数学建模与数学实验课程设计题目与参考答案.docx
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数学建模与数学实验课程设计题目与参考答案
数学建模与数学实验课程设计题目
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1
线性回归问题
结合课程,学习相关理论,查找资料,提出自己的解决问题的方法和实现的Matlab或Mathematica、C语言程序.
论文、程序
1-2人
2
多元线性回归问题
同上
论文、程序
1-2人
3
线性规划问题
同上
论文、程序
1-2人
4
非线性方程求解
同上
论文、程序
1-2人
5
非线性问题
同上
论文、程序
1-2人
6
非线性规划问题
同上
论文、程序
1-2人
1、一元线性回归问题
在某产品表明腐蚀刻线，下表是试验活得的腐蚀时间（x）与腐蚀深度（y）间的一组数据。
试研究两变量（x，y）之间的关系。
X
5
5
10
20
30
40
50
60
65
90
100
y
5
6
8
13
15
17
19
25
25
29
35
其中：
x------腐蚀时间（秒）；------腐蚀深度（y）（
）。
要求：
1）画出散点图，并观察y与x的关系；
2）求y关于x的线性回归方程：
，求出a与b的值；
3）对模型和回归系数进行检验；
4）预测x=120时的y的置信水平为0.95的预测区间。
5）编程实现上述求解过程。
注：
参考书目：
1、《概率论与数理统计》，浙江大学编，高等教育出版社。
2、《数学实验》，萧树铁主编，高等教育出版社。
2、多元线性回归问题
根据下述某猪场25头育肥猪4个胴体性状的数据资料，试进行瘦肉量y对眼肌面积（x1）、腿肉量（x2）、腰肉量（x3）的多元线性回归分析。
序
号
瘦肉量
y（kg）
眼肌面积
x1（cm2）
腿肉量
x2（kg）
腰肉量
x3（kg）
序号
瘦肉量y（kg）
眼肌面积x1（cm2）
腿肉量x2（kg）
腰肉量x3（kg）
1
15.02
23.73
5.49
1.21
14
15.94
23.52
5.18
1.98
2
12.62
22.34
4.32
1.35
15
14.33
21.86
4.86
1.59
3
14.86
28.84
5.04
1.92
16
15.11
28.95
5.18
1.37
4
13.98
27.67
4.72
1.49
17
13.81
24.53
4.88
1.39
5
15.91
20.83
5.35
1.56
18
15.58
27.65
5.02
1.66
6
12.47
22.27
4.27
1.50
19
15.85
27.29
5.55
1.70
7
15.80
27.57
5.25
1.85
20
15.28
29.07
5.26
1.82
8
14.32
28.01
4.62
1.51
21
16.40
32.47
5.18
1.75
9
13.76
24.79
4.42
1.46
22
15.02
29.65
5.08
1.70
10
15.18
28.96
5.30
1.66
23
15.73
22.11
4.90
1.81
11
14.20
25.77
4.87
1.64
24
14.75
22.43
4.65
1.82
12
17.07
23.17
5.80
1.90
25
14.35
20.04
5.08
1.53
13
15.40
28.57
5.22
1.66
要求：
1）画出散点图y与x1，y与x2，y与x3并观察y与x1，x2，x3的关系；
2）求y关于x1，x2，x3的线性回归方程：
-----
（1），求出
的值；
3）对上述回归模型和回归系数进行检验；
4）再分别求y关于单个变量x1，x2,x3的线性回归方程：
----
（2），
-----（3）,
-----（4）求出
的值；
分别求y关于两个变量x1，x2,x3的线性回归方程：
----（2’），
---（3’）,
-----（4’）求出系数
的值；并说明这六个回归方程对原来问题求解的优劣。
5）编程实现上述求解过程。
注：
参考书目：
1、《概率论与数理统计》，浙江大学编，高等教育出版社。
2、《数学实验》，萧树铁主编，高等教育出版社。
3、优化理论中的线性规划问题---生产安排。
某公司打算利用具有下列成分（见下表）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：
2：
5。
合金品种
1
2
3
4
5
含铅%
含锌%
含锡%
30
60
10
10
20
70
50
20
30
10
10
80
50
10
40
单价（元/kg）
8.6
6.0
8.9
5.7
8.8
要求：
（1）根据题意，列出该问题的线性规划模型；
（2）利用单纯形法求解
（1）中的模型，并写出分配方案；
（3）编程实现上述求解过程；
（4）利用程序验证上述模型的最优解。
注：
参考书目：
1、《运筹学》，《运筹学》教材编写组编，清华大学出版社。
2、《数学实验》，萧树铁主编，高等教育出版社。
4、非线性方程求解
分别用二分法、牛顿切线法、迭代法求解非线性方程
的非负实数根。
要求：
（1）精确到
，取不同的初值计算，输出初值、根的近似值和迭代次数，分析根的收敛域。
（2）编写二分法、牛顿切线法的程序。
