第二十三章旋转教材.docx

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第二十三章旋转教材

第二十三章　旋转

23.1　图形的旋转（第1课时）

学习目标

1.了解生活中旋转现象的广泛存在;掌握旋转的有关概念,理解旋转变换也是图形的一种基本变换.

2.会找出旋转前、后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋转中心和旋转角.

3.理解图形的旋转变换是由旋转中心、旋转角和旋转方向所决定的,探索和发现旋转前、后图形上的每一点都绕着旋转中心转动了相同的角度,但图形的形状和大小都没有变化的特性.

学习过程

一、自主思考

情境创设:

观察有关的图形.

（1）秋千;

（2）大风车的转动;（3）飞速转动的电风扇叶片;

（4）汽车上的刮水器;（5）由平面图形转动而产生的奇妙图案.

情境问题:

这些情境中的转动现象,有什么共同特征?

二、学习新知

活动1:

单摆上小球的转动由位置A转到B,它绕着哪一个点转动?

沿着什么方向（顺时针或逆时针）?

图1:

在同一平面内,点A绕着定点O旋转某一角度得到点B.

图2:

在同一平面内,线段AB绕着定点O旋转某一角度得到线段CD.

活动2:

请同学们观察下图,△ABC绕着定点O旋转某一角度得到△DEF.

（1）点A,线段AB,∠ABC分别转到了什么位置?

（2）请找出图中其他的对应点、对应线段、对应角,并指出旋转中心和旋转角度.

活动3:

如图,香港特别行政区区旗中央的紫荆花图案由5个相同的花瓣组成,它是由其中的一瓣经过几次旋转得到的?

旋转角∠AOB等于多少度?

你知道∠COD等于多少度吗?

活动4:

如活动2中图,在硬纸板上,挖出一个三角形ABC,再挖一个小洞O作为旋转中心,硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC）,然后围绕旋转中心转动硬纸板,再描出这个挖掉的三角形（△DEF）,移开硬纸板.

问题1:

在图形的旋转过程中,线段OA与线段OD的关系怎样?

∠AOD与∠BOE呢?

△ABC与△DEF呢?

问题2:

旋转前后图形的形状和大小有影响吗?

问题3:

你能通过度量角的方法得出旋转角度吗?

你准备度量哪个角?

三、课堂练习

1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的（　　）

A.位置　　B.大小　　C.形状　　D.性质

2.经过旋转,对应点到旋转中心的距离　　　　. 

3.等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少　　　　度,能够与本身重合. 

4.钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟,那么:

（1）它的旋转中心是什么?

（2）分针旋转一周,时针旋转多少度?

（3）下午3点半时,时针和分针的夹角是多少度?

四、自我检测

1.如图,如果把钟表的指针看做四边形AOBC,它绕O点旋转得到四边形DOEF.

在这个旋转过程中:

（1）旋转中心是什么?

（2）经过旋转,点A,B分别移动到什么位置?

（3）旋转角是什么?

（4）AO与DO的长有什么关系?

BO与EO呢?

（5）∠AOD与∠BOE有什么大小关系?

2.E是正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图形.

（1）旋转中心是哪一点?

（2）如何确定△ADE三个顶点的对应点,即它们旋转后的位置?

（3）以点A为中心,把△ADE逆时针旋转90°,画出旋转后的图形.

3.基本图案在轴对称、平移、旋转变换的过程中,图形的　　　　和　　　　都保持不变. 

4.将点A绕另一个点O旋转一周,点A在旋转过程中所经过的路线是　　　　. 

5.同学们玩过万花筒吗?

如图是看到的万花筒的一个图案,图中所有的小三角形均是全等的等边三角形,其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心（　　）得到的.

A.顺时针旋转60°B.顺时针旋转120°C.逆时针旋转60°D.逆时针旋转120°

6.已知点A的坐标为（

0）,把点A绕着坐标原点顺时针旋转135°得到点B,求点B的坐标.

7.在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）.画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A'B'C'.

布置作业

1.必做:

课本第62页习题23.1第2,3题.

2.选做题:

如图,△AOB绕O旋转得到△COD,在这个过程中,

（1）旋转中心是什么?

旋转角是什么?

（2）经过旋转点A,B分别移到什么位置?

（3）找出图中相等的线段和角.

