九年级上册数学一元二次方程导学案Word格式.docx

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矩形的面积—圆的面积=矩形的面积×

.

列出方程：

200×

150-3x2=200×

150×

.①

2.据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.

引导学生思考：

等量关系：

两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×

（1+年平均增长量）2

75（1+X）2=108②

思考：

能把①，②化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？

让学生展开讨论，并引导学生把①，②化成下列形式：

①化简，整理得x2-2500=0③

②化简，整理得25x2+50x-11=0 

④

观察上述方程③和④，启发学生归纳得出：

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：

ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0）

其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.

4.让学生指出方程③，④中的二次项系数、一次项系数和常数项.

设计意图：

首先呈现两个实际问题，通过寻找等量，列出方程，然后再引导学生观察列出的两个方程的特征，引出一元二次方程的形式，进而抽象出一元二次方程的概念.

展示质疑

1.下列方程是否为一元二次方程？

若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.

（1）0.01t2=2t

（2）5x（x+1）+7=5x2-4

（3）3x（1-x）+10=2（x+2）（4）（9y-1）（2y+3）=18y2+1

2.某超市1月份的营业额是36万元，3月份的营业额是49万元，设每月营业额的平均增长率为x，则平均增长率为x应满足的方程为.

3.已知一个数x与比它大2的数的积等于35，请根据题意，列出关于x的方程，这个方程是一元二次方程吗？

点拨拓展

1.一元二次方程的显著特征是：

只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，整式方程.

2．一元二次方程的一般形式为：

ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的二次项系

数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的.

总结测评

1.下列方程是一元二次方程的是（只填序号）

（1）x2=-1

（2）x2+xy+1=0（3）ax2+bx+c=0

（4）21x2+3x-1=0（5）（

）2+x-1=0（6）（x+1）（x-1）x=x2+1

2.把一元二次方程（3x-2）（x+1）=8x-3化为一般形式是其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是.

3.将一根长为64cm的铁丝剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和为160cm2，，且其中一个正方形的边长为xcm，请根据题意列出关于x的方程.

4．已知关于x的方程（k2-1）x2+（k+1）x-2=0当k为何值时，此方程是一元二次方程，并写出这个方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

本课（章节）需12课时，本节课为第2课时一元二次方程的解法：

直接开平方法

（1）

1.知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。

2.掌握用直接开平方法对形如x2=a（a≥0），（ax+n）2=d（a,n,d为常数，d≥0）形式的一元二次方程进行求解.

3.引导学生体会解一元二次方程中的转化与降次思想

用直接开平方法对形如x2=a（a≥0），（ax+n）2=d（a,n,d为常数，d≥0）形式的一元二次方程进行求解.

体会解一元二次方程中的转化与降次思想.

一元一次方程是怎样解的呢？

怎样解一元二次方程呢？

学生通过自主预习教材P30—31完成下列问题：

1.若x2=a；

则x叫a的，x=；

若x2=4，则x=；

若x2=2，则x=. 

2.方程（ax+n）2=d（a,n,d为常数，d≥0）的根为.

3.根据平方根的意义来解一元二次方程的方法叫做，其实质是，将一个一元二次方程转化为个一元一次方程.

1.如何解本章2.1节“动脑筋”中的方程①：

x2-2500=0呢？

问：

怎样将这个方程“降次”为一元一次方程?

引导学生把方程①写成x2=2500

这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得

X=

或x=

因此原方程的解是：

x1=50，x2=-50

对于实际问题中的方程①而言，x2=-50不合题意，应当舍去.

注意：

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.

2.课本P31动脑筋：

如何解方程（1+x）2=81

先学生讨论交流：

当二次项的底数是一个多项式时怎么用直接开平方法解答？

教师引导：

把1+x看成一个整体.

由（1+x）2=81得1+x=

或1+x=

，即1+x=9或1+x=-9

解得x1=9，x2=-9

引导学生归纳总结：

解一元二次方程的基本思路是：

通过降次，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.

对形如x2=a（a≥0），（ax+n）2=d（a,n,d为常数，d≥0）形式的一元二次方程进行可以用直接开平方法求解,一定要注意此时方程有两个解.

1.解方程.

（1）4x2-25=0

（2）（2x+1）2=2

（3）（x+3）2-36=0（4）x2-6x+9=5

1.解一元二次方程的基本思路是什么？

通过降次将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.

2．直接开平方法适用于解什么形式的一元二次方程？

1.解方程.

（1）9x2-49=0

（2）9（1-2x）2-16=0

（3）2（2x-1）2-4=0（4）25x2-10x+1=9

2.一个正方形面积为7m2，宽是长的一半，求长和宽各是多少.

本课（章节）需12课时，本节课为第3课时一元二次方程的解法

（2）

1.通过实例让学生理解配方法，知道用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤.