（可以用Matlab或C语言）。
（3）迭代法求解（可构造不同的迭代公式，如
等）。
（4）比较三种方法的优劣。
注：
参考书目：
1、《高等数学（上）》，同济大学编，高等教育出版社。
2、《数学实验》，萧树铁主编，高等教育出版社。
5、非线性回归问题-------多项式回归
给动物口服某种药物A1000mg，每间隔1小时测定血药浓度（g/ml），得到表9-5的数据（血药浓度为5头供试动物的平均值）。
血药浓度与服药时间测定结果表：
服药时间x（小时）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
血药浓度y（g/ml）
21.89
47.13
61.86
70.78
72.81
66.36
50.34
25.31
3.17
要求：
1）画出散点图y与x，并观察y与x的关系；
2）求y关于x的一元线性回归方程：
-----
（1），求出
的值；
3）对上述回归模型和回归系数进行检验；
4）再求y关于x的一元多项式线性回归方程。
（如：
----
（2））求出
的值，并比较二个回归方程对原来问题求解的优劣。
5）编程实现上述求解过程。
注：
参考书目：
1、《概率论与数理统计》，浙江大学编，高等教育出版社。
2、《数学实验》，萧树铁主编，高等教育出版社。
6、非线性规划问题
现有两种原料
和
数量分别为1200千克和1500千克,需要分配用于生产3种产品.其中每种产品生产的产量
与两种原料的关系分别为:
每种产品的利润函数为:
问:
应如何分配,才能使生产三种产品的总利润最大.
要求:
1）介绍非线性规划理论;
2）求出最优解.
注：
参考书目：
1、《运筹学》，《运筹学》教材编写组编，清华大学出版社。
2、《数学实验》，萧树铁主编，高等教育出版社。
1.一元线性回归问题
[b,bint,r,rint,stats]=regress（Y,X,alpha）求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型
b：
回归系数的估计值
bint：
表示回归系数的区间估计.
r：
表示残差
rint：
表示置信区间
stats：
表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：
相关系数r2、F值、与F对应的概率p
程序：
clearall;clc
x1=[051020304050606590100]';
x=[ones（11,1）,x1];
y=[5681315171925252935]';
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,x,0.05）
rcoplot（r,rint）
运行结果
b=
5.6273
0.2874
bint=
4.04017.2146
0.25780.3171
r=
-0.6273
-1.0646
-0.5018
1.6238
0.7493
-0.1251
-0.9996
2.1259
0.6887
-2.4974
0.6281
rint=
-3.48802.2333
-3.91221.7830
-3.50542.5018
-1.21284.4603
-2.36923.8678
-3.32323.0729
-4.09042.0912
-0.53074.7826
-2.38533.7627
-4.5073-0.4875
-1.96813.2244
stats=
0.9816479.85210.00001.9575
b=
5.6273
0.2874
bint=
4.04017.2146
0.25780.3171
r=
-0.6273
-1.0646
-0.5018
1.6238
0.7493
-0.1251
-0.9996
2.1259
0.6887
-2.4974
0.6281
rint=
-3.48802.2333
-3.91221.7830
-3.50542.5018
-1.21284.4603
-2.36923.8678
-3.32323.0729
-4.09042.0912
-0.53074.7826
-2.38533.7627
-4.5073-0.4875
-1.96813.2244
stats=
0.9816479.85210.00001.9575
残差图
结果分析：
从残差图可以看出，除第10个数据外,其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，第10个数据可视为异常点（剔除）。
在进行运算
clearall;clc
x1=[0510203040506065100]';
x=[ones（10,1）,x1];
y=[56813151719252535]';
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,x,0.05）
rcoplot（r,rint）
运行结果为
b=
5.3232
0.3020
bint=
4.08066.5658
0.27630.3277
r=
-0.3232
-0.8333
-0.3434
1.6364
0.6162
-0.4040
-1.4242
1.5556
0.0455
-0.5253
rint=
-2.53441.8880
