数学建模与数学实验课程设计题目与参考答案Word下载.docx
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根据下述某猪场25头育肥猪4个胴体性状的数据资料，试进行瘦肉量y对眼肌面积（x1）、腿肉量（x2）、腰肉量（x3）的多元线性回归分析。
序
号
瘦肉量
y（kg）
眼肌面积
x1（cm2）
腿肉量
x2（kg）
腰肉量
x3（kg）
序号
瘦肉量y（kg）
眼肌面积x1（cm2）
腿肉量x2（kg）
腰肉量x3（kg）
15.02
23.73
5.49
1.21
14
15.94
23.52
5.18
1.98
12.62
22.34
4.32
1.35
14.33
21.86
4.86
1.59
14.86
28.84
5.04
1.92
16
15.11
28.95
1.37
13.98
27.67
4.72
1.49
13.81
24.53
4.88
1.39
15.91
20.83
5.35
1.56
18
15.58
27.65
5.02
1.66
12.47
22.27
4.27
1.50
15.85
27.29
5.55
1.70
7
15.80
27.57
5.25
1.85
15.28
29.07
5.26
1.82
14.32
28.01
4.62
1.51
21
16.40
32.47
1.75
9
13.76
24.79
4.42
1.46
22
29.65
5.08
15.18
28.96
5.30
23
15.73
22.11
4.90
1.81
11
14.20
25.77
4.87
1.64
24
14.75
22.43
4.65
12
17.07
23.17
5.80
1.90
14.35
20.04
1.53
15.40
28.57
5.22
1）画出散点图y与x1，y与x2，y与x3并观察y与x1，x2，x3的关系；
2）求y关于x1，x2，x3的线性回归方程：
-----
（1），求出
的值；
3）对上述回归模型和回归系数进行检验；
4）再分别求y关于单个变量x1，x2,x3的线性回归方程：
----
（2），
-----（3）,
-----（4）求出
分别求y关于两个变量x1，x2,x3的线性回归方程：
----（2’），
---（3’）,
-----（4’）求出系数
并说明这六个回归方程对原来问题求解的优劣。
注：
3、优化理论中的线性规划问题---生产安排。
某公司打算利用具有下列成分（见下表）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：
2：
5。
合金品种
含铅%
含锌%
含锡%
70
80
单价（元/kg）
8.6
6.0
8.9
5.7
8.8
（1）根据题意，列出该问题的线性规划模型；
（2）利用单纯形法求解
（1）中的模型，并写出分配方案；
（3）编程实现上述求解过程；
（4）利用程序验证上述模型的最优解。
1、《运筹学》，《运筹学》教材编写组编，清华大学出版社。
4、非线性方程求解
分别用二分法、牛顿切线法、迭代法求解非线性方程
的非负实数根。
（1）精确到
，取不同的初值计算，输出初值、根的近似值和迭代次数，分析根的收敛域。
（2）编写二分法、牛顿切线法的程序。
（可以用Matlab或C语言）。
（3）迭代法求解（可构造不同的迭代公式，如
等）。
（4）比较三种方法的优劣。
1、《高等数学（上）》，同济大学编，高等教育出版社。
5、非线性回归问题-------多项式回归
给动物口服某种药物A1000mg，每间隔1小时测定血药浓度（g/ml），得到表9-5的数据（血药浓度为5头供试动物的平均值）。
血药浓度与服药时间测定结果表：
服药时间x（小时）
血药浓度y（g/ml）
21.89
47.13
61.86
70.78
72.81
66.36
50.34
25.31
3.17
1）画出散点图y与x，并观察y与x的关系；
2）求y关于x的一元线性回归方程：
4）再求y关于x的一元多项式线性回归方程。
（如：
----
（2））求出
的值，并比较二个回归方程对原来问题求解的优劣。
6、非线性规划问题
现有两种原料
和
数量分别为1200千克和1500千克,需要分配用于生产3种产品.其中每种产品生产的产量
与两种原料的关系分别为:
每种产品的利润函数为:
问:
应如何分配,才能使生产三种产品的总利润最大.
要求:
1）介绍非线性规划理论;
2）求出最优解.