2.理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法.

会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程.

是不是所有的一元二次方程都可以用配方来解呢？

学生自主预习教材P32—33完成下列问题：

1.a2±

2ab+b2= 

. 

2.在下列各题中，填上适当的数，使等式成立：

（1）x2+6x=（x+）2

（2）x2-6x+=（x-）2

（3）x2+6x+5=x2+6x+-+5=（x+）2-

3.解方程（x+2）2-16=0.

4.解方程：

x2+4x=12

分析：

如果能够把方程x2+4x=12写成（ax+n）2=d（a,n,d为常数，d≥0）的形式，那么就可以利用上节课讲的直接开平方法，根据平方根的意义来求解.那么怎样把方程x2+4x=12写成（ax+n）2=d（a,n,d为常数，d≥0）的形式呢？

小组讨论交流，然后总结得出：

x2+4x=12是二次项系数为1的方程，在方程左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，再经过整理就可以使方程的一边配成完全平方形式，即（ax+n）2=d（a,n,d为常数，d≥0）的形式，最后直接开平方，就可以求出该方程的解.让学生进一步体会化归的思想.

一般地，在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫做配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.

5.填空

（1）x2+4x+1=x2+4x+-+1=（x+）2-

（2）x2+3x-4=x2+3x+--4=（x+）2-

6.解方程.

（1）x2+10x+9=0

（2）x2-12x-13=0

（3）x2+8x-2=0（4）x2-5x-6=0

1.将二次项系数为1的方程配方的基本步骤是什么样的呢？

首先在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；

然后将配方后的一元二次方程用直接开平方法来解.

2.配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.

1.若方程x2+kx+64=0的左边是完全平方式，则k=

2.配方：

x2-8x-9=x2-8x+--9=（x-）2-

3.解方程.

（1）x2-2x-1=0

（2）（x-2）（x+3）=6

4.不解方程，只通过配方判断下列方程有无实数根.

（1） 

x2-6x+10=0

（2） 

x2+x+

=0

（3） 

x2-x-1=0

本课（章节）需12课时，本节课为第4课时一元二次方程的解法（3）

1.通过实例让学生理解配方法，知道用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤.

2.体会一元二次方程解法中的转化与降次的思想.

用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．

将一元二次方程转化为二次项系数为1的一般形式.

如何用配方法来解一元二次方程呢？

学生通过自主预习P34-P35完成下列各题.

1.用配方法解方程x2+2x-3=0.

2.用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤是什么?

3.用配方法解方程-x2+4x-1=0.

如何用配方法解本章2.1节“动脑筋”中的方程

：

25x2+50x-11=0呢?

在方程两边同除以25，将二次项系数化为1，得

x2+2x-

=0.

配方，得（x+1）2=

由此得x+1=1.2或x+1=-1.2

解得x1=0.2,x2=-2.2（不符合题意，舍去）

小结出方法。

用配方法解下列方程：

（1）4x2-12x-1=0；

（2）-x2+4x-3=0；

（3）4x2-x=9；

（4）3x2+2x-3=0；

议一议：

解方程-2x2+4x-8=0

学生先尝试着解方程，然后再交流，从中得出结论与大家分享.

1.用配方法解一元二次方程2x2+5x-6=0的步骤中第一步是.

2x2-3x+=2（x-）2.

3.用配方法解方程:

（1）2x2-3x=1；

（2）-x2+6x-12=0；

4.不解方程，只通过配方判定下列方程有无实数根.

（1）2x2-5x=1；

（2）-x2-x-4=0；

本课（章节）需12课时，本节课为第5课时公式法

1.会用公式法求解一元二次方程.

2.经历一元二次方程求根公式的推导过程，初步培养学生的逻辑推理能力和运算能力.

用公式法求解一元二次方程．

求根公式的推导.

配方法解一元二次方程十分繁琐，有没有一种通用的方法来解一元二次方程呢？

学生通过自主预习教材P35-P37完成下列各题.

1.用配方法解下列方程：

（1）x2-6x-7=0；

（2）2x2+5x=6；

2.用配方法解一元二次方程的步骤是怎样的?

（1）化二次项系数为1；

（2）移项；

（3）配方：

方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；

（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无实数解．

运用配方法解一元二次方程时，我们对于每一个具体的方程，都重复使用了一些相同的计算步骤，这启发我们思考：

能不能对一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0（a≠0）,

使用配方法，求出这个方程的根呢？

方程两边同除以a，得

x2++=0.

把方程的左边配方，得x2++-=0

因此（x+）2=.

当b2—4ac≥0时，根据平方根的意义，解得x1=,x2=.

于是，一元二次程ax2+bx+c=0（a≠0）在b2—4ac≥0的条件下,它的根为：

X=（b2—4ac≥0）.