-3.00351.3368
-2.66251.9756
-0.30813.5809
-1.77623.0085
-2.83982.0317
-3.52430.6758
-0.40813.5192
-2.30142.3923
-2.24151.1910
stats=
0.9892733.54670.00001.1080
残差图
从残差图可以看出，数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，说明回归模型
y=5.3232+0.3020x能较好的符合原始数据，
预测x=120时的y的置信水平为0.95的预测区间。
将120带入y=5.3232+0.3020x可得y=41.5632
2.多元线性回归问题
散点图
多元线性回归
程序:
clearall;clc
x1=[23.735.491.21
22.344.321.35
28.845.041.92
27.674.721.49
20.835.351.56
22.274.271.50
27.575.251.85
28.014.621.51
24.794.421.46
28.965.301.66
25.774.871.64
23.175.801.90
28.575.221.66
23.525.181.98
21.864.861.59
28.955.181.37
24.534.881.39
27.655.021.66
27.295.551.70
29.075.261.82
32.475.181.75
29.655.081.70
22.114.901.81
22.434.651.82
20.045.081.53];
x=[ones（25,1）,x1];
y=[15.02
12.62
14.86
13.98
15.91
12.47
15.80
14.32
13.76
15.18
14.20
17.07
15.40
15.94
14.33
15.11
13.81
15.58
15.85
15.28
16.40
15.02
15.73
14.75
14.35];
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,x,0.05）
rcoplot（r,rint）
结果
b=
0.8539
0.0178
2.0782
1.9396
bint=
-1.99953.7073
-0.04290.0784
1.51992.6365
0.87992.9993
r=
-0.0117
-0.2270
-0.7043
-0.0645
0.5420
-0.5628
-0.0424
0.4385
0.4483
-0.4225
-0.4134
0.0657
-0.0293
0.0628
-0.0962
0.3195
-0.3173
0.5827
-0.3200
-0.5517
0.8100
-0.2151
0.7895
0.3040
-0.3847
rint=
-0.75290.7296
-1.08340.6294
-1.53940.1307
-0.99010.8611
-0.29631.3802
-1.38770.2621
-0.97320.8883
-0.45151.3285
-0.43001.3266
-1.33380.4888
-1.34980.5230
-0.74580.8773
-0.97050.9118
-0.80730.9330
-1.02660.8341
-0.54281.1819
-1.23300.5984
-0.33031.4956
-1.22440.5845
-1.44020.3369
0.02811.5918
-1.13900.7087
-0.03651.6155
-0.56341.1714
-1.25440.4850
stats=
0.843637.74530.00000.2114
残差图
同理题一可知，剔除残差较大的数据。
剔除数据后
结果为
b=
1.0229
0.0253
1.9943
1.9128
bint=
-1.21033.2561
-0.03180.0824
1.55262.4360
1.04442.7813
r=
0.1333
-0.1660
-0.0064
-0.5015
0.0705
0.4861
0.5021
-0.3210
-0.3244
0.2593
0.0685
0.2039
0.0201
0.4033
-0.2248
-0.1838
-0.4500
-0.1362
0.4046
-0.2378
rint=
-0.36740.6339
-0.80150.4695
-0.69210.6792
-1.08210.0792
-0.60920.7502
-0.13031.1026
-0.11381.1181
-0.98320.3413
-1.01330.3645
-0.30160.8203
-0.62380.7608
-0.41350.8214
-0.66520.7054
-0.20081.0075
-0.90530.4558
-0.85510.4875
-1.07290.1728
-0.80440.5321
-0.19491.0040
-0.85310.3775
stats=
0.922663.56710.00000.1125
