九年级数学上册第21章一元二次方程.docx
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九年级数学上册第21章一元二次方程
九年级数学上册第21章一元二次方程
一﹨单项选择题：
（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填在答题卡上）
1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9
2．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥1
3．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（ ）
A．10cmB．13cmC．14cmD．16cm
4．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥
B．k＞
C．k＜
D．k≤
5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（ ）
A．﹣10B．10C．﹣6D．2
6．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（ ）
A．x2+9x﹣8=0B．x2﹣9x﹣8=0C．x2﹣9x+8=0D．2x2﹣9x+8=0
7．下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+x+1=0B．4x2+2x+1=0C．x2+12x+36=0D．x2+x﹣2=0
8．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件．设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）=4.5B．1.4（1+2x）=4.5
C．1.4（1+x）2=4.5D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5
9．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
10．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A．x（5+x）=6B．x（5﹣x）=6C．x（10﹣x）=6D．x（10﹣2x）=6
二﹨填空题：
（本大题共10小题，每小题3分，共30分．把答案写在题中的横线上
11．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22= ．
12．若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为 ．
13．若实数a﹨b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ．
14．将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m= ．
15．若x2+x+m=（x﹣3）（x+n）对x恒成立，则n= ．
16．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．
17．一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 L．
18．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= ．
19．关于x的方程kx2﹣4x﹣
=0有实数根，则k的取值范围是 ．
20．已知若分式
的值为0，则x的值为 ．
三﹨解答题
21．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据
（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
22．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
23．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
24．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？
25．某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：
基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？
下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；
（2）请你判断谁的说法正确，为什么？
26．先化简，再求值：
（
+
）÷
，其中a满足a2﹣4a﹣1=0．
27．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：
不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
28．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：
每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？
29．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
《第21章一元二次方程》
参考答案与试题解析
一﹨单项选择题：
（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填在答题卡上）
1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】根据配方法，可得方程的解．
【解答】解：
x2﹣6x﹣4=0，
移项，得x2﹣6x=4，
配方，得（x﹣3）2=4+9．
故选：
D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：
移项﹨二次项系数化为1，配方，开方．
2．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥1
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．
【解答】解：
因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，
解之得a≤1．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（ ）
A．10cmB．13cmC．14cmD．16cm
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设正方形铁皮的边长应是x厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长﹨宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可．
【解答】解：
正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长﹨宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得，
（x﹣3×2）（x﹣3×2）×3=300，
解得x1=16，x2=﹣4（不合题意，舍去）；
答：
正方形铁皮的边长应是16厘米．
故选：
D．
【点评】此题主要考查长方体的体积计算公式：
长方体的体积=长×宽×高，以及平面图形折成立体图形后各部分之间的关系．
4．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥
B．k＞
C．k＜
D．k≤
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】先根据判别式的意义得到△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，然后解关于k的一元一次不等式即可．
【解答】解：
根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，
解得k≤
．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（ ）
A．﹣10B．10C．﹣6D．2
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，
∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，
解得：
m=﹣2，n=﹣8，
∴m+n=﹣10，
故选A．
【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此题的关键．
6．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（ ）
A．x2+9x﹣8=0B．x2﹣9x﹣8=0C．x2﹣9x+8=0D．2x2﹣9x+8=0
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程．
【解答】解：
设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化简整理得，x2﹣9x+8=0．
故选C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米2得出等式是解题关键．
7．下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+x+1=0B．4x2+2x+1=0C．x2+12x+36=0D．x2+x﹣2=0
【考点】根的判别式．
【分析】由方程有两个相等的实数根，得到△=0，于是根据△=0判定即可．
【解答】解：
A﹨方程x2+x+1=0，∵△=1﹣4＜0，方程无实数根；
B﹨方程4x2+2x+1=0，∵△=4﹣16＜0，方程无实数根；
C﹨方程x2+12x+36=0，∵△=144﹣144=0，方程有两个相等的实数根；
D﹨方程x2+x﹣2=0，∵△=1+8＞0，方程有两个不相等的实数根；
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根
8．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件．设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）=4.5B．1.4（1+2x）=4.5
C．1.4（1+x）2=4.5D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】根据题意可得等量关系：