1.用公式法解下列方程：

（1）x2-x-2=0；

（2）x2-2x=1；

（3）4x2-3x-1=x-2.

2.用公式法解方程：

9x2+12x+8=0.

以“本节课我们学到了什么?

”启发学生谈谈本节课的收获.

1.明白一元二次方程求根公式的推导，熟记求根公式，并注意公式成立的条件：

a≠0，b2—4ac≥0.

2.熟记公式法解一元二次方程的基本步骤.

3.求根公式只适用于一元二次方程,是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式.

1.用求根公式解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的步骤是：

（1）；

（2）；

（3）.

2.方程（x+2）（x-3）=1化为一般形式为，其中a=,b=,c=,b2—4ac=,用求根公式解得x1=，x2=.

3.用公式法解下列方程：

（1）x2-6x+1=0；

（2）2t2-t=6；

（3）3x（x-3）=2（x-1）（x+1）.

初中九年级上册数学导学案

本课（章节）需12课时，本节课为第6课时因式分解法

1.会用因式分解法求解一元二次方程.

2.进一步体会一元二次方程解法中的转化与降次思想.

除了配方法和公式法解一元二次方程十分繁琐，有没有一种比较简单的方法来解一元二次方程呢？

学生自主预习教材P37-P39，完成下列各题.

1.将下列各式分解因式

（1）x2-3x；

（2）2x（5x-1）-3（5x-1）；

（3）x2-4；

（4）x2-10x+25.

2.若ab=0，则=0或=0，若x（x-3）=0，则=0或=0.

3.试求下列方程的根

（1）x（x-7）=0；

（2）（x+1+2）（x+1-2）=0；

解方程：

x2-3x=0

解：

方程的左边提取公因式x，得x（x-3）=0

由此得x=0或x-3=0

即x1=0,x2=3.

归纳：

像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法.

请用公式法解方程x2-3x=0，并与上面的因式分解法进行比较，你觉得哪种方法更简单？

根据以上解题步骤，组内交流，总结用因式分解法解一元二次方程的基本步骤：

（1）将方程化为左边是含未知数的代数式，右边是0的形式；

（2）将方程左边分解成两个一次因式；

（3）令每个因式等于0；

（4）求解.

用因式分解法解下列方程：

（1）x（x-5）=3x；

（2）2x（5x-1）=3（5x-1）；

（3（35-2x）2-900=0；

（4）x2-10x+24=0.

一元二次方程的三种解法：

配方法、公式法、因式分解法,三种解法的特点是：

配方法要先配方，再降次；

公式法直接利用求根公式；

因式分解法先要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0；

配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程，解一元二次方程的基本思路：

化二元为一元，即“降次”.

1.用因式分解法解下列方程：

（1）x（x-3）=5x；

（2）4x2-20x+25=0.

2.用因式分解法解下列方程：

（1）2x（x-1）=1-x；

（2）5x（x+2）=4x+8；

（3）（x-3）2-2=0；

（4）x2+6x+8=0.

3.用因式分解法解下列方程：

（1）x2-4x+4=（5-2x）2；

（2）（4x-1）2-10（4x-1）2-24=0.

本课（章节）需12课时，本节课为第7课时用适当的方法解一元二次方程

1.会用合适的方法解一元二次方程.

2.体会一元二次方程解法中的转化与降次思想.

根据不同方程的特点灵活选择合适的方法解一元二次方程.

通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的数学思想.

1.我们已经学习了哪三种解一元二次方程的方法？

分别的解题步骤是怎样的？

学生自主预习教材P40-P41，完成下列各题.

2.用不同的方法解一元二次方程x2-4x-1=0（配方法、公式法、因式分解法）

3议一议：

下列方程用哪种方法求解较简便？

说一说你的理由.

（1）x2-4x=0；

（2）2x2+4x-3=0；

（3）x2+6x+9=16.

4.选择合适的方法解下列方程.

（1）x2+3x=0；

（2）5x2+4x-1=0；

（3）x2+2x-3=0.

5.选择合适的方法解下列方程.

（1）x2+（

+1）x=0；

（2）（x+2）（x-5）=1.

一元二次方程的三种解法的联系与区别：

联系：

（1）降次；

（2）公式法由配方法推导而得到；

（3）配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法、适用于某些一元二次方程.

区别：

（1）配方法要先配方，再开方求根；

（2）公式法直接利用公式求根；

（3）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.

选择合适的方法解下列方程：

（1）3x2-4x=2x；

（2）（x+3）2=1；

（3）x（x-6）=2（X-8）；

（4）（x+1）（x-1）=

；

（5）x（x+8）=25；

（6）（2x+1）2=2（2x+1）；