答案 A
规律方法 1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin（ωx＋φ）形式，再求y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
【训练2】
（1）函数f（x）＝sin的单调递减区间为________.
（2）（一题多解）若函数f（x）＝sinωx（ω>0）在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析
（1）由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），
得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）.
故所求函数的单调递减区间为（k∈Z）.
（2）法一 由于函数f（x）＝sinωx（ω>0）的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f（x）的周期，故＝，解得ω＝.
法二 由题意，得f（x）max＝f＝sinω＝1.
由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝＋2kπ（k∈Z），解得ω＝＋6k（k∈Z）.
所以当k＝0时，ω＝.
答案
（1）（k∈Z）
（2）
考点三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
多维探究
角度1 三角函数奇偶性、周期性
【例3－1】
（1）（2018·全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝2cos2x－sin2x＋2，则（ ）
A.f（x）的最小正周期为π，最大值为3
B.f（x）的最小正周期为π，最大值为4
C.f（x）的最小正周期为2π，最大值为3
D.f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
（2）（2019·武汉调研）设函数f（x）＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝（ ）
A.－B.C.－D.
解析
（1）易知f（x）＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos2x＋，则f（x）的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，最大值为4.
（2）f（x）＝sin－cos＝2sin，
由题意可得f（0）＝2sin＝±2，即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ（k∈Z），
∴θ＝＋kπ（k∈Z）.
∵|θ|<，∴k＝－1时，θ＝－.
答案
（1）B
（2）A
规律方法 1.若f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω≠0），则
（1）f（x）为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ（k∈Z）；
（2）f（x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z）.
2.函数y＝Asin（ωx＋φ）与y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期T＝，y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T＝.
【训练3】
（1）（2018·全国Ⅲ卷）函数f（x）＝的最小正周期为（ ）
A.B.C.πD.2π
（2）（2019·商丘质检）函数f（x）＝3sin，φ∈（0，π）满足f（|x|）＝f（x），则φ的值为________.
解析
（1）f（x）的定义域为.
f（x）＝＝sinx·cosx＝sin2x，
∴f（x）的最小正周期T＝＝π.
（2）由题意知f（x）为偶函数，关于y轴对称，
∴f（0）＝3sin＝±3，
∴φ－＝kπ＋（k∈Z），
又0<φ<π，∴φ＝.
答案
（1）C
（2）
角度2 三角函数图象的对称性
【例3－2】
（1）已知函数f（x）＝asinx＋cosx（a为常数，x∈R）的图象关于直线x＝对称，则函数g（x）＝sinx＋acosx的图象（ ）
A.关于点对称B.关于点对称
C.关于直线x＝对称D.关于直线x＝对称
（2）（2016·全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），x＝－为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（ ）
A.11B.9C.7D.5
解析
（1）因为函数f（x）＝asinx＋cosx（a为常数，x∈R）的图象关于直线x＝对称，
所以f（0）＝f，所以1＝a＋，a＝，
所以g（x）＝sinx＋cosx＝sin，
函数g（x）的对称轴方程为x＋＝kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z），当k＝0时，对称轴为直线x＝，所以g（x）＝sinx＋acosx的图象关于直线x＝对称.
（2）因为x＝－为f（x）的零点，x＝为f（x）的图象的对称轴，所以－＝＋，即＝T＝·（k∈Z），所以ω＝2k＋1（k∈Z）.
又因为f（x）在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，ω＝11验证不成立（此时求得f（x）＝sin在上单调递增，在上单调递减），ω＝9时满足条件.由此得ω的最大值为9.
答案
（1）C
（2）B
规律方法 1.对于可化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）形式的函数，如果求f（x）的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ（k∈Z），求x即可；如果求f（x）的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求x即可.
2.对于可化为f（x）＝Acos（ωx＋φ）形式的函数，如果求f（x）的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求x；如果求f（x）的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ（k∈Z），求x即可.
【训练4】（2017·全国Ⅲ卷）设函数f（x）＝cos，则下列结论错误的是（ ）
A.f（x）的一个周期为－2π
B.y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
C.f（x＋π）的一个零点为x＝
D.f（x）在单调递减
解析 A项，因为f（x）的周期为2kπ（k∈Z且k≠0），所以f（x）的一个周期为－2π，A项正确.
B项，因为f（x）图象的对称轴为直线x＝kπ－（k∈Z），当k＝3时，直线x＝是其对称轴，B项正确.
C项，f（x＋π）＝cos，将x＝代入得到f＝cos＝0，所以x＝是f（x＋π）的一个零点，C项正确.
D项，因为f（x）＝cos的递减区间为（k∈Z），递增区间为（k∈Z），所以是减区间，是增区间，D项错误.
答案 D
[思维升华]
1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin（ωx＋φ）（ω>0）的形式.
2.对于函数的性质（定义域、值域、单调性、对称性、最值等）可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sint（或y＝cost）的性质.
3.数形结合是本讲的重要数学思想.
[易错防范]
1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
2.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k∈Z.
基础巩固题组
（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1.函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为（ ）
A.B.C.πD.2π
解析 ∵y＝2＝2sin，
∴T＝＝π.
