三角函数ysinx的图象与性质.docx
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三角函数ysinx的图象与性质
.
三角函数的图象与性质
函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx
图象
{x|x∈R，且x≠
定义域
R
R
π
k∈Z
kπ＋，
2
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
2π－
π
，2
k
π＋
π
为
k
2
2
[2
k
π，2π＋π]为减；
单调性
π
3π
k
kπ－
π
，kπ＋
π为增
增；2π＋
，2π＋
2
2
k
k
[2
k
π－π，2
π]为增
2
2
k
为减
对称中心
（kπ，0）
π
kπ
kπ＋，0
，0
2
2
对称轴
π
x＝kπ
无
x＝kπ＋
2
与三角函数有关的定义域和值域问题
【例1】?
（1）函数y＝sin
x－cos
x的定义域为________．
f
x
π
3π
（2）函数
（
）＝2cos
（sin
－cos
）＋1在∈
，
上的最大值为________，最小值为________．
x
x
x
x
8
4
解析
（1）sin
x－cos
x＝2sin
x－π
≥0，
4
所以定义域为
x2k
π
5π
.
π＋≤x≤2kπ＋
4
，k∈Z
4
（2）f（x）＝2cos
xsin
2
2x－
π
x－2cosx＋1＝sin2x－cos2x＝2sin
4
，
π
3π
π
5π
π
2
∵x∈8，4
，∴2x－4
∈0，4
，∴sin2x－4
∈－2，1
，
故f（x）max＝2，f（x）min＝－1.
答案
（1）
x
2
kπ＋
π
≤x
≤2kπ＋
5π
，k∈Z
（2）2
－1
4
4
1
【训练1】
（1）
函数y＝tan
x－1的定义域为________；
（2）当x∈
π
，
7π时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值为________，最大值为________．
6
6
解析
（1）
由题意知：
tanx≠1，即x
π
，
x≠＋kπ，k∈Z
4
..
.
又x
π
k∈Z
，
x≠＋kπ，
2
故函数的定义域为：
x
π
π
＋kπ，k∈Z
.
x≠
＋kπ且x≠
4
2
（2）
＝3－sin
－2cos
2
＝3－sin
－2（1－sin
2
）＝2sin
2
－sin
＋1＝2sin
－
1
2
7
y
x
x
x
x
x
x
＋.
x
4
8
又x∈
π
7π
，∴sin
x∈
1
6
，
6
－，1，
2
∴当sin
1
7
；当sin
x
1
ymax＝2.
x＝时，ymin＝
8
＝－时，
4
2
答案
（1）
x
x≠
π
＋kπ且x≠
π
＋kπ，k∈Z
（2）
7
2
4
2
8
三角函数的单调性
sin
－cos
x
sin2
x
【例2】?
（2012·北京）已知函数f（x）＝
x
.
sin
x
（1）求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
解
（1）
由sin
x
≠0，得
≠π（∈Z），故
f
（
）的定义域为{
∈R|
x
≠
π，
k
∈Z}，
x
kk
x
x
k
因为f（x）＝
sin
x－cos
x
sin2
x＝2cos
x（sinx－cos
x）＝sin2
x－cos2x－1＝2sin
2x－
π
4
sin
x
－1，
所以
f
（
x
）的最小正周期
＝
2π＝π.
T
2
（2）函数y＝sin
x的单调递增区间为
2kπ－
π
，2kπ＋
π
（k∈Z）．
2
2
由2
k
π－π≤2－
π≤2π＋π，
x
≠
π（∈Z），得
k
π－
π≤
≤π＋3π，
≠
π（∈Z）．
2
x
4
k
2
k
k
8
x
k
8
x
k
k
所以f（x）的单调递增区间为
kπ－
π
，kπ
和kπ，kπ＋
3π
（k∈Z）．
8
8
【训练2】求下列函数的单调递增区间：
π
；
（2）
y＝3sin
π
－x.
（1）y＝cos2x＋
6
3
2
解
（1）
将2x＋
π
看做一个整体，根据
y＝cosx的单调递增区间列不等式求解．函数
y＝cosx的单调
6
递增区间为[2
k
π－π，2
π]，
k
∈Z.由2
k
π－π≤2
＋π
≤2π，
k
∈Z，得
k
π－
7π
≤
≤π－π
，
k
x
6
k
12
x
k
12
k∈Z.
故
y
＝cos
2＋
π
的单调递增区间为
k
π－
7π
，
k
π－
π（
k
∈Z）．
x
6
12
12
（2）
y
＝3sin
π
－
x
＝－3sin
x
π
π
＋2
x
π
≤2
k
3π
，得4π＋
5π
≤4π＋
－
，∴由
π≤－
π＋
≤
3
2
2
3
2
k
2
3
2
k
3
x
k
..
.
11π
3，k∈Z.
故y＝3sin
π
－x
的单调递增区间为
4π＋
5π
，4π＋11π
3
2
k
3
k
3（k∈Z）．三角函数的奇偶性、周期性
及对称性
π
2＋
π
＋
【例3】?
（1）若0＜
＜
，（
）＝sin
是偶函数，则
的值为________．
α
x
α
α
2
gx
4
（2）函数y＝2sin（3
x＋φ）
π
的一条对称轴为
π
|φ|＜
x＝
，则φ＝________.
2
12
解析
（1）
要使g（x）＝sin
2x＋
π
＋α＝kπ＋π，α＝kπ＋
π
，k∈Z，∵
＋α为偶函数，则需π
4
4
2
4
ππ
0<α<2，∴α＝4.
π
（2）由y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋2（k∈Z），
π
π
π
π
π
即3×12＋φ＝kπ＋2（k∈Z），得φ＝kπ＋4（k∈Z），又|φ|＜2，∴k＝0，故φ＝4.
π
π
答案
（1）
4
（2）
4
函数
f
（
x
）＝sin（
＋
）（
≠0），
（1）函数
f
（
x
）为奇函数的充要条件为
φ
＝
π（∈Z）；
A
ωxφω
k
k
为偶函数的充要条件为
φ
＝
π＋
π（
∈Z）．
（2）求
f
（）＝sin（
＋
）（
ω
≠0）的对称轴，只需令
ωx
k
2
k
x
A
ωxφ
π
＋φ＝2＋kπ（k∈Z），求x；如要求f（x）的对称中心的横坐标，只需令
ωx＋φ＝kπ（k∈Z）即可．
【训练3】（2013·银川联考）已知函数f（x）＝sin
3π
（x∈R），下面结论错误的是（
）．
2x＋
2
A．函数f（x）的最小正周期为π
B
．函数f（x）是偶函数
C．函数
（
）的图象关于直线
π
D
．函数
（
）在区间
π
上是增函数
f
＝
对称
f
x
0，
x
x
4
2
解析f（
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