23.1　图形的旋转（第2课时）

学习目标

1.掌握对应点到旋转中心的距离相等.

2.掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等以及三个以上图形的旋转的基本性质的运用.

学习过程

一、自主思考

1.什么叫旋转?

什么叫旋转中心?

什么叫旋转角?

2.什么叫旋转的对应点?

3.请独立完成下面的题目.

如图,O是六个正三角形的公共顶点,正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形?

二、学习新知

【例1】如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B对应点的位置,以及旋转后的三角形.

【例2】如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=

△ABF是△ADE的旋转图形.

（1）旋转中心是哪一点?

（2）旋转了多少度?

（3）AF的长度是多少?

（4）如果连接EF,那么△AEF是怎样的三角形?

三、课堂练习

1.如图,下面的四个图案中,既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称的是（　　）

2.在旋转图形中,各对应点与旋转中心的距离　　　　. 

3.如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,连接BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.

四、自我检测

1.如图1,△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是　　　　,它们之间的关系是　　　　,其中BD=　　　　. 

2.如图2,自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC,CD于E,F两点,∠EAF=45°.在保持∠EAF=45°的前提下,当点E、F分别在边BC,CD上移动时,BE+DF与EF的关系是　　　　. 

3.如图3,正方形ABCD的中心为O,M为边上任意一点,过OM随意连一条曲线,将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次,每次旋转角度都是90°,这四个部分之间有何关系?

4.如图4,以△ABC的三个顶点为圆心,半径为1,作两两不相交的扇形,则图中三个扇形的面积之和是多少?

布置作业

1.必做题:

课本第61页练习第1,2题.

2.选做题:

课本第61页练习第3题.

23.1　图形的旋转（第3课时）

学习目标

1.经历对生活中旋转现象的观察、推理和分析过程,学会用数学的眼光看待生活中的有关问题,培养学习数学的兴趣和热爱生活的情感.

2.通过运用旋转的性质设计简单的图案,体验数学与现实生活的密切联系,体会生活中的旋转美,发展美感.

学习过程

一、自主思考

问题:

如图,△AOB绕O点旋转后,G点是B点的对应点,作出△AOB旋转后的三角形.

二、学习新知

课本实例:

课件上出现一片月牙形,随着鼠标的拖动,慢慢出现两片、三片……更多漂亮的图案.（见课本第61页图23.1-6、图23.1-7、图23.1-8.）

问题1:

（1）上面出现的这些漂亮的图案,喜欢吗?

（2）想知道这些漂亮的图案是怎样得到的吗?

（3）如果让你做,你能亲手画出这些图案吗?

（4）说一说这些图案的有关知识,与同伴交流.

问题2:

拖动鼠标进一步展示一片“月牙”的旋转效果（课本第61页图23.1-6、图23.1-7、图23.1-8）.

（1）在旋转过程中产生的不同的效果是由什么因素造成的?

（2）你能根据这些因素设计图案吗?

与你的同伴交流你的想法与做法.

（3）各小组交流作图方法.（分两种情况）

三、课堂练习

1.画出下图所示的四边形ABCD以O点为中心,顺时针旋转30°,60°后的旋转图形.

2.画出四边形ABCD分别以O1,O2为中心,旋转角（顺时针或逆时针皆可）都为30°的旋转图形.

3.如图,P是正△ABC内的一点,若将△BCP绕点B旋转到△BAP',则∠PBP'的度数是（　　）

A.45°B.60°C.90°D.120°

4.如图,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6,将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.

（1）线段OA1的长是　　　　,∠AOB1的度数是　　　　. 

（2）连接AA1,求证:

四边形OAA1B1是平行四边形.

四、自我检测

1.如图,五角星可以看做是由一个三角形绕中心点旋转　　　　次得到的,每次旋转的角度是　　　　. 

2.图形之间的变换关系包括平移、　　　　、轴对称以及它们的组合变换. 

3.你能利用旋转的知识,自己设计一幅漂亮的图案吗?

布置作业

1.必做:

课本第62,63页习题23.1第4,5题.

2.选做题:

如图,△ABC为等边三角形,D为△ABC内一点,△ABD经过旋转后到达△ACP的位置,若∠BAD=25°,则∠ACP=　　　　. 

