

1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

2．理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

过程与方法

通过学习，正确使用逻辑用语，准确理解与表达数学内容，同时，不断地体会到逻辑用语在表述和论证中的作用.

情感、态度

价值观

通过整理所学知识，形成对知识的网络化认识，培养学生严谨、求实的学习态度和科学人生观.

重点

三种命题真假的应用及对含有一个量词的命题进行否定．

难点

对三种命题的认识及对命题的否定的理解

预·学

学习引导

演·学

思考引导

课型：

课题：

章节复习

第__课时

个人修案

炼·学

小结引导

思·学

拓展引导

三

维

目

标

知识与技能

过程与方法

情感、态度

价值观

重点

难点

预·学

学习引导

演·学

思考引导

课型：

课题：

章节复习

第__课时

个人修案

炼·学

小结引导

思·学

拓展引导

三

维

目

标

知识与技能

过程与方法

情感、态度

价值观

重点

难点

预·学

学习引导

演·学

思考引导

课型：

课题：

章节复习

第__课时

个人修案

炼·学

小结引导

思·学

拓展引导

三

维

目

标

知识与技能

过程与方法

情感、态度

价值观

重点

难点

预·学

学习引导

演·学

思考引导

课型：

课题：

章节复习

第__课时

个人修案

炼·学

小结引导

思·学

拓展引导

三

维

目

标

知识与技能

过程与方法

情感、态度

价值观

重点

难点

预·学

学习引导

演·学

思考引导

课型：

课题：

章节复习

第__课时

个人修案

炼·学

小结引导

思·学

拓展引导

三

维

目

标

知识与技能

过程与方法

情感、态度

价值观

重点

难点

预·学

学习引导

演·学

思考引导

课型：

课题：

章节复习

第__课时

个人修案

炼·学

小结引导

思·学

拓展引导

三

维

目

标

知识与技能

过程与方法

情感、态度

价值观

重点

难点

预·学

学习引导

演·学

思考引导