1.一元线性回归问题
[b,bint,r,rint,stats]=regress（Y,X,alpha）求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型
b：
回归系数的估计值
bint：
表示回归系数的区间估计.
r：
表示残差
rint：
表示置信区间
stats：
表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：
相关系数r2、F值、与F对应的概率p
程序：
clearall;
clc
x1=[051020304050606590100]'
;
x=[ones（11,1）,x1];
y=[5681315171925252935]'
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,x,0.05）
rcoplot（r,rint）
运行结果
b=
5.6273
0.2874
bint=
4.04017.2146
0.25780.3171
r=
-0.6273
-1.0646
-0.5018
1.6238
0.7493
-0.1251
-0.9996
2.1259
0.6887
-2.4974
0.6281
rint=
-3.48802.2333
-3.91221.7830
-3.50542.5018
-1.21284.4603
-2.36923.8678
-3.32323.0729
-4.09042.0912
-0.53074.7826
-2.38533.7627
-4.5073-0.4875
-1.96813.2244
stats=
0.9816479.85210.00001.9575
0.9816479.85210.00001.9575
残差图
结果分析：
从残差图可以看出，除第10个数据外,其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，第10个数据可视为异常点（剔除）。
在进行运算
x1=[0510203040506065100]'
x=[ones（10,1）,x1];
y=[56813151719252535]'
运行结果为
5.3232
0.3020
4.08066.5658
0.27630.3277
-0.3232
-0.8333
-0.3434
1.6364
0.6162
-0.4040
-1.4242
1.5556
0.0455
-0.5253
-2.53441.8880
-3.00351.3368
-2.66251.9756
-0.30813.5809
-1.77623.0085
-2.83982.0317
-3.52430.6758
-0.40813.5192
-2.30142.3923
-2.24151.1910
0.9892733.54670.00001.1080
从残差图可以看出，数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，说明回归模型
y=5.3232+0.3020x能较好的符合原始数据，
预测x=120时的y的置信水平为0.95的预测区间。
将120带入y=5.3232+0.3020x可得y=41.5632
2.多元线性回归问题
散点图
多元线性回归
程序:
x1=[23.735.491.21
22.344.321.35
28.845.041.92
27.674.721.49
20.835.351.56
22.274.271.50
27.575.251.85
28.014.621.51
24.794.421.46
28.965.301.66
25.774.871.64
23.175.801.90
28.575.221.66
23.525.181.98
21.864.861.59
28.955.181.37
24.534.881.39
27.655.021.66
27.295.551.70
29.075.261.82
32.475.181.75
29.655.081.70
22.114.901.81
22.434.651.82
20.045.081.53];
x=[ones（25,1）,x1];
y=[15.02
14.35];
结果
0.8539
0.0178
2.0782
1.9396
-1.99953.7073
-0.04290.0784
1.51992.6365
0.87992.9993
-0.0117
-0.2270
-0.7043
-0.0645
0.5420
-0.5628
-0.0424
0.4385
0.4483
-0.4225
-0.4134
0.0657
-0.0293
0.0628
-0.0962
0.3195
-0.3173
0.5827
-0.3200
-0.5517
0.8100
-0.2151
0.7895
0.3040
-0.3847
-0.75290.7296
-1.08340.6294
-1.53940.1307
-0.99010.8611
-0.29631.3802
-1.38770.2621
-0.97320.8883
-0.45151.3285
-0.43001.3266
-1.33380.4888
-1.34980.5230
-0.74580.8773
-0.97050.9118
-0.80730.9330
-1.02660.8341
-0.54281.1819
-1.23300.5984
-0.33031.4956
-1.22440.5845
-1.44020.3369
0.02811.5918
-1.13900.7087
-0.03651.6155
-0.56341.1714
-1.25440.4850
0.843637.74530.00000.2114
残差图
同理题一可知，剔除残差较大的数据。
剔除数据后
结果为
1.0229
0.0253
1.9943
1.9128
-1.21033.2561
-0.03180.0824
1.55262.4360
1.04442.7813
0.1333
-0.1660
-0.0064
-0.5015
0.0705
0.4861
0.5021
-0.3210
-0.3244
0.2593
0.0685