23.2.1　中心对称

学习目标

1.了解中心对称、对称中心、关于对称中心的对称点等概念及利用这些概念解决一些问题,掌握两个图形关于某个点对称或中心对称、对称中心、关于对称中心的对称点等概念及其运用它们解决一些实际问题.

2.会画出与已知图形成中心对称的图形.

学习过程

一、自主思考

如图,△ABC绕点O旋转,使点A旋转到点D处,画出旋转后的三角形,并写出简要作法.

二、学习新知

问题1:

作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案,并回答下列问题:

（1）如图1,以点O为旋转中心,旋转180°后的图形与原图形是否重合?

（2）如图2,绕点O旋转180°后,各对对应点与旋转中心是否在一条直线上?

问题2:

随便画一个三角形,以三角形一顶点或三角形外一点为对称中心,画出三角形关于这个对称中心的对称图形,并分组讨论能得到什么结论.

【例1】如图,已知△ABC和点O,画出△DEF,使△DEF和△ABC关于点O成中心对称.

【例2】如图,已知AD是△ABC的中线,画出以点D为对称中心,与△ABD成中心对称的三角形.

三、课堂练习

1.在平面上一个菱形绕它的中心旋转,使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是（　　）

A.180°　　　B.90°　　　C.270°　　　D.360°

2.已知下列命题:

①关于中心对称的两个图形一定不全等;②关于中心对称的两个图形是全等图形;③两个全等的图形一定关于中心对称.其中真命题的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

3.下列命题正确的个数是（　　）

①两个全等三角形必关于某一点中心对称;②关于某点中心对称的两个三角形是全等三角形;③两个三角形对应点连线都经过同一点,则这两个三角形关于该点中心对称;④关于某点中心对称的两个三角形,对应点连线都经过对称中心.

A.1B.2C.3D.4

4.如图所示的两个图形成中心对称,你能找到对称中心吗?

5.如图所示的图形是由两个半圆组成的图形,已知点B是AC的中点.画出此图形关于点B成中心对称的图形.

四、自我检测

1.画出三角形ABC绕点O逆时针旋转180°后的三角形.

2.如图,已知正方形和点O,画一个正方形,使它与已知正方形关于点O成中心对称.

3.如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠C=90°,AB=AD,AE⊥BC于点E,若线段AE=5,求S四边形ABCD.

4.在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别是AB,AC边上两点,且ED⊥FD,你能证明BE+CF>EF吗?

布置作业

1.必做题:

课本第69页习题23.2第1,2题.

2.选做题:

课本第70页习题23.2第5题.

23.2.2　中心对称图形

学习目标

1.了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念,掌握这两个概念的应用.

2.利用所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其运用.

学习过程

一、自主思考

问题:

关于某点中心对称的两个图形具有什么性质?

二、学习新知

活动1:

如果将线段AB绕它的中点旋转180°,那么会得出什么结论?

演示两根完全重合的木条,中心用钉子固定.将前面这根木条绕着中心,转动多大角度时与另一根木条重合?

活动2:

如图所示,平行四边形ABCD,若绕对角线的交点旋转180°后会出现什么结果?

活动3:

除刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外,每位同学再别举出三个中心对称图形.

活动4:

请说出中心对称图形具有什么特点.它与中心对称有什么区别和联系,这是两个相同的概念吗?

三、课堂练习

1.如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA.连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长,就是A,B的距离,为什么?

线段DE可以看做由哪条线段旋转得到.

2.如图,四边形ABCD是平行四边形.

（1）图中哪些线段可以通过平移而得到?

（2）图中哪些三角形可以通过旋转得到?

3.如图,四边形ABCD绕D点旋转180°,请作出旋转后的图案,写出作法并回答下列问题:

（1）这两个图形成中心对称吗?

如果是,则对称中心是哪一点?

如果不是,请说明理由.

（2）如果是中心对称,那么A,B,C,D关于中心的对称点是哪些点?

4.判断下列图形是否为中心对称图形?

如果是,请指出它们的对称中心.

（1）线段;

（2）等腰三角形;（3）平行四边形;（4）长方形;（5）圆;（6）角.

四、自我检测

1.如图,Rt△ABC的边BC绕点C旋转到CE的位置,则下列说法正确的是（　　）

A.点B与点D为对应点,且∠ACD=∠BCEB.∠ACB=∠BCE

C.线段AB与线段CE是对应线段D.AB=DE

2.画线段AB,在线段AB外取一点O,作出线段AB绕点O旋转180°后所得的线段A'B'.请指出AB和A'B'的关系,并说明你的理由.

