相似解答题 初中数学组卷学生版Word文件下载.docx

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4．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与A、C重合），DE与AB相交于点F．

△BCD∽△DAF；

（2）若BC=1，设CD=x，AF=y；

①求y关于x的函数解析式及定义域；

②当x为何值时，

？

5．如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，BC=a厘米（a＞4）．动点P、Q同时从C点出发，点P在线段CB上以1厘米/秒的速度由C点向B点运动，点Q在线段CD上以相同的速度由C点向D点运动，过点P作直线垂直于BC，分别交BQ、AD于点E、F，当点Q到达终点D时，点P随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）如图①，若a=5厘米，在运动过程中，当点E在矩形ABCD的对角线AC上时，求t的值；

（2）如图②，若a=6厘米，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得∠BFQ=90°

若存在，请求出此时t的值；

若不存在，请说明理由；

（3）若经过t秒后，恰好使矩形ABPF的面积与直角三角形BCQ的面积相等，求a的取值范围．

6．已知如图，▱ABCD中，∠DBC=45°

，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G．

AB=BH；

（2）若GA=10，HE=2．求AB的值．

7．如图，已知ED∥BC，∠EAB=∠BCF，

（1）四边形ABCD为平行四边形；

（2）求证：

OB2=OE•OF；

（3）连接OD，若∠OBC=∠ODC，求证：

四边形ABCD为菱形．

8．已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°

，∠AEB=150°

，∠BEC=90°

．

（1）当α=60°

时（如图1），

①判断△ABC的形状，并说明理由；

②求证：

BD=

AE；

（2）当α=90°

时（如图2），求

的值．

9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°

，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．

（1）如图①，当∠ABC=45°

时，求证：

AD=DE；

（2）如图②，当∠ABC=30°

时，线段AD与DE有何数量关系？

并请说明理由；

（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）

10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°

，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；

（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．

11．把两个含有45°

角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交于BE于点F．

（1）问：

AD与BE在数量上和位置上分别有何关系？

说明理由．

（2）若将45°

角换成30°

如图2，AD与BE在数量和位置上分别有何关系？

（3）若将图2中两个三角板旋转成图3、图4、图5的位置，则

（2）中结论是否仍然成立，选择其中一种图形进行说明．

12．已知在△ABC中，∠ABC=90°

，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．

（1）当点P在线段AB上时，求证：

△AQP∽△ABC；

（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

13．在△ABC中，∠CAB=90°

，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

（1）如图1，AC：

AB=1：

2，EF⊥CB，求证：

EF=CD．

（2）如图2，AC：

，EF⊥CE，求EF：

EG的值．

14．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°

，BD⊥BE，AD=BC．

AC=AD+CE；

（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；

（i）当点P与A、B两点不重合时，求

的值；

（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）

15．如图，∠C=90°

，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于点D，作DE⊥AC于点E．F为射线CB上一点，使得∠CEF=∠ABC．设点P运动的时间为x秒．

（1）用含有x的代数式表示CE的长．

（2）求点F与点B重合时x的值．

（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．

16．已知∠MON=60°

，射线OT是∠MON的平分线，点P是射线OT上的一个动点，射线PB交射线ON于点B．

（1）如图，若射线PB绕点P顺时针旋转120°

后与射线OM交于A，求证：

PA=PB；

（2）在

（1）的条件下，若点C是AB与OP的交点，且满足PC=

PB，求：

△POB与△PBC的面积之比；

（3）当OB=2时，射线PB绕点P顺时针旋转120°

后与直线OM交于点A（点A不与点O重合），直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD=∠ABO．请求出OP的长．

17．在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°

，现取一块等腰直角三角板，将45°

角的顶点放在斜边BC的中点O处，三角板的直角边与线段AB、AC分别交于点E、点F，设BE=x，CF=y，∠BOE=α（45°

≤α≤90°

）．

（1）试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．

（2）试判断∠BEO与∠OEF的大小关系？

并说明理由．

（3）在三角板绕O点旋转的过程中，△OEF能否成为等腰三角形？

若能，求出对应x的值；

若不能，请说明理由．

18．将一副三角板，按下列要求摆放：

（1）如图1．固定等腰直角三角板ABC，AO⊥BC，点O为垂足，另一个直角三角板DEF的直角顶点D与点O重合．现让三角板DEF绕点O旋转，保证DF，DE分别交AB、AC于点M、N．试探求AN：

BM的值．

（2）交换两块三角板的位置（如图2）．固定直角三角板ABC，AO⊥BC，点O为垂足，另一个等腰直角三角板DEF的直角顶点D于点O重合，DF、DE分别交AB、AC于点M、N，AN：

BM的值又会如何变化？

（3）通过上述操作与探求，试想如果将三角板换成任意直角三角形，那么AN：

BM的值有规律可循吗？

19．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°

，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

20．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°

，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：

△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：

△BPE∽△CEQ；

并求当BP=a，CQ=

时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．

21．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°

；

（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°

，若存在，请给与证明；

（3）如图3，当b＜2a时，

（2）中的结论是否仍然成立？

请说明理由．

22．△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图

（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）如图

（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

（3）在图

（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的

时，求线段EF的长．

23．如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．

AF⊥BE；

（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；

（3）若GO：

CF=4：

5，试确定E点的位置．

24．如图1所示：

等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．

（1）请你探究：

，

是否都成立？

（2）请你继续探究：

若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问

一定成立吗？

并证明你的判断．

（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=90︒，AC=8，AB=

，E为AB上一点且AE=5，CE交其内角角平分线AD于F．试求

25．如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．

（1）当x=

EF时，求S△DPE：

S△DBC的值；

（2）当CQ=

CE时，求y与x之间的函数关系式；

（3）①当CQ=

②当CQ=

CE（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式．

26．如图，正三角形ABC的边长为3+

（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；

（2）求

（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；

（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．

27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，BC=nAC，CD⊥AB于D，点P为AB边上一动点，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F．

（1）若n=2，则

=　　；

（2）当n=3时，连EF、DF，求

（3）当n=　　时，

=

（直接写出结果，不需证明）．

28．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一点，EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH=∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．

（1）如图a，当点H与点F重合时，求BE的长；

（2）如图b，当点H在线段FD上时，设BE=x，DN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）连接AC，当△FHE与△AEC相似时，求线段DN的长．

29．点D为Rt△ACB边BC延长线上一点，点E在边AC上，点M、N分别为线段AB、AE的中点，连接DE、DA，∠ACB=90°

，∠B=∠CED．

（1）若∠B=45°

，如图1，求证：

MN=

AD；

（2）在

（1）的条件下，连接BE并延长BE交线段AD于点F，连接FC，如图2，请你判断线段FE、FC与线段FD之间的数量关系为　　；

（3）在

（2）的条件下，如图3，连接DE交FC于点G，若MN：

DE=

：

2，四边形MNEB的面积为

，求GE的长．

30．

（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：

（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°

，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；

②如图3，求证：

MN2=DM•EN．