0.2039
0.0201
0.4033
-0.2248
-0.1838
-0.4500
-0.1362
0.4046
-0.2378
-0.36740.6339
-0.80150.4695
-0.69210.6792
-1.08210.0792
-0.60920.7502
-0.13031.1026
-0.11381.1181
-0.98320.3413
-1.01330.3645
-0.30160.8203
-0.62380.7608
-0.41350.8214
-0.66520.7054
-0.20081.0075
-0.90530.4558
-0.85510.4875
-1.07290.1728
-0.80440.5321
-0.19491.0040
-0.85310.3775
0.922663.56710.00000.1125
参数回归结果为对应的置信区间分别为[-1.21033.2561];
[-0.03180.0824];
[1.55262.4360];
[1.04442.7813]
r2=0.9226（越接近于1，回归效果越显著），F=63.5671，p=0.0000，由p<
0.05,可知回归模型
y=1.0229-0.0253*x1+1.9943*x2+1.9128*x3
成立
再分别求y关于单个变量x1，x2,x3的线性回归方程
y=13.5989+0.0547*x1
y=5.6018+1.8453*x2
y=7.1238+4.7430*x3
分别求y关于两个变量x1，x2,x3的线性回归方程
y=1.0113+0.0252*x1+2.6057*x2
y=2.0661+0.0318*x2+2.3961*x3
y=6.0781+0.0806*x1+4.0719*x3
3.优化理论中的线性规划问题---生产安排。
设每种合金品种取值
千克（
）
根据题意建立线性规划方程得：
目标费用最小
=
利用lingo求解：
程序为：
min=8.6*x1+6*x2+8.9*x3+5.7*x4+8.8*x5;
x1+x2+x3+x4+x5=100;
（30*x1+10*x2+50*x3+10*x4+50*x5）/（60*x1+20*x2+20*x3+10*x4+10*x5）=1.5;
（30*x1+10*x2+50*x3+10*x4+50*x5）/（10*x1+70*x2+30*x3+80*x4+40*x5）=0.6;
（60*x1+20*x2+20*x3+10*x4+10*x5）/（10*x1+70*x2+30*x3+80*x4+40*x5）=0.4;
求解结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
744.4444
Objectivebound:
Infeasibilities:
0.1405409E-10
Extendedsolversteps:
15
Totalsolveriterations:
440
VariableValueReducedCost
X111.111110.000000
X20.0000000.1111111E-01
X344.444440.000000
X444.444440.000000
X50.0000000.1888889
RowSlackorSurplusDualPrice
1744.4444-1.000000
20.000000-7.444444
30.0000001.703704
40.000000-230.0926
50.0000000.000000
结果分析
当x1=11.1111x2=0x3=44.44444x4=44.44444x5=0时
取得费用最小值为744.4444元
当铅减少1单位时总费用将减少7.4444元
当锌减少1单位时总费用将增加1.703704元
当锡减少1单位时总费用将减少230.0926元
3.非线性方程求解
迭代法求解
首先要确定方程实数根存在的大致范围。
为此，先将方程变成标准形式f（x）=
。
作f（x）的曲线图：
x=-2*pi:
0.1:
2*pi;
f=sin（x）-x./3;
plot（x,f）;
gridon;
从曲线上可以看出，函数的零点大约在x1≈0和x2≈2.2附近。
（1）直接使用指令fzero求出方程在x1≈0时的根。
x1=fzero（'
sin（x）-x/3'
0）
（2）若键入：
fzero（'
in（x）-x/3'
0,optimset（'
disp'
'
iter'
）），将显示迭代过程。
matlab运行结果为：
中间数据表明，求根过程中不断缩小探测范围，最后得出0满足精度的近似根。
（3）求x2≈2.2的根：
x2=fzero（'
sin（x）-x/3'
2.2,optimset（'
））
中间数据表明，求根过程中不断缩小探测范围，最后得出2.2789满足精度的近似根。
二分法求解
functionroot=HalfInterval（f,a,b,eps）
if（nargin==3）
eps=1.0e-6;
end
f1=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,a）;
f2=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,b）;
if（f1==0）
root=a;
if（f2==0）
root=b;
if（f1*f2>
0）
disp（'
两端点函数值乘积大于0!
'
）;
return;
else
root=FindRoots（f,a,b,eps）;
functionr=FindRoots（f,a,b,eps）
f_1=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,a）;
f_2=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,b）;
mf=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,（a+b）/2）;
if（f_1*mf>
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