3.请观察下图,图中是否存在这样的两个三角形,其中一个是由另一个旋转得到的?

4.如图,已知四边形ABCD和点O,画四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点O成中心对称.

布置作业

1.必做题:

课本第67页练习.

2.选做题:

课本第70页习题23.2中的第8题.

23.2.3　关于原点对称的点的坐标

学习目标

1.理解点P与点P'关于原点对称时,它们的横纵坐标的关系,掌握P（x,y）关于原点的对称点为P'（-x,-y）的运用.

2.复习轴对称、旋转,尤其是中心对称,知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用.

学习过程

一、自主思考

问题1:

已知点A和直线l,如图,请画出点A关于l对称的点A'.

问题2:

如图,△ABC是正三角形,以点A为中心,把△ADC顺时针旋转60°,画出旋转后的图形.

问题3:

如图△ABO,绕点O旋转180°,画出旋转后的图形.

　二、学习新知

活动1:

如图所示,在直角坐标系中,已知A（-3,1）,B（-4,0）,C（0,3）,D（2,2）,E（3,-3）,F（-2,-2）,作出A,B,C,D,E,F点关于原点O的中心对称点,写出它们的坐标,并回答:

这些坐标与已知点的坐标有什么关系?

活动2:

关于原点作中心对称时,①它们的横坐标与横坐标的绝对值有什么关系?

纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系?

②坐标与坐标之间符号又有什么特点?

活动3:

如图,利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出与线段AB关于原点对称的图形.

活动4:

已知△ABC,A（-3,2）,B（-2,-1）,C（2,3）利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出△ABC关于原点对称的△A'B'C'.

三、课堂练习

1.如图,方格纸中的每个小正方形的边长均为1.

（1）观察图①②中所画的“L”形图形,然后各补画一个小正方形,使图①中所成的图形是轴对称图形,图②中所成的图形是中心对称图形.

（2）补画后,图①②中的图形是不是正方体的表面展开图:

（填“是”或“不是”）

答:

①中的图形　　　　,②中的图形　　　　. 

2.如图,点A,B,C的坐标分别为（0,-1）,（0,2）,（3,0）.从下面四个点M（3,3）,N（3,-3）,P（-3,0）,Q（-3,1）中选择一个点,以A,B,C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形,则该点是（　　）

A.M　　　　　B.N　　　　　C.P　　　　　D.Q

3.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

4.已知点P（-b,2）与点Q（3,2a）关于原点对称,则a+b的值是　　　　. 

5.已知a<0,则点P（-a2,-a+1）关于原点的对称点P'在（　　）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

四、当堂评价,反馈深化

1.下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）

2.已知点A的坐标为（a,b）,O为坐标原点,连接OA,将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1,则点A1的坐标为（　　）

A.（-a,b）B.（a,-b）C.（-b,a）D.（b,-a）

3.如图,四边形EFGH是由四边形ABCD经过旋转得到的.如果用有序数对（2,1）表示方格纸上A点的位置,用（1,2）表示B点的位置,那么四边形ABCD旋转得到四边形EFGH时的旋转中心用有序数对表示是　　　　. 

4.直线y=x+3上有一点P（3,n）,则点P关于原点的对称点P'为　　　　. 

5.如图,请在网格中作出△ABC关于点O对称的△A1B1C1,再作出△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°后的△A2B1C2.

6.如图①②均为7×6的正方形网格,点A,B,C在格点上.

（1）在图①中确定格点D,并画出以A,B,C,D为顶点的四边形,使其为轴对称图形.（画一个即可）

（2）在图②中确定格点E,并画出以A,B,C,E为顶点的四边形,使其为中心对称图形.（画一个即可）

布置作业

1.必做题:

课本第70页习题23.2第3,4题.

2.选做题:

课本第70页习题23.2第10题.

23.3　课题学习　图案设计

学习目标

1.认识和欣赏平移、旋转、轴对称变换在现实生活中的应用.

2.能够灵活运用平移、旋转、轴对称变换进行简单的图案设计.

学习过程

一、自主思考

问题:

平移、旋转、轴对称变换的基本特征是什么?