2013年的快递业务量×（1+增长率）2=2015年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：
设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，由题意得：
1.4（1+x）2=4.5，
故选：
C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
9．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：
①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解答】解：
∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x2﹣8x+12=0，
解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
10．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A．x（5+x）=6B．x（5﹣x）=6C．x（10﹣x）=6D．x（10﹣2x）=6
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】一边长为x米，则另外一边长为：
5﹣x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．
【解答】解：
一边长为x米，则另外一边长为：
5﹣x，
由题意得：
x（5﹣x）=6，
故选：
B．
【点评】本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．
二﹨填空题：
（本大题共10小题，每小题3分，共30分．把答案写在题中的横线上
11．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22= 10 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题；实数．
【分析】利用根与系数的关系确定出原式的值即可．
【解答】解：
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，
∴x1+x2=2，x1x2=﹣3，
则原式=（x1+x2）2﹣2x1x2=4+6=10，
故答案为：
10
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
12．若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为 ﹣3 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】将x=1代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．
【解答】解：
将x=1代入得：
1+2+m=0，
解得：
m=﹣3．
故答案为：
﹣3．
【点评】本题主要考查的是方程的解（根）的定义，将方程的解（根）代入方程得到关于m的方程是解题的关键．
13．若实数a﹨b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ﹣
或1 ．
【考点】换元法解一元二次方程．
【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．
【解答】解：
设a+b=x，则由原方程，得
4x（4x﹣2）﹣8=0，
整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，
分解得：
（2x+1）（x﹣1）=0，
解得：
x1=﹣
，x2=1．
则a+b的值是﹣
或1．
故答案是：
﹣
或1．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
14．将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m= 3 ．
【考点】配方法的应用．
【专题】计算题．
【分析】原式配方得到结果，即可求出m的值．
【解答】解：
x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=（x+3）2﹣6=（x+m）2+n，
则m=3，
故答案为：
3
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．若x2+x+m=（x﹣3）（x+n）对x恒成立，则n= 4 ．
【考点】因式分解-十字相乘法等．
【分析】利用多项式乘法去括号，得出关于n的关系式进而求出n的值．
【解答】解：
∵x2+x+m=（x﹣3）（x+n），
∴x2+x+m=x2+（n﹣3）x﹣3n，
故n﹣3=1，
解得：
n=4．
故答案为：
4．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确去括号得出是解题关键．
16．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=
．
【考点】根的判别式．
【分析】根据题意可得△=0，据此求解即可．
【解答】解：
∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=9﹣4m=0，
解得：
m=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．
17．一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 20 L．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设每次倒出液体xL，第一次倒出后还有纯药液（40﹣x），药液的浓度为
，再倒出xL后，倒出纯药液
•x，利用40﹣x﹣
•x就是剩下的纯药液10L，进而可得方程．
【解答】解：
设每次倒出液体xL，由题意得：
40﹣x﹣
•x=10，
解得：
x=60（舍去）或x=20．
答：
每次倒出20升．
故答案为：
20．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
18．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= 1 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】计算题；待定系数法．
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．
【解答】解：
∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，
∴a+1≠0且a2﹣1=0，
∴a=1．
故答案为：
1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：
含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．
19．关于x的方程kx2﹣4x﹣
=0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣6 ．
【考点】根的判别式；一元一次方程的解．
【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
【解答】解：
当k=0时，﹣4x﹣
=0，解得x=﹣
，
当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣
=0是一元二次方程，
根据题意可得：
△=16﹣4k×（﹣
）≥0，
解得k≥﹣6，k≠0，
综上k≥﹣6，
故答案为k≥﹣6．
【点评】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．
20．已知若分式
的值为0，则x的值为 3 ．
【考点】分式的值为零的条件；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】首先根据分式值为零的条件，可得
；然后根据因式分解法解一元二次方程的步骤，求出x的值为多少即可．
【解答】解：
∵分式
的值为0，
∴
解得x=3，
即x的值为3．
故答案为：
3．
【点评】
（1）此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：
“分母不为零”这个条件不能少．
（2）此题还考查了因式分解法解一元二次方程问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
三﹨解答题
21．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据
（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】
（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用
（1）中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费．
【解答】解：
设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）2万元．
则2500（1+x）2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：
这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．
故根据
（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
22．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．
【分析】
（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【解答】解：
（1）∵b2﹣4ac=
（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：
a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：
，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
23．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇
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