答案 C
2.（2018·石家庄检测）若是函数f（x）＝sinωx＋cosωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是（ ）
A.2B.4C.6D.8
解析 因为f（x）＝sinωx＋cosωx＝sin，由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ（k∈Z），即ω＝8k－2（k∈Z），当k＝1时，ω＝6.
答案 C
3.已知函数f（x）＝2sinωx（ω>0）在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于（ ）
A.B.C.2D.3
解析 ∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－，∴ω≥.
答案 B
4.（2019·湖南十四校联考）已知函数f（x）＝2sinωx－cosωx（ω>0），若f（x）的两个零点x1，x2满足|x1－x2|min＝2，则f
（1）的值为（ ）
A.B.－C.2D.－2
解析 依题意可得函数的最小正周期为＝2|x1－x2|min＝2×2＝4，即ω＝，所以f
（1）＝2sin－cos＝2.
答案 C
5.若f（x）为偶函数，且在上满足：
对任意x10，则f（x）可以为（ ）
A.f（x）＝cosB.f（x）＝|sin（π＋x）|
C.f（x）＝－tanxD.f（x）＝1－2cos22x
解析 ∵f（x）＝cos＝－sinx为奇函数，∴排除A；f（x）＝－tanx为奇函数，∴排除C；f（x）＝1－2cos22x＝－cos4x为偶函数，且单调增区间为（k∈Z），排除D；f（x）＝|sin（π＋x）|＝|sinx|为偶函数，且在上单调递增.
答案 B
二、填空题
6.（2019·烟台检测）若函数f（x）＝cos（0<φ<π）是奇函数，则φ＝________.
解析 因为f（x）为奇函数，所以φ－＝＋kπ（k∈Z），φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.
答案
7.函数y＝cos的单调递减区间为________.
解析 由y＝cos＝cos，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z），
解得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以函数的单调递减区间为（k∈Z）.
答案 （k∈Z）
8.（2018·北京卷）设函数f（x）＝cos（ω>0）.若f（x）≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.
解析 由于对任意的实数都有f（x）≤f成立，故当x＝时，函数f（x）有最大值，故f＝1，－＝2kπ（k∈Z），∴ω＝8k＋（k∈Z）.又ω>0，∴ωmin＝.
答案
三、解答题
9.（2018·北京卷）已知函数f（x）＝sin2x＋sinxcosx.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间上的最大值为，求m的最小值.
解
（1）f（x）＝－cos2x＋sin2x
＝sin＋.
所以f（x）的最小正周期为T＝＝π.
（2）由
（1）知f（x）＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使得f（x）在上的最大值为，
即sin在上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
故实数m的最小值为.
10.（2019·合肥质检）已知函数f（x）＝sinωx－cosωx（ω>0）的最小正周期为π.
（1）求函数y＝f（x）图象的对称轴方程；
（2）讨论函数f（x）在上的单调性.
解
（1）∵f（x）＝sinωx－cosωx＝sin，且T＝π，
∴ω＝2，于是f（x）＝sin.
令2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z）.
即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）.
（2）令2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），
得函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）.
注意到x∈，所以令k＝0，
得函数f（x）在上的单调递增区间为；
同理，其单调递减区间为.
能力提升题组
（建议用时：
20分钟）
11.若对于任意x∈R都有f（x）＋2f（－x）＝3cosx－sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（ ）
A.（k∈Z）B.（k∈Z）
C.（k∈Z）D.（k∈Z）
解析 因为f（x）＋2f（－x）＝3cosx－sinx，
所以f（－x）＋2f（x）＝3cosx＋sinx.
解得f（x）＝cosx＋sinx＝sin，
所以f（2x）＝sin.
令2x＋＝kπ（k∈Z），得x＝－（k∈Z）.
所以f（2x）图象的对称中心为（k∈Z）.
答案 D
12.（2017·天津卷）设函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A.ω＝，φ＝B.ω＝，φ＝－
C.ω＝，φ＝－D.ω＝，φ＝
解析 ∵f＝2，f＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，
∴f（x）的最小正周期为4＝3π，
∴ω＝＝，
∴f（x）＝2sin.
∴2sin＝2，得φ＝2kπ＋（k∈Z），
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.
答案 A
13.已知x0＝是函数f（x）＝sin（2x＋φ）的一个极大值点，则f（x）的单调递减区间是________.
解析 因为x0＝是函数f（x）＝sin（2x＋φ）的一个极大值点，
所以sin＝1，解得φ＝2kπ－（k∈Z）.
不妨取φ＝－，此时f（x）＝sin，
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），
得f（x）的单调递减区间是（k∈Z）.
答案 （k∈Z）
14.已知函数f（x）＝sinsinx－cos2x＋.
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；
（2）若方程f（x）＝在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1－x2）的值.
解
（1）f（x）＝cosxsinx－（2cos2x－1）
＝sin2x－cos2x＝sin.
当2x－＝＋2kπ（k∈Z），即x＝π＋kπ（k∈Z）时，函数f（x）取最大值，且最大值为1.
（2）由
（1）知，函数f（x）图象的对称轴为x＝π＋kπ（k∈Z），
∴当x∈（0，π）时，对称轴为x＝π.
又方程f（x）＝在（0，π）上的解为x1，x2.
∴x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，
∴cos（x1－x2）＝cos＝sin，
又f（x2）＝sin＝，
故cos（x1－x2）＝.
升级会员 