二、学习新知

活动1:

观察下面两组图形,分析它是由哪个基本图形经过哪些变换得到的.

　活动2:

展示学生课前搜集到的利用平移、旋转、轴对称变换设计的图案.

活动3:

图案设计

1.分组进行图案设计.

2.组织学生将各组的作品在班内展示.

三、课堂练习

1.你能用平移、旋转或轴对称分析下图中各个图案的形成过程吗?

2.下列交通标志中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是（　　）

3.在下图右侧的四个三角形中,不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（　　）

4.如图的方格纸中,左边图形到右边图形的变换是（　　）

A.向右平移7格B.绕AB的中点旋转180°,再以AB为对称轴作轴对称

C.以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称,再以AB为对称轴作轴对称

D.以AB为对称轴作轴对称,再向右平移7格

5.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为（4,-1）.

（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出C1的坐标;

（2）以原点O为对称中心,再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标.

四、自我检测

1.起重机将重物垂直提起,这可以看做为数学上的（　　）

　　A.轴对称B.平移C.旋转D.变形

2.国旗上的四个小五角星,通过怎样的移动可以相互得到（　　）

A.轴对称B.平移C.旋转D.变形

3.如图,图案由三个叶片组成,绕点O旋转120°后可以和自身重合,若每个叶片的面积为4cm2,∠AOB为120°,则图中阴影部分的面积之和为　　　　cm2. 

4.如图是某汽车的标志,它可以看做是由什么“基本图案”通过怎样的旋转得到的?

每次旋转了多少度?

5.在等腰直角△ABC中,∠C=90°,BC=2cm,如果以AC的中点O为旋转中心,将这个三角形旋转180°,点B落在点B'处,作出点B'并求BB'的长度.

布置作业

1.必做题:

课本第76页复习题23第3题.

2.选做题:

课本第76页复习题23第6题.

数学活动

学习目标

1.加深对中心对称的理解.

2.能够在直角坐标系中,将图形进行中心对称变换.

学习过程

一、自主思考

1.什么是图形的旋转,旋转中心以及旋转角?

2.什么是中心对称,中心对称图形?

3.中心对称与轴对称的区别是什么?

二、学习新知

活动1:

如图,在平面直角坐标系中选一点A（-3,2）,作点A关于x轴的对称点,得到点B,作点B关于y轴的对称点,得到点C.点A与点C有什么关系?

你是怎么得到的?

将点A的坐标换成其他的数值还成立吗?

活动2:

（1）把点P（x,y）绕原点分别顺时针旋转90°,180°,270°,360°,点P的对应点的坐标分别是什么?

将结果填入下表:

旋转的角度

90°

180°

270°

360°

对应点的坐标

（2）如果是逆时针方向旋转呢?

活动3:

如图,先准备一个花瓣模板,再选一点作为花心,然后围绕花心旋转花瓣模板,（强调画出的花要均匀）你画的是几瓣花?

经过几次旋转?

每一次的旋转角度是多少?

三、课堂练习

1.正方形绕中心至少旋转　　　　后能与自身重合. 

2.如图1,将△ABC绕点A旋转一定角度后能与△ADE重合,如果△ABC的面积是12cm2,那么△ADE的面积是　　　　. 

3.如图2,△ABC是等边三角形,D为BC边上的点,∠BAD=15°,△ABD经旋转后到达△ACE的位置,那么旋转角的度数是　　　　. 

4.如图3,把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°,得到△A'B'C,A'B'交AC于点D,若∠A'DC=90°,则∠A的度数是　　　　. 

5.如图4,△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置,若∠E=21°,∠C=18°,E,B,C在同一直线上,则旋转角的度数是　　　　. 

四、自我检测

1.如图,∠AOB=90°,∠B=30°,△A'OB'可以看做是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的,若点A'在AB上,则旋转角α的大小可以是（　　）

A.30°　　　　　B.45°C.60°D.90°

2.如图,在直角坐标系中,已知点A（-3,0）,B（0,4）,对△OAB连续作旋转变换,依次得到三角形①,②,③,④…,则三角形⑩的直角顶点的坐标为　　　　. 

3.如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-2,3）,B（-6,0）,C（-1,0）.

（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标;

（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°.画出图形,直接写出点B的对应点的坐标;

（3）请直接写出:

以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.

布