参数回归结果为对应的置信区间分别为[-1.21033.2561];;[-0.03180.0824];[1.55262.4360];[1.04442.7813]
r2=0.9226（越接近于1，回归效果越显著），F=63.5671，p=0.0000，由p<0.05,可知回归模型
y=1.0229-0.0253*x1+1.9943*x2+1.9128*x3
成立
再分别求y关于单个变量x1，x2,x3的线性回归方程
y=13.5989+0.0547*x1
y=5.6018+1.8453*x2
y=7.1238+4.7430*x3
分别求y关于两个变量x1，x2,x3的线性回归方程
y=1.0113+0.0252*x1+2.6057*x2
y=2.0661+0.0318*x2+2.3961*x3
y=6.0781+0.0806*x1+4.0719*x3
3.优化理论中的线性规划问题---生产安排。
设每种合金品种取值
千克（
）
根据题意建立线性规划方程得：
目标费用最小
=
利用lingo求解：
程序为：
min=8.6*x1+6*x2+8.9*x3+5.7*x4+8.8*x5;
x1+x2+x3+x4+x5=100;
（30*x1+10*x2+50*x3+10*x4+50*x5）/（60*x1+20*x2+20*x3+10*x4+10*x5）=1.5;
（30*x1+10*x2+50*x3+10*x4+50*x5）/（10*x1+70*x2+30*x3+80*x4+40*x5）=0.6;
（60*x1+20*x2+20*x3+10*x4+10*x5）/（10*x1+70*x2+30*x3+80*x4+40*x5）=0.4;
求解结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
744.4444
Objectivebound:
744.4444
Infeasibilities:
0.1405409E-10
Extendedsolversteps:
15
Totalsolveriterations:
440
VariableValueReducedCost
X111.111110.000000
X20.0000000.1111111E-01
X344.444440.000000
X444.444440.000000
X50.0000000.1888889
RowSlackorSurplusDualPrice
1744.4444-1.000000
20.000000-7.444444
30.0000001.703704
40.000000-230.0926
50.0000000.000000
结果分析
当x1=11.1111x2=0x3=44.44444x4=44.44444x5=0时
取得费用最小值为744.4444元
当铅减少1单位时总费用将减少7.4444元
当锌减少1单位时总费用将增加1.703704元
当锡减少1单位时总费用将减少230.0926元
3.非线性方程求解
迭代法求解
首先要确定方程实数根存在的大致范围。
为此，先将方程变成标准形式f（x）=
。
作f（x）的曲线图：
x=-2*pi:
0.1:
2*pi;
f=sin（x）-x./3;
plot（x,f）;gridon;
从曲线上可以看出，函数的零点大约在x1≈0和x2≈2.2附近。
（1）直接使用指令fzero求出方程在x1≈0时的根。
x1=fzero（'sin（x）-x/3',0）
（2）若键入：
fzero（'in（x）-x/3',0,optimset（'disp','iter'）），将显示迭代过程。
matlab运行结果为：
中间数据表明，求根过程中不断缩小探测范围，最后得出0满足精度的近似根。
（3）求x2≈2.2的根：
x2=fzero（'sin（x）-x/3',2.2,optimset（'disp','iter'））
matlab运行结果为：
中间数据表明，求根过程中不断缩小探测范围，最后得出2.2789满足精度的近似根。
二分法求解
functionroot=HalfInterval（f,a,b,eps）
if（nargin==3）
eps=1.0e-6;
end
f1=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,a）;
f2=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,b）;
if（f1==0）
root=a;
end
if（f2==0）
root=b;
end
if（f1*f2>0）
disp（'两端点函数值乘积大于0!
'）;
return;
else
root=FindRoots（f,a,b,eps）;
end
functionr=FindRoots（f,a,b,eps）
f_1=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,a）;
f_2=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,b）;
mf=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,（a+b）/2）;
if（f_1*mf>
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